Интегрирование рациональных функций

Частное от деления двух многочленов называют рациональной функцией или просто рациональной дробью, которая обычно обозначается R(x). Согласно определению

R(x)= , (1)

где P_m(x)-многочлен степени m, а Q_n(x) - многочлен степени n. При этом дробь называется правильной, если m < n и неправильной, если m ≥ n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части дроби) и правильной рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель, т.е. в виде

R(x)= =L_r(x)+ , (2)

где L_r(x)- многочлен степени r = m-n (частное от деления), р_k(х)- многочлен степени k<n (остаток от деления).

Пример 1. Представить неправильную дробь R(x)= в виде сум- мы многочлена и правильной дроби. Решение. Разделим числитель на знаменатель.

x³+5x-4 |x-1

x³-x ² x²+x+6

x²+5x

x²-x

6x-4

6x-6

Следовательно, R(x)= = x²+x+6+ .

Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы, так называемых, простейших дробей, указанных ниже четырёх видов:

1. ; 11. ; 111. ; 1V. , где n=2,3,…, и квадратный трёхчлен x²+px+q имеет отрицательный дискриминант. Рас-смотрим интегрирование первых трёх видов простейших дробей.

1. =Aln(x-a)+C. 11. +C=

= +C. 111. dx. В данном интеграле в началевыделим в числителе производную знаменателя, т.е. выражение 2х+p, затем разделим числитель на знаменатель, почленно, получим два интеграла. В первом интеграле 2х+p подведём под знак интеграла, получим табличный интеграл 11. таблицы 2. Во втором интеграле выделим в знаменателе полный квадрат суммы вида x²+px+q=x²+px+ - +q=(x+ )²+q- , сделаем замену выражений, x+ =t dx=dt, так как x²+px+q имеет отрицательный дискриминант то q- >0 обозначим q- =a², получим тоже табличный интеграл V111. таблицы 2.

dx= +

+ (N- ) = + (N- - ) = = ln(x²+px+q)+ arctg +C= ln(x²+px+q)+ arctg +C.

Рассмотрим теперь разложение правильной рациональной дроби на простейшие. Вспомним, что, согласно теореме Гаусса, количество корней всякого многочлена равно показателю его наивысшей степени и многочлен можно, по теореме Безу, разложить на множители следующим образом:

Q_n(x)=A_oxⁿ+A₁x^n-1+A₂x^n-2+…+A_n-1x+A_n=A_o(x-x₁)(x-x₂)…(x-x_n), (3)

где х₁, х_{2, …,} x_{n -} корни многочлена среди которых могут быть кратные и комплексные, а каждому комплексному корню соответствует сопряжённый ему, тогда каждой паре комплексно спряжённых корней x_j,, x_j+1 в разложении (3) будет отвечать квадратный трёхчлен x²+p_jx+q_j c отрицательным дискриминантом. Если некоторый корень, например, x_i повторяется k раз, то в разложение (3) войдёт множитель (x-x_i)^k, а если комплексный корень, например, x_l повторяется r раз то в разложение (3) войдёт множитель (x²+p_lx+q_l)^r. Перепишем разложение (3) с учётом сказанного.

Q_n(x)=A_oxⁿ+A₁x^n-1+…+A_n-1x+A_n=A_o(x-x₁)…(x-x_i)^k…(x²+p_jx+q_j) …(x²+p_lx+q_l)^r…(x-x_n). (4) Если знаменатель правильной дроби (2) разложен на множители вида (4), то её можно представить в виде суммы простейших дробей, при этом каждому простому множителю вида (х-х₁) соответствует простейшая дробь вида 1. , множителю вида (x-x_i)^k - сумма простейших дробей вида + + …+ , множителю x²+p_jx+q_j дробь вида ,а каждому множителю вида (x²+p_lx+q_l)^r –сумма дробей + +…+ . Рассмотрим разложение правильной дроби на простейшие в примерах.

Пример 2. Разложить правильную дробь на простейшие.

Решение: Знаменатель дроби разложим на множители. x⁴+x³+x+1=x³(x+1)+x+1=(x+1)(x³+1)=(x+1)²(x²-x+1) и дробь представим в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами

= = + + Коэффициенты A,B,C,D найдём методом сравнения коэффициентов при одинаковых степенях. Приведём дроби к общему знаменателю.

= . Дроби равны, знаме-натели равны, следовательно, равны и числители. Приравняем числители и одновременно раскроем скобки.

3x²+4x-2=Ax²-Ax+A+Bx³+B+Cx³+2Cx²+Cx+Dx²+2Dx+D. Многочлены равны, следовательно, равны коэффициенты при одинаковых степенях. Приравняем их.

При: х³ В+C=0,

x² A+2C+D=3,

x -A+C+2D=4,

x⁰ A+B+D = -2. Получили систему четырёх уравнений с четырьмя неизвестными. Из первого уравнения В=-С. Подставим в четвёртое получим систему трёх уравнений.

Решив систему получим: A=-1, B=-5/3, C=5/3 D=2/3, следовательно имеем искомое разложение.

= + + .

Пример 3. Разложить правильную дробь на простейшие.

Решение: Найдём корни знаменателя, разложим знаменатель на множители, приведём дроби к общему знаменателю и приравняем числители.

= = =

= . x²+4=A(x-2)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x-2).

Найдём неизвестные коэффициенты другим методом, который называется методом произвольных значений х. Этим методом удобно пользоваться, когда корни многочлена вещественные и различные. Дадим значения переменной х равные корням многочлена знаменателя и подставим их в последнее равенство получим: при х=0 A=2/3, при х=2 получаем В=-4, при х=3 – С=13/3. Искомое решение примет вид: В=-4 и при х=3 – С=13/3. Искомое разложение примет вид

= .

На основании выше изложенного составим алгоритм нахождения интеграла от рациональной дроби.

1) Если дробь не правильная то надо выделить у неё целую часть, разделив числитель на знаменатель или другим методом и представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2) Разложить многочлен знаменателя на множители.

3) В соответствии с множителями знаменателя правильную дробь представить в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами.

4) Найти коэффициенты простейших дробей одним из выше указанных способов.

5) Проинтегрировать многочлен (целую часть дроби) и простейшие дроби.

Пример 4. Найти . Решение. Под знаком интеграла дробь неправильная. Запишем отдельно дробь. В числителе выделим знаменатель и почленно разделим.

= =1- . Целая часть многочлена равна единице. Полученную правильную дробь разложим на простейшие. = = = =

= = = =

= . Приравняем числители.

А(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x-1)²=2.

Найдём коэффициенты методом произвольных значений х. Дадим значения переменной х равные -2; 1, получим: С=2/9, А=2/3, при х=0 получаем 2А-2В-С=2, 4/3-2В-2/9=2 отсюда В=4/9. Получаем:

=1- .

Найдём окончательное выражение интеграла.

= =x+ - ln|x-1|-

- ln|x+2|+C.