Середнє квадратичне відхилення

Додатковою характеристикою середньої арифметичної, що показує мінливість, є середнє квадратичне відхилення (G) варіаційного ряду.

Чим менше G, тим більш однорідний варіаційний ряд (стабільні ознаки, показник і результат).

Середнє квадратичне відхилення застосовується під час оцінювання мінливості варіаційного ряду, обчислення коефіцієнта варіації, оцінювання фізичного розвитку, визначенні середніх помилок і розміру вибірки.

На основі теорії розподілу для статистичних сукупностей розроблено елементарний спосіб визначення середнього квадратичного відхилення

G=

де V_max – найбільше значення варіанти; V_min – найменше К – коефіцієнт кількості випадків (табл. 5).

Із наведених даних видно, що у бігові на 100 м кращий результат 11,7 с (V_max), а гірший – 12,7 с (V_min). Коефіцієнт згідно з таблицею дорівнює для десяти випадків 3,08. Підставляємо у формулу числові значення і визначаємо середнє квадратичне відхилення.

Прийнято вважати, що всі індивідуальні показники у межах ±1 G оцінюються як “норма” і мають випадковий характер, показники ±2 G невипадковий, а ±3 G мають значне відхилення від норми.

Таблиця 1

Коефіцієнти К С. І. Єрмолаєва для розрахунку числа

за формулою

^Число спостере^-жень	^0	^1	^2	^3	^4	^5	^6	^7	^8	^9
^1	^2	^3	^4	^5	^6	^7	^8	^9	^10	^11
^0	^-	^-	^1,13	^1,69	^2,03	^2,33	^2,53	^2,70	^2,85	^2,97
^10	^3,08	^3,17	^3,26	^3,34	^3,41	^3,47	^3,53	^3,59	^3,64	^3,69
^20	^3,73	^3,78	^3,82	^3,86	^3,90	^3,93	^3,96	^4,00	^4,03	^4,06
^30	^4,09	^4,11	^4,14	^4,16	^4,18	^4,29	^4,24	^4,26	^4,28	^4,29
^40	^4,32	^4,34	^4,36	^4,38	^4,40	^4,42	^4,43	^4,45	^4,47	^4,48
^50	^4,50	^4,51	^4,53	^4,54	^4,56	^4,57	^4,59	^4,60	^4,61	^4,63
^60	^4,64	^4,65	^4,66	^4,68	^4,69	^4,70	^4,71	^4,72	^4,73	^4,74
^70	^4,75	^4,77	^4,78	^4,79	^4,80	^4,81	^4,82	^4,83	^4,83	^4,84
^80	^4,85	^4,86	^4,87	^4,88	^4,89	^4,90	^4,91	^4,91	^4,92	^4,93
^90	^4,94	^4,95	^4,96	^4,97	^4,98	^4,98	^4,99	^4,99	^5,00	^5,01
^П	^100	^200	^300	^400	^500	^600	^700	^800	^900	^1000
^К	^5,02	^5,49	^5,76	^5,94	^6,07	^6,18	^6,28	^6,35	^6,42	^6,48

Коефіцієнт варіації (G), на відміну від сигми, є не абсолютною, а відносною мірою мінливості й застосовується у тих випадках, коли необхідно порівняти достовірність середньої арифметичної величини у двох і більше варіаційних рядах із різними значеннями варіантів, тобто застосовується під час порівняння середніх величин, виражених у різних одиницях. Наприклад, під час вивчення довжини і маси тіла семирічних хлопчиків одержали для довжини тіла G=± 5 см, а для маси G=± 0,5 кг. У якому випадку коливання середньої арифметичної величини буде меншим G обчислена в абсолютних одиницях не може дати відповідь на поставлене запитання, оскільки сантиметри і кілограми не можна зіставляти, для їх порівняння потрібні відносні одиниці – %.

 

Наприклад, під час вивчення груп підлітків встановлено, що середня довжина тіла 140 cм, G± 4 см, маса тіла 38,0 кг, G± 2,0 кг. Для порівняння двох середніх величин, які виражені в різних одиницях, підставляємо дані у формулу й обчислюємо

;

 

Варіабельність (коливання) маси тіла більша, ніж варіабельність зросту. За зростом група більш однорідна.

Помилка середньої арифметичної величини

У статистиці під “помилкою” слід розуміти не помилку дослідження, а міру представництва цієї величини, тобто наскільки середня арифметична величина, одержана із вибіркової сукупності (10-20 випадків), відрізняється від істинної, яка була б одержана на генеральній сукупності (100, 200, 300 і більше випадків). Вона визначається за формулою:

 

У виразі під коренем ставиться n-1, якщо середня арифметична величина менш ніж 30 випадків, якщо ж більше, то n.

Таким чином, достовірність середньої арифметичної величини залежить від дисперсії варіаційного ряду. Чим більш компактним є ряд, тим достовірнішою буде середня арифметична величина, і навпаки, чим більше він розсіяний, тим середня арифметична величина менш достовірна, міра її точності залежить також від кількості спосте­режень. Помилка середньої арифметичної величини (±m) застосовується під час обчислення довірчого коефіцієнта.

Достовірність різниці між двома середніми величинами

У педагогічній діяльності під час визначенні ефективності методик виховання рухових здібностей або тренувальних засобів у різних кількісних варіантах часто доводиться порівнювати дані експериментальної і контрольної груп, відмінності між якими мають бути статистично доведеними. Для цього розраховується коефіцієнт

 

Якщо t>2,0, відмінності достовірні. При менших значеннях не достовірні (табл. 2). Достовірність відмінностей часто демонструється процентним розподілом імовірності і позначається латинською буквою “Р” зі знаком менше (<) або більше (>). Достовірні значення мають межу 95,0; 99,0; 99,9% і позначаються як Р< 0,05; 0,01; 0,001. І

 

Таблиця 2

ДОСТОВІРНІСТЬ ВІДМІННОСТЕЙ ЗА КОЕФІЦІЄНТОМ

№ п/п	0,5	0,2	0.1	0,05 95%	0,02 98%	0,01 99%	0,001 99,9%
	1,006	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657	637,59
	0,816	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	31,60
	0,765	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	12,94
	0,741	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	8,61
	0,727	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032	6,86
	0,718	1,440	1,943	2,247	3,143	3,707	5,96
	0,711	1,415	1,895	2,365	2,298	3,499	5,31
	0,706	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	5,04
	0,703	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	4,78
	0,700	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	4,59
	0,697	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	4,44
	0,695	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	4,32
	0,694	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	4,22
	0,629	1,345	1,761	2,145	2,624	2,971	4,14
	0,691	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	4,07
	0,690	1,337	1,746	2,120	2,583	2,991	4,02
	0,689	1,333	1,740	2,110	2,567	2,896	3,96
	0,688	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878	3,92
	0,688	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,88
	0,687	1,325	1,720	2,086	2,528	2,845	3,85
	0,686	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831	3,82
	0,686	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,79
	0,685	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807	3,77
	0,685	1,318	1,717	2,064	2,492	2,797	3,75
	0,684	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787	3,73
	0,784	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779	3,71
	0,684	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771	3,69
	0,683	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,67
	0,683	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,66
	0,683	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750	3,64
				2,020		2,700	3,55
				2.000		2.660	3,37