К лабораторному практикуму по механике

К лабораторному практикуму по механике

для студентов первого курса всех специальностей

 

Воронеж 2005

Составители: канд. физ.-мат. наук Евсюков В. А., канд. физ.-мат. наук А.Г. Москаленко, канд. физ.-мат. наук Н.В. Матовых, канд. физ.-мат. наук И. А. Сафонов, канд. физ.-мат. наук А.Ф. Татаренков, канд. пед. наук О. С.Хабарова.

 

 

УДК 531 (07)

Методические указанияк выполнению лабораторного практикума по механике для студентов первого курса всех специальностей/ Воронеж. гос. техн. ун-т; Воронеж, 2005, 58 с.

 

Методические указания содержат описание методик измерения, приборов и порядок выполнения лабораторных работ № 1.1 - 1.10, поставленных и выполняемых в учебных лабораториях ВГТУ.

Предназначено для студентов всех специальностей и всех форм обучения.

 

 

Ил. 20. Библиогр. 6 назв.

 

Рецензент канд. физ.- мат.наук А.А. Долгачёв

 

Ответственный за выпуск зав. кафедрой общей физики механико-технологического профиля, профессор

В.С.Железный

 

 

Печатается по решению редакционно–издательского совета Воронежского государственного технического университета

 

© Воронежский государственный

технический университет, 2005

 

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ НА МАШИНЕ АТВУДА

 

Лабораторная работа 1.1.

Приборы и принадлежности: машина Атвуда, миллисекундомер, набор грузов и перегрузков.

Цель работы: ознакомление с методикой измерения ускорения свободного падения и проверка законов динамики.

1.1. Описание прибора и методика измерений

 

Рис 1.1

Машина Атвуда предназначена для исследования движения тел в поле земного тяготения. Устройство машины изображено на рис.1.1. Блок массой может свободно вращаться вокруг оси, укрепленной в верхней части стойки. Через блок перекинута нить, к концам которой подвешены два груза равных масс . Если на правый груз поместить один или несколько перегрузков, то представленная самой себе система грузов начнет двигаться с ускорением. В начале опыта блок фиксируется с помощью электромагнита. При выключении тока, текущего через электромагнит, блок освобождается и система приходит в движение. На основании законов динамики поступательного и вращательного движений получим следующие уравнения:

, (1.1)

, (1.2)

, (1.3)

где - момент инерции блока ; -

угловое ускорение блока; и - силы натяжения правой и левой частей нити; m – масса перегрузка.

Решение данной системы уравнений даёт следующее выражение для g:

. (1.4)

Для определения ускорения грузов рассмотрим движение правого груза на участке пути . Так как начальная скорость равна нулю, то

, (1.5)

где - конечная скорость на участке .

В конце пути S ₁ перегрузок снимается с правого груза неподвижным кольцом , после чего система грузов начинает двигаться равномерно со скоростью, приобретенной в конце участка S_{1 .}

Измеряя путь S₂ и время t равномерного движения правого груза на этом пути, можно определить скорость u, а затем по формуле (1.5) ускорение. При этом:

. (1.6)

Теперь легко получить формулу для ускорения свободного падения:

. (1.7)

Пути S₁ и S₂ определяются по шкале прибора.

Порядок выполнения работы

1. Убедиться, что прибор установлен строго по вертикали и правый груз М свободно проходит сквозь съемное кольцо .

2. Включить прибор клавишей СЕТЬ, при этом клавиша СБРОС должна быть отжата, а клавиша ПУСК нажата.

3. Положить на правый груз перегрузок и поднять груз вверх, совместив нижнюю грань груза с чертой, нанесенной на верхнем кронштейне.

4. Отжать клавишу ПУСК, зафиксировав тем самым груз в верхнем положении.

5. Измерить по миллиметровой шкале на стойке прибора пути равноускоренного S ₁ и равномерного S₂ движений груза.

6. Нажать клавишу ПУСК.

7.Записать измеренное миллисекундомером время движения груза на пути S₂.

8. Нажать клавишу СБРОС и проверить обнуление показаний прибора и выключение электромагнита.

9. Поднять правый груз вверх и повторить опыт. Измерения проводить не менее пяти раз, после чего определить среднее значение времени движения груза на участке S ₂ при заданном перегрузке. Данные измерений внести в табл. 1.1.

10. Определить по формуле (6) ускорение системы a, подставив среднее значение времени t, и полученный результат записать в табл. 1.1.

11. Рассчитать по формуле (1.7) значение ускорения свободного падения g и записать в табл. 1.1.

12. Повторить опыт дважды, взяв перегрузки в наборе из 2 колец другой массы. Результаты записать в таблицы, аналогичные табл. 1.1, и рассчитать соответствующие значения g.

Таблица 1.1

Номер опыта	m, кг	S1, м	S2, м	t, c	a, м /с^2	g, м /с^2
--------- ---------	------- -------	--------------	--------------	------ ------	--------------------------	----------------------

 

13. Сделать оценку погрешности полученного результата.

 

Контрольные вопросы

1. Определения (понятия) кинематических характеристик движущейся точки.

2. Закон движения точки в векторной и координатной формах.

3. Сформулируйте законы динамики материальной точки (поступательного движения твердого тела).

4. Закон всемирного тяготения. Понятие напряженности и потенциала гравитационного поля.

5. Сила тяжести и вес тела. Состояние невесомости.

6. Зависимость ускорения свободного падения от географической широты местности.

 

Лабораторная работа № 1.2.

 

Цель работы: исследовать деформацию кручения цилиндрического тела и установить связь между крутящим моментом и углом закручивания. Определить модуль сдвига образца.

Оборудование: крутильный маятник, измеритель периода крутильных колебаний системы, набор металлических дисков с известными моментами инерции, стальная проволока, электромагнит.

Теоретическое введение

Под действием приложенных сил всякое твердое тело деформируется, т.е. изменяет свои размеры и форму. Если после прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и форму, то деформация называется упругой. В противном случае – неупругой (пластической). Упругие деформации имеют место в том случае, если деформирующая сила не превосходит некоторую определенную для каждого конкретного тела предельную силу F_пр.

При деформациях происходит смещение частиц, находящихся в узлах кристаллических решеток твердых тел, из первоначальных положений равновесия в новые. Этому препятствуют силы электромагнитного взаимодействия между частицами, вследствие чего в деформированном теле возникают упругие внутренние силы, которые уравновешивают внешние силы, приложенные к телу.

Пусть на выделенный элемент поверхности dS некоторого сечения тела действует упругая сила dF_упр, а dF_n и dF_τ – нормальная и касательная составляющие этой силы (рис. 2.1).

Величину σ = dF_n/dS называют нормальным напряже- нием в окрестности заданной точки, а величину τ = dF_τ/dS – касательным напряжением. Согласно определению единицей измерения напряжения в системе СИ является [ σ ] = [ τ ] = = H/м² = Па.

Нормальные напряжения вызываются деформациями растяжения-сжатия тела, а касательные – смещением плоских слоев твердого тела параллельно некоторой плоскости сдвига без их искривления и изменения размеров. В связи с этим выделяют два основных вида деформации твердого тела: – растяжения - сжатия и деформацию сдвига. Изгиб, кручение и более сложные деформации относятся либо к одному из двух основных неоднородных деформаций, либо к их наложению.

Мерой деформации растяжения-сжатия является относительное удлинение (сжатие) ε = Δ l / l (рис.2.2а).

	F

 

Мерой деформации сдвига является угол сдвига γ, выраженный в радианах (рис.2.2б). Для малых деформаций γ ≈ tgγ = a/b, где а – абсолютный сдвиг, b - расстояние между параллельными плоскостями слоя. Относительные деформации ε и γ – безразмерные величины. Иногда их представляют в %. Для малых (упругих) деформаций растяжения-сжатия и сдвига, как показывают опыты, существует линейная связь между напряжением и соответствующей относительной деформацией:

σ = Еε, (2.1)

τ = Gγ (2.2)

Величины Е и G называют модулями упругости материала. Первый модуль Е – нормальным (модулем Юнга), второй G – модулем сдвига. Из (2.1) и(2.2) видно, что размерность модулей упругости та же, что и для напряжения.

Между модулями упругости G и E имеется связь:

. (2.3)

Величину μ, равную отношению относитель- ного сужения (расшире- ния) Δd/d к относительному продольному удлинению (сжатию) называют коэффициентом Пуассона:

, (2.4)

где Δd= d - d َ ′.

Рассмотрим деформации, вызываемые кручением твердого цилиндрического тела. Кручением называется деформация образца с одним закрепленным концом (а может быть условно) под действием пары сил, плоскость которой перпендикулярна оси образца. Кручение состоит в относительном повороте параллельных друг другу сечений, проведенных перпендикулярно к оси образца. Деформация кручения является неоднородной. Она увеличивается при удалении от оси поворотов элементов образца.

Закон Гука для деформации кручения записывается в виде

, (2.5) где ƒ - постоянная кручения, - абсолютный угол кручения образца.

Постоянная кручения показывает, какой момент сил нужно приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в 1 рад. В отличие от модулей Юнга и сдвига эта величина зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.

Деформацию кручения можно свести к деформации сдвига. Получим выражение для постоянной кручения ¦.

Стержень (рис.2.4) можно представить состоящим из

множества цилиндрических оболочек (трубок), каждая из которых характеризуется радиусом r, длиной L и толщиной dr. Площадь основания трубки

dS = 2p r dr, (2.6)

а момент касательных упругих сил, действующих в этом основании,

, (2.7)

где - напряжение сдвига в этом сечении.

Каждый продольный элемент цилиндрической трубки поворачивается на угол

. (2.8)

По закону Гука для сдвига получим

. (2.9)

Итак, момент сил, действующих на цилиндрическую трубку, равен

. (2.10)

O

 

 

C

 

φ

L

 

 

O

	Рис.2.4

 

Полный же момент сил, действующих на проволоку (стержень) радиуса R, найдется интегрированием выражения (2.10):

. (2.11)

Имея соотношения (2.5) и (2.11), получим выражение для постоянной кручения образца

. (2.12)

Экспериментально модуль кручения можно измерить, наблюдая крутильные колебания маятника.

.

Порядок выполнения работы

1. Убедиться, что крутильный маятник в исходном состоянии имеет вертикальное положение. В противном случае произвести выравнивание прибора с помощью регулируемых ножек основания.

2. Установить какой-либо инерционный диск в рамку маятника и измерить период колебаний, повторяя данную процедуру 3-5 раз. По данным этих измерений найти среднее значение периода Т₁.

3. Установить второй инерционный диск в рамку маятника, не снимая первый. Произвести 3-5 измерений периода и найти его среднее значение Т₂.

4. По формуле (2.20) найти модуль сдвига стальной проволоки.

Результаты измерений и расчетов записать в таблицу 2.1.

Таблица 2.1

I1, кг∙м^2	T1, с	I2, кг∙м^2	T2, с	l1, м	l2, м	l, м	G, Па

Контрольные вопросы

1. Деформации и упругие силы твердых тел.
2. Закон Гука для основных видов деформации.
3. Смысл упругих модулей.
4. Упругая энергия деформированных тел.

 

Лабораторная работа № 1.3

 

Цель работы: изучение законов динамики вращательного движения и экспериментальное определение момента инерции

тел вращения с помощью трифилярного подвеса.

Принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль, образцы для измерений, линейка.

 

Порядок выполнения работы

1. Записать для данной установки постоянные величины, указанные в табл. 3.1.

Таблица 3.1.

l, м	R, м	g, м/с^2	m0, кг	m*, кг	R1, м	R2, м	r, м		R1, м

 

Масса m* диска и число полных колебаний n задаются преподавателем.

2. Привести пустую платформу в состояние крутильных колебаний, измерить время заданного преподавателем числа полных колебаний, рассчитать период колебаний. Полученные результаты занести в табл. 3.2. Аналогичные измерения и расчёты сделать для нагруженной платформы.

3. Вычислить моменты инерции J₀ и J₁ ненагруженной и нагруженной платформы. Определить момент инерции измеряемого тела по формуле J = J₁- J₀. Рассчитать погрешности эксперимента и записать окончательный результат.

 

Таблица 3.2.

	Ненагруженная платформа	Нагруженная платформа
Номер опыта	t0, с		T 0, с	, c	c^2	t 0, с		T 1, С	, c	c^2
… …
Ср.

 

4. Рассчитать теоретическое значение момента инерции исследуемого тела, имеющего форму диска с соосным круглым отверстием:

,

Здесь R ₁ и R ₂ – внешний и внутренний радиусы диска, m* - его масса.

5. Полученные в п. 4 данные сравнить с результатами опыта. Оценить в процентах отклонение значения момента инерции, полученное в опыте, от теоретически рассчитанной величины.

 

 

Контрольные вопросы

1. Описать принцип работы трифилярного подвеса
2. Вывод формул для моментов инерции простейших тел.
3. Теорема Штейнера о моментах инерции.
4. Закон сохранения механической энергии в условиях данной работы.

 

ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ

МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

Лабораторная работа № 1.4.

 

Цель работы: экспериментально убедиться в справедливости закона сохранения энергии консервативной системы во время движения, а затем на основе этого закона измерить моменты инерции некоторых металлических колец при помощи маятника Максвелла.

Оборудование: маятник Максвелла, набор металличе- ских колец с известными и неизвестными моментами инерции.

 

Порядок выполнения работы

1. Изучить лабораторную установку и её действие.

2. Согласовать с преподавателем величину h (h - расстояние между исходным верхним и нижним положениями маятника при его опускании). Записать значения характери- стик маятника.

3. Включить прибор в сеть и нажать клавишу «Пуск». При этом произойдет обнуление измерителя времени и включение электромагнита, а также начнут светиться фотоэлектрические датчики.

4. Аккуратно навить нити подвеса на валик маятника до его прилипания к электромагниту. Навивка нитей должна быть симметричной относительно ролика и осуществляется за концы валика.

5. Нажатием клавиши «Сброс» маятник освобождается от электромагнита и запускается индикатор времени, а маятник начинает опускаться. В момент, когда маятник достигает крайнего нижнего положения, измеритель времени прекращает свою работу. При этом индикатор измерителя будет показывать время опускания маятника.

6. Усредненные результаты нескольких измерений и соответствующих расчетов занести в таблицы 4.1 и 4.2. В табл. 4.1 по пункту а)

Таблица 4.1

	I0	m0	I1	m1	I2	m2	I3	m3	I4	m4
tk, c
tk^2, c^2

 

по пункту б) в табл.4.2.

Таблица 4.2

mk				Примечание
tk, с				m 0=….…….. г, D =………… мм, h =…………. см
Ik

 

Значения массы представить в граммах, момента инерции в г ·см².

Контрольные вопросы

 

1. Динамические уравнения поступательного и вращательного движения твердого тела.

2. Понятия момента инерции и момента импульса тела относительно точки и оси.

3. Сущность метода измерения момента инерции металлических колец при помощи маятника Максвелла.

4. Закон сохранения момента импульса.

Порядок выполнения работы

 

1. Убедиться в вертикальной установке прибора.

2. Установить груз с минимальным значением массы.

3. Измерить штангенциркулем диаметры большего шкива D и меньшего шкива d.

4. Подключить сетевой кабель в розетку и нажать клавишу СЕТЬ.

5. Нажать клавишу ПУСК и намотать нить на малый шкив, вращая маятник против часовой стрелки. При этом рукой держаться только за ось, а не за стержень. Груз поднимать до такой высоты, чтобы нижняя грань груза была на одном уровне с риской на верхнем кронштейне (тело груза не должно перекрывать окошко фотодатчика).

6. Отжать клавишу ПУСК и убедиться, что электромагнит удерживает груз в фиксированном положении, а на секундомере – нули.

7. Нажать клавишу ПУСК. Электромагнит отключится, и груз станет опускаться вниз, вращая маятник. При достижении грузом нижнего фотодатчика происходит автоматическая остановка секундомера и включается электромагнит.

8. После записи времени опускания в табл. 5.1 немедлен- но нажать клавишу СБРОС. При этом отключается электромагнит и обнуляется секундомер. Установка готова к повторению опыта.

9. Измерение времени для каждого груза проводят три раза и вычисляют среднее значение. Опыт проделать не менее чем с пятью грузами. Данные занести в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Номер опыта	d, м	Н, м	m, кг	t,с	tср, с	e,	М, Н·м	I, кг·м^2
… …

 

10. Подставив среднее значение времени, по формулам (5.1) и (5.2 ) находят М и e для каждого груза. Строят график . Это должна быть прямая линия.

11. По тангенсу угла наклона прямой определить среднее значение момента инерции I.

12. Все опыты повторить с большим шкивом, не забывая вращать маятник против часовой стрелки только за ось, а не за стержни. Заполнить аналогичную таблицу для второго шкива.

13. Построить второй график и определить I₂. 14. Вычислить среднее арифметическое значение момента инерции нагруженного маятника:

.

15. По формуле (5.3) находят момент инерции ненагруженного

маятника I ₀:

16. По указанию преподавателя рассчитать погрешности, пользуясь методом наименьших квадратов (для этого можно использовать стандартную прикладную программу для ЭВМ в дисплейном классе).

 

Контрольные вопросы

1. Утверждение и доказательство теоремы Штейнера.

2. Что есть момент силы относительно неподвижной точки заданной оси?

3. Какая связь между линейным и угловым ускорениями точки тела?

4. Обосновать уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

5. Определить моменты инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его главных центральных осей. Масса цилиндра М.

 

 

Порядок выполнения работы

 

1. Записать в табл. 6.1. все постоянные для данной установки (прибора) величины.

Таблица 6.1

 

2. Отрегулировать длину нитей так, чтобы направление

оси цилиндра было горизонтально и перпендикулярно линии,

соединяющей обе точки подвеса. Надо следить за тем, чтобы нити подвеса не перекручивались.

Установить шкалу параллельно оси цилиндра и подготовить «пушку» к выстрелу. Убедившись в том, что пуля, вылетевшая из «пушки», может попасть в точку на оси цилиндра, произвести пять выстрелов каждой пулей и полученные результаты записать в табл. 6.2.

3. Вычислить по формуле (6.10) среднее значение скорости каждой пули по среднему значению смещения стрелки из положения равновесия.

4. Рассчитать погрешности и записать окончательный результат.

Таблица 6.2

Номер опыта	Первая пуля	Вторая пуля
-------
Ср.

Контрольные вопросы

1. Что называется импульсом и моментом импульса материальной точки и твердого тела? Направления этих величин.

2. Можно ли к системе «пуля-цилиндр» применить закон сохранения количества движения? Закон сохранения механической энергии?

3. Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью v, попадает в баллистический маятник длиной l и массой M и застревает в нем. Определите угол отклонения маятника.

 

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ СНАРЯДА С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА

 

Лабораторная работа 1.7.

 

Цель работы: экспериментальное изучение законов сохранения.

Приборы и принадлежности: крутильный маятник, набор снарядов, измерительная линейка, весы.

 

Порядок выполнения работы

 

Определение скорости полета снаряда производится в следующем порядке:

1. Максимально приблизить грузы (11) друг к другу ( R₁= = min ).

2. Обнулить маятник, т. е. установить маятник в положение, чтобы черта на чашечке совпадала с нулем шкалы на прозрачном экране.

3. Выстрелить снаряд.

4. Визуально зафиксировать максимальный угол j_m отклонения маятника.

5. Включить и обнулить счетчик времени нажатием кнопки СБРОС.

6. Отклонить маятник на угол , нажать кнопку СБРОС и отпустить одновременно с маятником.

7. Измерить время 10 колебаний и вычислить период T₁

( T₁ = t /10 ).

8. Максимально отдалить друг от друга грузы (11) ( R ₂ = = max ) и повторить действия по п.п. 2, 5 и 6.

9. Измерить время 10 колебаний и вычислить Т₂.

10. Скорость снаряда вычислить по формуле (7.15).

11. Измерения скорости снаряда повторить не менее трех раз. По данным этих измерений определить среднее значение скорости и ошибку измерений.

 

Контрольные вопросы

1. Какое направление имеет момент импульса твердого тела при вращении?

2. Дайте определение момента инерции. Сформулируйте теорему Штейнера

3. Сформулируйте закон сохранения момента импульса и энергии при вращательном движении.

4. Дайте определение углового ускорения и запишите основное уравнение динамики вращательного движения.

5. Вычислить момент инерции однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии, если известны его масса и радиус основания.

 

 

Описание гироскопа

 

Гироскоп представляет собой массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии. Эту ось называют осью гироскопа.

Рис. 8.1

Рассмотрим гироскоп с одной неподвижной точкой О на его оси. (рис.8.1). Точку 0 называют точкой опоры, или центром подвеса гироскопа. Если центр подвеса гироскопа совпадает с его центром масс, то результирующий момент сил тяжести всех частей гироскопа относительно 0 равен нулю. Такой гироскоп называется уравновешенным. После приведения уравновешенного гироскопа в быстрое вращение его ось будет сохранять свое направление в пространстве и сопротивляться всяким попыткам изменить это направление. Смещая груз m в ту или иную сторону от положения равновесия, вызываем разбаланс системы, в результате чего возникает вращающий момент , обусловленный действием силы тяжести mg груза. Величина вращающего момента будет равна

,

где m – масса уравновешивающего груза; - смещение груза m от положения, соответствующего равновесию

системы маховик – груз; - угол наклона оси гироскопа к вертикали.

Направление момента перпендикулярно силе тяжести mg и вектору момента импульса гироскопа L, т.е.

его оси. Если бы гироскоп не вращался, то под действием данного момента произошел поворот системы в вертикальной плоскости.

В случае вращающегося гироскопа его момент импульса за время получит приращение

, (8.1)

совпадающее по направленное с вектором , т.е. перпендикулярно . В результате этого вертикальная плоскость, проходящая через ось гироскопа, повернется на угол . Поскольку при этом взаимное расположение векторов и не изменится, то вектор будет все время перпендикулярным к . В итоге ось гироскопа будет непрерывно поворачиваться вокруг вертикали, совершая конусообразное движение. Такое движение называется прецессией. Угловая скорость прецессии равна

, (8.2)

где поворот оси гироскопа вокруг вертикальной оси может быть представлен как

.

Если учесть, что и , то придем к следующей формуле:

. (8.3)

Из выражения для видно, что скорость прецессии не зависит от угла наклона оси гироскопа по отношению к горизонту.

 

Порядок выполнения работы

 

1. Внимательно ознакомиться с установкой (рис.8.2). Перемещая уравновешивающий груз 1 вдоль линейки 2, добиться горизонтального положения оси гироскопа.

2.

С

Включить прибор нажав клавишу СЕТЬ и убедиться в том, что все индикаторы 3 и 4 высвечивают цифру 0. Плавно вращая ручку 5 – РЕГУЛЯТОР СКОРОСТИ, установить число оборотов двигателя равным n =3000 об/ мин. При достижении заданного числа оборотов убедиться в отсутствии прецессии и заметить положение груза на линейке ().

3. Установить груз 1 на максимальное расстояние от точки опоры С гироскопа. Убедиться в том, что ось гироскопа сохраняет горизонтальное положение, но появляется её вращение вокруг вертикали, т.е. прецессия. Нажав

клавишу СБРОС, включить

индикаторы времени и угла поворота. После поворота оси гироскопа на некоторый угол (около 30 – 100⁰) нажать клавишу СТОП.