Множества и операции над ними

Множества и операции над ними

Основные понятия

В основах математического анализа лежит понятие множества. Данное понятие в математике не определено. Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по какому либо признаку. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множество принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, Х…, а их элементы – малыми буквами a, b, x. Если элемент принадлежит множеству Х, то пишут и в случае, если элемент не принадлежит множеству X. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, его обозначают Æ. Множество можно задать либо перечислением его элементов, либо указанием правила по которому элементы объединены в данное множество. Например, множество X ={дедка, бабка, внучка, жучка, кошка, мышка} или X= { x: x – участник сбора урожая репы}.

§ Множество A называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В (обозначается ).

§ Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (обозначается ).

§ Объединением множеств А и В (обозначается ) называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств. Кратко можно записать следующим образом: .

§ Пересечением множеств А и В (обозначается ) называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Кратко: .

§ Разностью множеств А и В (обозначается ) называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и не принадлежит множеству В. Кратко: .

В дальнейшем при изложении будем использовать следующие символы:

– влечет ;

– и равносильны;

– «для всякого», «для любого»;

– «существует», «найдется»;

: – «такое что».

Числовые множества

Одним из основных понятий математики является число. В курсе высшей математики мы будем изучать, в основном, числовые множества. Понятие числа возникло в древности и на протяжении длительного времени подвергалось расширению и обобщению. Первые представления о числе возникли из счета предметов. Результатом счета являются числа 1,2,3,…. Такие числа называются натуральными и обозначаются N. На языке множеств можно записать следующим образом: N ={1,2,3,…}. Натуральные числа, противоположные числа и 0 образуют множество целых чисел: Z ={0,1,-1,2,-2…}. К рациональным числам относят числа вида , где , т.е. ={ : }. Все бесконечные непериодические дроби образуют множество иррациональных чисел. Множество действительных чисел содержит все рациональные и иррациональные числа, т.е. является объединением двух множеств. Множество можно изобразить в виде числовой оси, где каждая точка является изображением только одного действительного числа. Множествами на такой числовой оси являются следующие числовые промежутки (здесь ):

Замкнутый интервал (отрезок) ;

Открытый интервал ;

Полуоткрытые интервалы

Полубесконечные интервалы

Бесконечный интервал .

§ Окрестностью точки называется любой интервал (a, b), содержащий точку . В частности интервал , где называется окрестностью точки .

Далее приведем некоторые понятия, которые будут использоваться нами при изложении.

§ Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа xназывается неотрицательное число , определяемое соотношением

Геометрически выражает расстояние на числовой прямой от точки 0 до точки х. Соответственно, выражает расстояние от точки а до точки х. В частности, окрестность точки можно описать неравенством .

Приведем без доказательства следующие свойства абсолютной величины:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) , если | y |¹0.

§ Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения.

§ Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой величины.

Функция

Некоторые свойства функций

ü Функция , определяемая на множестве D является четной, если выполняются условия и ; нечетной, если выполняются условия и . График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

ü Функция определена на множестве D и пусть . Если для любых значений : , то функция называется возрастающей на множестве ; , то функция называется убывающей на множестве ; , то функция называется неубывающей на множестве ; , то функция называется невозрастающей на множестве . Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции на называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна называются интервалами монотонности.

ü Функцию , определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство . График ограниченной функции лежит между прямыми и .

ü Функцию , определенную на множестве D, называют периодической на этом множестве, если существует такое число , что при каждом значение и . Число называется периодом функции.

Обратная функция

Пусть задана функция с областью определения D и множеством значений E. Если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения E и множеством значений D. Такая функция называется обратной к функции .

Из определения обратной функции вытекает, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда каждому соответствует единственное и наоборот, то есть когда функция задает взаимнооднозначное соответствие между множествами и . Тогда всякая строго монотонная функция имеет обратную, при этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Предел функции

Предел функции в точке

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки или в некоторых точках этой окрестности.

§ Говорят, что функция стремится к пределу () при стремящемся к (), если для любого сколь угодно малого найдется такой , что для всех , отличных от и удовлетворяющих неравенству имеет место неравенство . Записывают следующим образом .

Кратко это определение записывают, при помощи общепринятых обозначений, перечисленных в п. 8.1., следующим образом:

.

Геометрически это определение означает, что чем ближе значение аргумента функции х к х ₀, тем ближе значение функции у к А (какую бы маленькую мы ни выбрали e-окрестность точки А, найдется такое d, что для всех знасчений аргуимента из d-окрестности точки х ₀ значение функции попадет в e-окрестность точки А).

Односторонние пределы

В определении предела функции считается что любым способом. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятие односторонних пределов.

§ Число А называется пределом функции слева в точке , если для любого существует число такое, что при , выполняется неравенство . Предел слева записывают следующим образом или . Аналогично определяется предел функции справа. Обозначается или . Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами.

Бесконечно большие функции

§ Функция называется бесконечно большой функцией (ББФ) при , если

. Записывают: .

Иными словами, такая функция f (x) является неограниченной в окрестности точки х ₀.

Если f (x) – бесконечно большая при и при этом принимает вблизи точки х ₀ только положительные значения, то пишут ; если такая функция принимает только отрицательные значения, то .

§ Функция называется бесконечно большой функцией при , если . Записывают: .

 

Пример. Рассмотрим функцию , представленную на рисунке.

 

 

Рис. 19

 

Здесь ; ; ; ; ; ; ; .

 

Бесконечно малые функции

Основные теоремы о пределах

Теорема 11.6. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.

Доказательство. Пусть Þ по теореме.5 , где - БМФ. Аналогично, если , то , где - БМФ.

Тогда

Поскольку сумма двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая, следовательно – бесконечно малая функция. Таким образом, по теореме 5, получим:

Следствие. Если предел функции существует, то он

единственный.

Теорема 11.7. Предел произведения двух функций равен произведению пределов, т.е. .

Теорема 11.8. , если .

Теорема 11 9. (Теорема о пределе промежуточной функции.)

Если функция такова, что и , то .

 

Теорема 11.10. Если функция монотонна и ограничена при (), то существует

().

Техника вычисления пределов. Примеры

Для вычисления пределов вида , где и многочлены степеней и , необходимо вынести за скобку в числителе и в знаменателе .

Пример 1.

.

Для вычисления пределов вида необходимо привести их к пределам вида .

Пример 2.

. (В данной задаче для преобразования предела к виду использовалось приведение к общему знаменателю).

Пример 3.

= . (В данной задаче для преобразования предела к виду умножили и разделили на сопряженное).

Для вычисления пределов вида необходимо выяснить, определена ли функция при . Если принадлежит области определения функции , то .

Пример 4. .

Если и , то .

Пример 5. .

При и , т.е. если , необходимо (в случае и ) разделить числитель и знаменатель на .

Пример 6.

.

Пример 7.

=

.

 

Первый замечательный предел

Рассмотрим функцию . Она не определена при , так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Однако можно заметить, что если , то значения функций и приблизительно одинаковые. Это можно увидеть на представленном ниже рисунке и сравнить значения в таблице.

 

Значения аргумента
	0,785	0,71
	0,523	0,5
	0,17	0,17
	0,017	0,017

 

Чем ближе , тем больше и схожи в значениях. Таким образом, можно заключить, что при функция . Итак, докажем формулу . Для этого рассмотрим единичную окружность. Пусть .

, , .

Так как , то .

Разделим данное неравенство на . Знак неравенства при этом не изменится, поскольку лежит в I четверти. Получим:

.

Следовательно, . Воспользуемся теоремой о пределе промежуточной функции. Поскольку при функция и , тогда при .

Итак,

Ниже представлен график функции .

Эквивалентные функции

§ Если , где и БМФ, то называется эквивалентной к при , пишут .

Таким образом, поскольку функции и являются бесконечно малыми при , то они являются эквивалентными при , т.е. .

Теорема 11.11. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей БМФ.

Примеры.

1)

2) . В данном случае заменить невозможно, поскольку функция не является бесконечно малой при .

§ Вообще говоря, если и БМФ при , то:

1. если , то ;

2. если существует конечный предел , то и - БМФ одного порядка малости;

3. если , то - БМФ более высокого порядка малости, чем ;

4. если , то БМФ более низкого порядка малости, чем .

Говорят, что БМФ одного порядка стремятся к нулю с одинаковой скоростью.

Теорема 11.12 Сумма конечного числа БМФ эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Пример: при .

§ Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы. Замена суммы БМФ ее главной частью называется отбрасыванием БМФ высшего порядка.

Теорема 11.13. Разность двух эквивалентных БМФ есть БМФ более высокого порядка.

Ниже представлены эквивалентные бесконечно малые, используемые при решении задач на вычисление пределов.

 

 

Примеры.

1) .

2) .

3) . Для решения данной задачи сделаем замену переменной. Пусть , тогда . Имеем:

= .

Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом называется предел вида

.

На графике функции , представленном ниже, видно, что при данная кривая стремится к некоторому значению, приблизительно равному 2, 72.

Данное число является иррациональным, оно названо в честь Леонардо Эйлера, Это число известно читателю как основание натурального логарифма.

Итак,

.

 

Нижеприведенная формула является обобщением второго замечательного предела и используется при вычислениях.

 

 

11.7. Техника вычисления пределов вида .

Пусть , , а .

Если и , то .

Пример 1. .

Так как , а , тогда .

Если , а , то

	С=0	С=
	С=	С=0

Пример 2. .

Так как , а , тогда .

В случае А = 1, используем формулу

Пример 3. =

.

 

Непрерывность функции

Классификация точек разрыва

Пусть точка разрыва функции .

§ Точка называется точкой устранимого разрыва первого рода, если .

 

 

 

§ Точка называется точкой неустранимого разрыва первого рода, если , а , причем .

 

 

§ Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов (справа или слева) не существует или равен бесконечности.

 

 

Производная функции

Дифференцируемость функций

§ Если функция имеет производную в точке , т.е. если существует , то мы говорим, что при данном значении функция дифференцируема или имеет производную.

§ Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала , то она называется дифференцируемой на интервале .

Теорема 13.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.

(обратное, вообще говоря, неверно).

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной.

Логарифмическая производная

Пусть . Прологарифмируем данную функцию. Тогда . Данная функция является неявной. Найдем ее производную: . Тогда

.

Пример. Найдем производную функции .

Прологарифмируем функцию: , следовательно,

.

Примеры вычисления производных

1) .

Для вычисления производной сначала преобразуем нашу функцию: .

Тогда имеем:

.

2) . Здесь воспользуемся формулой производной произведения. Имеем: .

3) .

Воспользуемся формулой производной отношения:

.

4) .

Данная функция является сложной, что дает нам право воспользоваться соответствующей формулой. Имеем:

.

5) .

.

6) .

7) .

.

8) .

Данная функция является неявной. Продифференцируем обе части равенства: .

9) . Для решения данной задачи прологарифмируем обе части равенства и вычислим производную неявной функции.

.

10) .

Прологарифмируем обе части равенства:

.

Далее продифференцируем неявную функцию:

Þ

Þ

.

Производные высших порядков