Уравнение прямолинейной регрессии

Корреляционную связь в форме, близкой к прямолинейной, можно представить в виде уравнения прямой линии:

(11.8)

где – среднее значение результативного признака; х – значение факторного признака; – параметр уравнения, обычно характеризующий минимальное значение результативного признака; – коэффициент пропорциональности изменения признака-результата.

В уравнении 9.8 параметр характеризует среднее значение результативного признака у при элиминировании признака-фактора х, т.е. х=0. Коэффициент в зависимости от знака (+) или (–) показывает пропорциональность изменения результата у, т.е. его приращения или убывания при абсолютном изменении фактора на каждую его единицу.

Для нахождения параметров , уравнения 9.8 составляют и решают следующую систему нормальных уравнений:

(11.9)

(11.10)

При расчете искомых параметров , можно воспользоваться макетом табл. 11.5.

 

Т а б л и ц а 11.5. Вспомогательные расчеты для определения параметров уравнения прямолинейной связи

 

№ п.п.	х	у	х^2	ху
	х1	у1
	х2	у2
…	…	…	…	…
n	хn	уn
Σ	Σх	Σу	Σх^2	Σху

 

Таким образом, для решения системы нормальных уравнений (11.9 и 11.10) необходимо найти значения Σх, Σу, Σху и Σх².

Допустим, необходимо определить, как изменяется в среднем урожайность рапса в зависимости от колебания доз минеральных удобрений по данным статистической совокупности из 30 сельскохозяйственных организаций, если известно, что дозы удобрений колеблются в пределах от 56 до 183 кг действующего вещества на 1 га, а урожайность рапса – от 16,9 до 30,4 ц/га.

Для составления уравнения прямолинейной регрессии (11.8) по имеющимся данным необходимо решить систему нормальных уравнений. С этой целью прежде всего составим рабочую табл. 11.6.

 

Т а б л и ц а 11.6. Вспомогательные расчеты для определения параметров уравнения прямолинейной взаимосвязи

 

№ п.п.	Дозы удобрений, кг/га	Урожайность рапса, ц/га	Произведение вариант	Квадрат доз удобрений
	х	у	ху	х^2
		16,9
		17,2
…	…	…	…	…
		30,4
Σ

 

Подставим полученные в табл. 11.6 конкретные значения Σх=3283, Σу=640, Σху=91204 и Σх²=535692 в уравнения 11.9 и 11.10; получим:

Для расчета коэффициента пропорциональности разделим уравнения 1,2 на числа, находящиеся при . Получим:

Вычтем четвертое уравнение из третьего. Получим 21,3 – 27,7 = а+а+109,4в – 163,2 в; - 6,4 = - 53,8 в; в = 0,12.

Теперь найдем параметр а, подставив значение в, например, в третье уравнение: 21,3 = а + 109,4. · 0,12; а=8,2.

Уравнение прямолинейной регрессии, выражающее зависимость между дозами минеральных удобрений и урожайностью рапса, имеет следующий вид:

(11.11)

Коэффициент пропорциональности в показывает, что повышение доз внесения в почву минеральных удобрений на 1 кг действующего вещества может вызвать прирост урожайности рапса в сельскохозяйственных организациях 12 кг. Это свидетельствует о существенной роли минеральных туков в достижении высоких и устойчивых урожаев сельскохозяйственных культур.

 

 

Уравнение гиперболической регрессии

Если форма связи между изучаемым признаком-фактором и признаком-результатом, выявленная с помощью координатной диаграммы (поля корреляции), приближается к гиперболической, то необходимо составить и решить уравнение гиперболической регрессии:

(11.12)

где – среднее значение зависимого результативного признака; х – значение признака-фактора; а – среднее значение признака-результата при условии полной изоляции влияния фактора (х=0); – коэффициент обратной пропорциональности изменения признака-результата.

В уравнении (11.12) коэффициент показывает пропорциональность приращения результата у при абсолютном изменении фактора на обратное значение каждой единицы.

Параметры , уравнения (9.12) рассчитывают с помощью следующей системы нормальных уравнений:

Для решения системы уравнений (11.13) и (11.14) в общем виде обычно составляют вспомогательную табл. 11.7.

 

Т а б л и ц а 11.7. Вспомогательные расчеты для нахождения

Гиперболической регрессии

 

№ п.п.	х	у
	х1	у1
	х2	у2
…	…	…	…	…	…
n	хn	уn
Σ	Σх	Σу

 

В качестве примера можно взять исходные данные, характеризующие зависимость себестоимости 1 кг меда от продуктивности 1 пчелосемьи по 30 сельскохозяйственным организациям. По этим данным необходимо составить и решить уравнение регрессии между указанными признаками.

Себестоимость единицы продукции, представляющая комплекс всех затрат в денежной форме, разделенных на к количество продукции, можно условно расчленить на постоянную и переменную части. При этом постоянная часть расходов не зависит от объема продукции, а переменная – изменяется пропорционально ее количеству. Поэтому изменение себестоимости 1 кг продукции под воздействием продуктивности пчел теоретически можно представить в виде гиперболической регрессии.

Графическое изображение зависимости с помощью координатной диаграммы показало, что основная масса точек сосредоточена в форме, близкой к гиперболической. Поэтому для составления и решения системы нормальных уравнений (9.13), (9.14) гиперболической регрессии целесообразно найти значения Σу, Расчет этих значений приведен в табл. 11.8.

Т а б л и ц а 11.8. Расчет вспомогательных показателей для уравнения

Гиперболической регрессии

 

№ п.п.	Продуктивность 1 пчелосемьи, кг х	Себестоимость 1 кг меда, тыс. руб. у
	15,6	21,4	0,06	0,0036	1,28
	18,3	16,8	0,05	0,0025	0,84
…	…	…	…	…	…
	32,6	8,9	0,03	0,0009	0,27
Σ			1,35	0,07	23,0

 

Подставим конкретные данные в уравнения (11.13), (11.14) и получим:

Для нахождения параметров , разделим цифровые коэффициенты первого уравнения на 1,35, второго – на 0,07:

Из третьего уравнения вычтем четвертое. Получим 2,9 а = 4,7; а = 1,62. Значение подставим в первое уравнение. Получим

Уравнение гиперболической регрессии, выражающее зависимость между продуктивностью пчеловодства и себестоимостью меда, имеет следующий вид:

(11.15)

Данные уравнения 11.15 показывают, что параметр , представляющий собой постоянную часть себестоимости 1 кг меда, составляет 1,62 тыс. руб. В то же время переменная часть себестоимости единицы продукции зависит от продуктивности. Например, при средней продуктивности пчелосемьи, составляющей 24 кг, переменные затраты, приходящиеся на 1 кг меда, равны 12,4 тыс. рублей.