Сравнительный анализ парадигм

Лабораторная работа № 1

Методы принятия решений: смещенного идеала
и перестановок

Цель работы: изучение основных алгоритмов методов смещенного идеала и метода перестановок.

 

Постановка задачи

Провести ранжирование альтернатив в выбранной предметной области, методами смещенного идеала и методом перестановок. Альтернативы должны удовлетворять свойствам множества Эджворта-Парето. Матрица принятия решений 4х4. При определении важности критериев учитывать степень изменчивости их оценок. Сравнить полученные результаты.

 

Содержание отчета

1. Название и цель лабораторной работы.

2. Постановка задачи в соответствии предметной области.

3. Полученные результаты. Выводы.

Контрольные вопросы

1. Анализ парадигм исследования операций и принятия решений (ПР).

2. Классификация типов проблем.

3. Что такое проблема, цель, тип задачи?

4. Альтернатива. Методы формирования множества альтернатив.

5. Критерии и ограничения. Принципы формирования множества критериев.

6. Основные типы шкал. Их характеристики. Аксиомы.

7. Методы оценки альтернатив.

8. Основные особенности выявления системы предпочтения личности, принимающей решения.

9. Концептуальная модель системы поддержки принятия решения.

10. Научно обоснованные методы принятия решений. Методы и требования, предъявляемые к ним.

11. Решающее правило. Множество Эджворта-Парето.

12. Общая схема решения многокритериальных задач ПР.

Теоретические сведения

Классификация типов проблем

Существуют большие различия в природе изучаемых проблем принятия решения. Эти различия одним из первых заметил Г.Саймон, который предложил удачную классификацию проблем. Согласно этой классификации, проблемы подразделяются на три класса, т.е. в тех случаях, когда существуют адекватные математические модели устройств или процессов и есть опытные данные.

1. Хорошо структурированные или количественно сформулированные проблемы, в которых существенные зависимости выяснены настолько хорошо, что они могут быть выражены в числах или символах, получающих в конце концов численные оценки.

2. Неструктурированные или качественно выраженные проблемы, в которых известен только перечень основных параметров, но количественные связи между ними установить нельзя (нет необходимой информации). Иногда ясно лишь, что изменение параметра в определенных пределах сказывается на решении. В таких случаях структура, понимаемая как совокупность связей между параметрами не определена, и проблема называется неструктурированной.

3. Слабо структурированные или смешанные проблемы, которые содержат как качественные, так и количественные элементы, причем качественные малоизвестные и неопределенные стороны проблем имеют тенденцию доминировать.

Согласно этой классификации типичные проблемы ИО можно назвать хорошо структурированными, т.е. существуют реальности допускающие строгое количественно описание и определяющие существование единственного очевидного критерия качества. Изучение реальной ситуации может требовать большого труда и времени. Необходимая информация может быть дорогостоящей.

Метод «стоимость – эффективность» представляет собой первые попытки сравнения вариантов решений для слабо структурированных проблем.

Типичные неструктурированные проблемы: проблема выбора профессии, конкурсного отбора проектов, выработки политики отбора статей в журналах, тендер.

Слабоструктурированные и неструктурированные проблемы исследуются в рамках научного направления, называемого принятием решений при многих критериях.

 

 

Основные элементы многокритериальной задачи принятия решений

Многокритериальная модель задачи принятия решений (ПР) может быть формально представлена в виде кортежа:

<T, S, K, X, F, P, R>,

где

T – анализ проблемной ситуации и выявление целей и определение типа задачи,

S – множество альтернатив,

K – множество критериев,

X – множество шкал,

F – отображение множества альтернатив на векторных оценок,

P – система предпочтений ЛПР,

R – решающее правило.

Формирование множества шкал

Сравнение альтернатив удается провести лишь в том случае, если интенсивности свойств, определяемых выбранными критериями, могут быть измерены у всех альтернатив. Таким образом, возникает необходимость в разработке оценочных шкал критериев. Типы шкал и их основные характеристики приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Аксиомы	Примечания. Примеры.
Номинальная (классификационная)
(a, b, c – значение шкалы) Аксиома тождества эквивалентности: - либо , либо ; - если ; - если и , то . Измерение состоит в том, чтобы проводимый эксперимент над объектом, определил принадлежность результата к тому или иному классу.	Суть измерения альтернатив в номинальной шкале – это разбиение их на классы эквивалентности по тому или иному признаку. Отличительная черта: отсутствие математических свойств. Это крайний случай шкалы, и она слабо используется для критериев. Только операция соблюдения или несовпадения .
продолжение табл. 1.3
	Примеры: семейное положение (одинокий. Женат, разведен, вдовец); политическая принадлежность, группа крови и т.д.
Порядковая (ранговая)
Если, кроме вышеуказанных аксиом, удовлетворяет следующим аксиомам упорядоченности: - либо a b, либо b a; - если a b и b c, то a c.	Отношение порядка не определяет расстояние между значениями шкалы. Примеры: служебное положение, образование, воинское звание; шкалы силы ветра, твердости, землетрясения и т.п.
Интервальная
Если, кроме вышеуказанных аксиом, можно ввести между любыми двумя значениями метрическое расстояние, т.е. какую-либо функцию, удовлетворяю-щую аксиомам: - ; - если a=b; - - Эти шкалы могут иметь произвольные начала отсчета и единицы длины, а связь между показаниями в таких шкалах является линейной: y=ax+b, a>0, .	Если два интервала в одной шкале и , а при другом выборе начала отсчета и единицы длины числами и , то имеет место Примеры: температура (по Цельсию либо по Фаренгейту); время (у христиан от рождества Христова, у мусульман – Магомета) и т.п.
Отношений
Если, кроме вышеуказанных аксиом, выполняются аксиомы аддитивности: A+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c). Если a=p и b>0, то a+b>p, Если a=p и b=g, то a+b=p+g;	Отношение двух значений шкалы не зависит от того, в какой из таких шкал произведены измерения , т.е. y=ax Примеры: длина, вес, электрическое сопротивление, деньги.

Построение решающих правил

Решающее правило представляет собой принцип сравнения векторных оценок и вынесение суждений о предпочтительности одних по отношению к другим. Оно может быть задано в виде аналитического выражения, алгоритма или словесной формулировки. Упорядочение множества А с помощью некоторого решающего правила и использование свойств отображения F позволяет осуществить переход к упорядочиванию непосредственно альтернатив на множестве S.

Решающие правила, используемые в многокритериальных задачах, можно разделить на:

- эвристические;

- аксиоматические.

При эвристическом подходе решающее правило представляет собой способ свертывания критериев. При этом возникает необходимость в определении некоторых параметров свертки, которые несут информацию о важности критерия (т.е. о компромиссе между критериями).

Аксиоматический подход основан на использовании теории полезности, авторами которой являются Д.Нейман и Д. Моргенштерн. Его отличают строгость, высокая точность в смысле малой вероятности ошибок. Но этот подход предполагает хорошее знание ЛПР решаемой задачи. ЛПР должен обладать четкой структурой предпочтений. Это более трудоемкая группа методов.

 

Требования и ограничения.

 

В итоге 70-х годов появился новый класс систем – системы поддержки принятие решений (СППР). Круг практического применения СППР стремительно расширяется. Это обусловлено следующими причинами:

- пройден определённый этап в использовании вычислительных машин в задачах организационного управления; стали явнее причины провалов и неудач АСУ, которые использовались для обеспечения потребности руководителей;

- накопились свидетельства о малом использовании классических моделей исследования операций в задачах принятия решений; пришло осознание того, что следует создать программные системы, ориентированные не на автоматизацию функций ЛПР, а на предоставление ему помощи в поисках хорошего решения;

- появились результаты психологического исследования ЛПР принятия решений, но выяснилось, что человеческая система переработки информации ограничена, ему надо помогать специальным образом, организуя процесс принятия решений.

СППР является интерактивной системой, которая позволяет ЛПР использовать данные, знания, объективные и субъективные модели для анализа и решения слабоструктурированных и неструктурированных проблем. Концептуальная схема СППР приведена на рис. 1.4.

Рис. 1.4

 

Блок АП: структуризация проблемы, проведение настройки СППР на предметной области пользователя (сформулировав множество критериев, альтернатив, множество шкал).

Блок ПР: на входе поступает структурированная проблема, с другой стороны определяется тип задачи ПР, а также выбор решающего правила.

Блоки БД, БМ, БЗ осуществляют поддержку блоков АП и ПР.

Требования: корректные и научно-обоснованные методы должны удовлетворять:

1. В методе должны использоваться только такие способы получения информации от ЛПР и экспертов, которые соответствуют возможностям человеческой системы переработки информации.

2. В методах ПР должны быть предусмотрены средства проверки информации на непротиворечивость. Мы будем использовать алгоритм с использование основного правила логического вывода. A, B, C – альтернативы.

3. Любые соответствия между вариантами решений должны объясняться на основе информации, полученной только от ЛПР.

4. Любые допущения относительно решающего правила должны быть математически обоснованы.

Ограничения. Следует подчеркнуть слово «поддержка». СППР только помогает принять решение, но они никогда не смогут заменить творчески мыслящего руководителя.

 

Множество Эджворта-Парето

Определение. Альтернатива A доминирует над альтернативой B если:

.

Определение. Множество недоминируемых альтернатив является множеством Эджворта-Парето.

Выделение множеств Эджворта-Парето является первым этапом решения задачи выбора.

 

Метод смещенного идеала

Эта целая группа методов, которые отличает следующие особенности:

- формирование идеального объекта, который в общем случае не принадлежит множеству альтернатив.

- наличие процедуры отсеивания, т.е. исключения из исходного множества альтернатив худших.

Полезность – воображаемая мера психологической и потребительской ценности различных благ.

Дано:

,

,

– оценка i-той альтернативы по j-му критерию.

, где – матрица принятия решений (МПР).

1. Формирование идеального и неидеального объекта

,

.

Для мажорируемых критериев:

= max ,

где - подмножество мажорируемых критериев, то есть полезность объекта возрастает при возрастании оценки критериев.

Для минорируемых критериве:

= min ,

где – подмножество минорируемых критериев, то есть полезность объекта возрастает при убывании оценки критериев

| | = m.

2. Переход к относительным единицам

 

0≤ ≤1.

3. Выявление системы предпочтения ЛПР

 

.

 

Чем больше, тем важнее критерий

4. Определение расстояния, текущего i объекта до неидеального объекта с использованием меры Минковского

,

где p = 1, 2, 3, 4, 5.

Для того, чтобы оба сомножителя и были одинаково направлены, т.е. увеличивались и соответственно вычисленному учету при оценки объекта.

5. Упорядочивание альтернатив при различных заданиях параметра. Обычно Р = .

Например: S={ }

 

P=1

P=2

P=3

P=4

P=5

 

6. Процедура отсеивания, суть которой заключается в исключении из множества S альтернативы, которая наиболее часто находится на последнем месте (в рассмотренном примере это ).

7. Алгоритм повторяется начиная с первого шага, до тех пор, пока множество S не станет пустым.

Преимущества:

- метод работает при большом количестве объектов и критериев, т.е. полиномиальная сложность.

Недостатки:

- сложная операция для ЛПР оценки возможности критериев числовыми значениями;

- шкалы критериев должны быть количественными;

- результат получен в ранговой шкале.

 

С применением энтропии

 

1. Сформируем матрицу принятия решений

– оценка по j-ому критерию для i-ой альтернативы.

 

2. Проведем нормировку

P =>

= {

,

где i = , j = ,

0≤ ≤1

3. Определим уровень энтропии для каждого критерия

= -k , где j= , k=

 

4. Уровень изменчивости

=1- , j=

5. Определим

, j=

 

6. Если имеется экспертная оценка , то комплексная важность критерия определяется

, j=

 

Пример выполнения лабораторной работы

Лабораторная работа №1

Методы принятия решений: «смещённого идеала» и перестановок

Выполнил:		ФИО
Принял:	проф.	Синюк В.Г.

Цель работы: изучение основных алгоритмов метода «смещённого идеала» и перестановок.

Постановка задачи: провести ранжирование альтернатив выбранной предметной области методом «смещённого идеала» и методом перестановок. Предварительно сформировать множество Эджворта-Парето. Матрица принятия решений – 4x4. При определении важности критериев учитывать степень изменчивости их оценок. Сравнить полученные результаты.

Содержание отчёта

1. Назначение и цель лабораторной работы.

2. Постановка задачи в соответствующей предметной области.

3. Полученные результаты. Выводы.

Пример выполнения

Предметная область – пылесосы.

Критерии – мощность, ёмкость пылесборника – мажорируемые, вес, цена – минорируемые.

Альтернативы:

1. Bosch BSG 82425;

2. Electrolux Z 8810 UltraOne;

3. Samsung SC6530;

4. Zelmer Aquawelt 919.0 ST.

Исходные данные

Номер альтернативы	Мощность (Вт)	Емкость пылесборника (л)	Вес (кг)	Цена (руб)
			6,1
		1,9
			5,2
		2,5	5,5

Альтернативы соответствуют множеству Эджворта-Парето.

Важность критериев (экспертная оценка)

ненормированные
нормированные	0,28	0,2	0,16	0,36

 

1. Метод смещённого идеала

Шаг №1.

Матрица принятия решений (x):

 

	k1	k2	k3	k4
s1			6,1
s2		1,9
s3			5,2
s4		2,5	5,5

1. Идеальный и неидеальный объекты:

S+			5,2
S-		1,9	6,1

2. Переход к относительным единицам (d):

S1			0,5	0,592592593
S2	0,769231			0,583164983
S3		0,97561
S4	0,980769	0,853659	0,1666667

3. Определение комплексной важности:

А) Матрица принятия решений:

	k1	k2	k3	k4
s1			6,1
s2		1,9
s3			5,2
s4		2,5	5,5

Б) Нормированная матрица принятия решений (p):

	k1	k2	k3	k4
s1	0,435233	0,483871	0,256303	0,2624935
s2	0,227979	0,153226	0,294118	0,2600726
s3	0,165803	0,16129	0,218487	0,1103234
s4	0,170984	0,201613	0,231092	0,3671105

В) Энтропия (Е):

Е1	Е2	Е3	Е4
0,937071	0,905892	0,995261	0,9467151

Г) Инвертированная энтропия (l):

l1	l2	l3	l4
0,062929	0,094108	0,004739	0,0532849

Д) Комплексная важность ():

0,312509	0,333819	0,013448	0,3402228

 

1. Определение расстояния от неидеального объекта до i-го:

	p=1	p=2	p=3	p=4	p=5
s1	0,791662	0,477865	0,412879	0,3865424	0,372555
s2	0,213934	0,1591	0,147779	0,1441305	0,142768
s3	0,361813	0,340586	0,340231	0,3402231	0,340223
s4	0,066068	0,05048	0,049077	0,0488882	0,048858

 

1. Ранжирование альтернатив и отсеивание:

P1: S1>S3>S2>S4

P2: S1>S3>S2>S4

P3: S1>S3>S2>S4

P4: S1>S3>S2>S4

P5: S1>S3>S2>S4

Найдена наихудшая альтернатива – S4. Исключаем её.

Шаг №2.

Матрица принятия решений (x):

 

	k1	k2	k3	k4
s1			6,1
s2		1,9
s3			5,2

1) Идеальный и неидеальный объекты:

S+			5,2
S-		1,9

2) Переход к относительным единицам (d):

S1			0,5
S2	0,769231			0,984090909
S3		0,97561

 

3) Определение комплексной важности:

 

А) Матрица принятия решений:

	k1	k2	k3	k4
s1			6,1
s2		1,9
s3			5,2

Б) Нормированная матрица принятия решений (p):

	k1	k2	k3	k4
s1	0,525	0,606061	0,333333	0,4147541
s2	0,275	0,191919	0,382514	0,410929
s3	0,2	0,20202	0,284153	0,1743169

В) Энтропия (Е):

Е1	Е2	Е3	Е4
0,924071	0,858725	0,993371	0,9420764

Г) Инвертированная энтропия (l):

l1	l2	l3	l4
0,075929	0,141275	0,006629	0,0579236

Д) Комплексная важность ():

0,297643	0,395571	0,014849	0,2919364

 

4) Определение расстояния от неидеального объекта до i-го:

	p=1	p=2	p=3	p=4	p=5
s1	0,700639	0,495099	0,445245	0,4240459	0,41304
s2	0,073331	0,068844	0,068694	0,0686873	0,068687
s3	0,316433	0,292473	0,291953	0,291937	0,291936

5) Ранжирование альтернатив и отсеивание:

P1: S1>S3>S2

P2: S1>S3>S2

P3: S1>S3>S2

P4: S1>S3>S2

P5: S1>S3>S2

Найдена наихудшая альтернатива – S2. Исключаем её.

 

Шаг №3.

Матрица принятия решений (x):

 

	k1	k2	k3	k4
s1			6,1
s3			5,2

1) Идеальный и неидеальный объекты:

S+			5,2
S-			6,1

2) Переход к относительным единицам (d):

S1
S3

3) Определение комплексной важности:

А) Матрица принятия решений:

	k1	k2	k3	k4
s1			6,1
s3			5,2

Б) Нормированная матрица принятия решений (p):

	k1	k2	k3	k4
s1	0,724138	0,75	0,539823	0,7040816
s3	0,275862	0,25	0,460177	0,2959184

В) Энтропия (Е):

Е1	Е2	Е3	Е4
0,849751	0,811278	0,995419	0,8762442

Г) Инвертированная энтропия (l):

l1	l2	l3	l4
0,150249	0,188722	0,004581	0,1237558

Д) Комплексная важность ():

0,336291	0,301716	0,005859	0,3561345

 

4) Определение расстояния от неидеального объекта до i-го:

	p=1	p=2	p=3	p=4	p=5
s1	0,638007	0,451801	0,403096	0,3810222	0,368569
s3	0,361993	0,356183	0,356135	0,3561345	0,356135

5) Ранжирование альтернатив и отсеивание:

P1: S1>S3

P2: S1>S3

P3: S1>S3

P4: S1>S3

P5: S1>S3

Найдена наихудшая альтернатива – S3. Исключаем её.

Результат – альтернатива №1 – Bosch BSG 82425.

 

Метод перестановок

Матрица принятия решений (x):

	k1	k2	k3	k4
s1			6,1
s2		1,9
s3			5,2
s4		2,5	5,5

Комплексная важность ():

0,312509	0,333819	0,013448	0,3402228

 

Для перестановки {S1 S2 S3 S4}

1) S1>S2

C=(1 2 3)

H=(4)

2) S1>S3

C=(1 2)

H=(3 4)

3) S1>S4

C=(1 2 4)

H=(3)

4) S2>S3

C=(1)

H=(2 3 4)

5) S2>S4

C=(1 4)

H=(2 3)

6) S3>S4

C=(3 4)

H=(1 2)

Вес перестановки:

B=1,22314

 

Веса всех перестановок:

Перестановка	Вес
	1,22314
	1,808454
	1,973102
	1,362172
	1,197525
	1,947486
	0,584034
	1,169348
	-0,00128
	-1,94749
	-0,77686
	-1,36217
	1,387787
	0,776858
	0,748681
	-1,19752
	-1,16935
	-1,80845
	-0,74868
	0,001281
	-1,38779
	-1,9731
	-0,58403
	-1,22314

 

Лучшая перестановка (с максимальным весом) – 1324. Получаем лучшую альтернативу S1 – Bosch BSG 82425.

Лабораторная работа № 2

 

Постановка задачи

Провести оценку альтернатив при рассмотрении проблемы выбранной предметной области. Количество уровней – 3. Количество критериев не менее 5. Количество альтернатив не менее 3.

 

Содержание отчета

1. Название лабораторной работы.
2. Цель работы.
3. Постановка задачи в соответствующей предметной области.
4. Полученные результаты. Выводы.

 

Контрольные вопросы

1. Методологические основы АИП.

2. Принципы и аксиомы АИП.

3. Определение иерархии и её формализация.

4. Шкала парных сравнений. Требования к ней. Закон Вебера-Фехнера.

5. Основные соотношения для идеально-согласованной матрицы парных сравнений (МПС).

6. Формулировка задачи обработки реальной МПС.

7. Содержательное отличие между индексом согласованности (ИС) и относительной согласованностью (ОС)

8. Принцип иерархической композиции. Локальные и глобальные приоритеты.

Теоретические сведения

Задачи принятия решений остро стоят перед: работниками управ- ления, экономистами, финансистами, социологами, оценщиками, работниками здравоохранения, военными, психологами, работниками социальной сферы, которые всегда стоят перед выбором наилучшего, наиболее нерискованного, дешевого решения.

Система поддержки принятия решений на основе АИП может использоваться при решении следующих типовых задач:

- оценка качества организационных, проектных и конструкторских решений;

- определение политики инвестиций в различных областях;

- задачи размещения (выбор места расположения вредных и опасных производств, пунктов обслуживания);

- распределение ресурсов;

- анализ рисков;

- проведение анализа проблемы по методу «стоимость – эффективность»;

- планирование от достигнутого и планирование желаемого будущего;

- стратегическое планирование;

- разрешение конфликтов;

- проектирование и выбор оборудования, товаров;

- выбор профессии, места работы, подбор кадров;

- оценка рейтинга клиентов.

Существуют многочисленные ссылки на успешное применение метода при решении разнообразных задач:

- http://decisionlens.com/

- http://expertchoice.com/

Основные положения метода анализа иерархий были разработаны известным американским математиком Т. Л. Саати и опубликованы в 1977 г. Томас Саати является одним из самых ярких представителей прикладной науки. Об этом говорят не только математическая эрудиция и глубина новых теоретических результатов, но и диапазон приложений. Он был прав, предпослав к одной из своих монографий эпиграф: «Я люблю обе стороны математики: чистую – как возвышенный уход от реальности, прикладную – как страстное стремление к жизни».

АИП используется для решения слабо структурированных и неструктурированных проблем. Методология решения таких проблем опирается на системных подход, при котором проблема рассматривается как результат взаимодействия множества разнородных объектов, а не просто как их изолированная и автономная совокупность.

Человеку присущи два характерных признака аналитического мышления: один – умение наблюдать и анализировать наблюдения (т.е. разбить проблему в целом на составляющие части, более доступные для решения), другой – способность устанавливать отношения между частями, оценивая уровень (интенсивность) взаимосвязей, а затем синтезировать эти отношения в общее восприятие наблюдаемого.

На основе этих свойств человеческого мышления были сформулированы три принципа, реализация которых и является содержанием АИП:

- принцип идентификации и декомпозиции;

- принцип дискриминации и сравнительных суждений;

- принцип синтеза.

АИП фокусируется на достижении целей. Его использование приводит к «рациональным решениям» в соответствии со следующим определением.

Рациональным решением называется решение, которое наилучшим образом достигает множества целей, поставленных ЛПР.

Ключевой момент здесь является фокусирование на целях, а не на альтернативах или атрибутах.

Прямой метод

Рассмотрим алгоритм над идеально-согласованной матрицей т.к. результаты в этом случае известны

1. Определим среднее геометрическое каждой строки R

,

 

2. Вычислим сумму средних геометрических, полученных в п. 1

 

 

3. Разделим среднее геометрическое каждой строки R (п. 1) на значение, полученное в п. 2, т. е. получим нормированное значение собственного вектора.

,

 

Для получения выполним следующие шаги:

4. Определим сумму элементов для каждого столбца матрицы R

 

,

5. Определим скалярное произведение векторов, полученных в п. 3 и в п. 4., что соответствует максимальному собственному числу идеально согласованной матрицы R.

Итерационный метод

Основан на теореме:

Теорема. Для положительной квадратной матрицы R собственный вектор , соответствующий максимальному собственному значению , с точностью до постоянного сомножителя C определяется по формуле:

,где k=1,2,3… - т.;

- единичный вектор;

c – константа;

t – знак транспонирования;

Вычисление собственного вектора производятся до достижения заданной точности:

,

где k = 1, 2, 3, … – номер итерации; – допустимая погрешность.

С достаточной для практики точностью принимается =0,01 независимо от порядка матрицы. Максимальное собственное значение вычисляется по формуле

В результате обработки матрицы получаем «локальные» приоритеты элементов группы по отношению к родителю.

 

Переменные состояния

Каждый канонический сценарий описывает состояние системы. Чтобы их охарактеризовать используют список переменных, которые называются переменными состояния. Каждый из канонических сценариев может быть описан на языке изменения этих переменных под статус кво. Интенсивность изменений предлагается измерять с помощью шкалы разностей, представленной в табл. 2.7.

Таблица 2.7.

Разность в значениях	Определение
	не изменяется
2 (-2)	небольшое увеличение (уменьшение)
4 (-4)	большое увеличение (уменьшение)
6 (-6)	значительное увеличение (уменьшение)
8 (-8)	максимальное увеличение (уменьшение)
1,3,5,7	Среднее

Калибровка переменных состояний относительно контрастных сценариев на примере материального положения трудоспособного населения представлена в табл.2.8.

Таблица 2.8.