Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

СЛАУ – это система уравнений вида:

Здесь m – количество уравнений, а n – количество неизвестных. x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить.a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Рассмотрим в этой работе решение способами: матричным методом, с применением функции lsolve, методом Крамера и при помощи решающего блока Given и функции Find.

Способ 1. Решение СЛАУ матричным методом

Решение этим методом заключается в решении матричного уравнения вида R:=M^-1*V. Для этого необходимо:

- сформировать матрицу коэффициентов системы линейных уравнений – М;

- сформировать вектор-столбец свободных членов системы линейных уравнений – V;

- найти искомые параметры с помощью матричного уравнения.

Пусть задана система:

Решение матричным методом показано на рис.6.

Способ 2. Решение СЛАУ с применением
функции lsolve

Для решения этим способом нужно:

- сформировать матрицу коэффициентов системы линейных уравнений – М;

- сформировать вектор-столбец свободных членов системы линейных уравнений – V;

- вызвать с помощью мастера функций функцию lsolve с параметрами M и V как показано на рис. 7.

 

Способ 3. Решение СЛАУ методом Крамера

Для решения этим способом нужно:

- сформировать матрицу коэффициентов системы линейных уравнений – М;

- сформировать вектор-столбец свободных членов системы линейных уравнений – V;

- найти определитель матрицы М;

- сформировать матрицы по количеству неизвестных системы из коэффициентов СЛАУ, в каждом из которых заменить один из столбцов на столбец вектора свободных членов V;

- найти определители сформированных матриц;

- частное от деления определителей этих матриц на определитель матрицы М – решение СЛАУ (рис.8).

Способ 4. Решение СЛАУ при помощи решающего блока Given и функции Find

Как уже говорилось ранее в описании решения уравнения с помощью решающего блока Given и функции Find, первоначально определяются нулевые приближения, затем после указания зарезервированного слова Given даются уравнения системы, причем равенство берется с панели «Булева алгебра». Решение приведено на рис.9.

Решение систем нелинейных уравнений (СНУ)

Система нелинейных уравнений – система, содержащая трансцендентные уравнения. Трансцендентное уравнение – уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции. В Mathcad такие системы решаются при помощи решающего блока Given и функции Find. Пример такого решения приведен на рис. 10.

Решение систем неравенств

Системы неравенств в Mathcad решаются также при помощи решающего блока Given и функции Find (рис. 11).

 

Задание

1) Решить уравнение всеми вышеописанными способами. Вариант задания выбрать из таблицы 1, номера задания советует номеру, под которым стоит ваша фамилия в журнале группы.

2) Составить и решить СЛАУ всеми вышеописанными способами. Коэффициенты системы подобрать самостоятельно, сформировав СЛАУ из трех уравнений по трем неизвестным.

3) Составить и решить СНУ. Коэффициенты системы подобрать самостоятельно, сформировав СНУ из трех уравнений по трем неизвестным

4) Составить и решить систему неравенств. Коэффициенты системы подобрать самостоятельно, сформировав систему из трех неравенств по трем неизвестным

Содержание отчета

1) Тема, цель работы.

2) Индивидуальное задание, текст документа Mathcad с результатами вычислений по заданию 1.

3) Сформированная СЛАУ, текст документа Mathcad с результатами вычислений по заданию 2.

4) Сформированная СНУ, текст документа Mathcad с результатами вычислений по заданию 3.

5) Сформированная система неравенств, текст документа Mathcad с результатами вычислений по заданию 4.

6) Выводы по проделанной работе.

индивидуальные задания

Таблица 1
Функции к заданию 1

Вариант	Уравнение
	x^3 + 3x – 1 = 0
	x^3 + 2x + 1 = 0
	x^3 + x – 1 = 0
	x^3 – 3x^2 – 17x + 22 = 0
	cos x · e^x + 1 = 0
	e^x – x^2 = 0
	x^3 – 2^x + 2 = 0
	x^3 – x + 2 = 0
	x^3 – 2x – 5 = 0
	cos x – x + 4 = 0
	2x – 3ln x – 3 = 0
	x^2 + sin2x – 2 = 0
	x = tg x
	x^3 – 3x^2 + 2 = 0
	x^3 + x – 3 = 0
	x^3 – x + 1 = 0
	x^3 + 3x + 1 = 0
	x^3 + 3x^2 – 1 = 0
	x^3 + 4x^2 – 2 = 0
	x^5 – x – 0,2 = 0
	x^3 – 0,2x^2 – 0,2x – 1,2 = 0
	x^4 + 2x^3 – x – 1 = 0
	x^3 – 3x – 3 = 0
	x^3 – 2x – 8 = 0
	x^2 + 4 sin x = 0
	3x – cos x – 1 = 0
	2x – lg x = 0
	x^3 – 5x^2 – 4x + 0,092 = 0
	x^3 – 4x^2 – 7x + 13 = 0
	x^3 – 10x^2 + 44x – 29 = 0

Контрольные вопросы

1) Общий вид функции, применяемой для нахождения корней уравнения.

2) К какому виду нужно преобразовать уравнение, перед тем как найти корень?

3) Можно ли найти несколько корней уравнения с помощью одной функции root?

4) Какое матричное уравнение необходимо применять для решения системы линейных уравнений?

5) Можно ли решить систему нелинейных уравнений с помощью матричного способа?

6) Что такое решающий блок?

7) Что такое ведущая переменная в решающем блоке?

8) Каким сочетанием клавиш можно поставить знак равенства внутри блока?

9) Может ли быть количество переменных в блоке больше количества уравнений? А неравенств?

10) Можно ли решить уравнение с помощью решающего блока?

11) Обязательно и определять значение ведущих переменных до самого решающего блока?

12) Обязательно ли присваивать переменной значения функции find?

13) Какие параметры используются в функции lsolve?

 

Лабораторная работа № 10

Символьные вычисления, системы счисления, вычисления с
единицами измерений в среде пакета Mathcad

ЦЕЛЬ. Научиться производить символьные расчеты в пакете Mathcad и использовать различные системы счисления. Освоить организацию вычислений с единицами измерений и масштабирования; научиться составлять вычислительные документы с использованием единиц измерений и масштабирования; освоить реализацию документа на ПК.

Основные положения