Пружний і непружний удари куль

 

МЕТА РОБОТИ Визначити коефіцієнти пропорційності в законах збереження імпульсу і механічної енергії при пружному і непружному спів­ударяннях куль і порівняти їх експериментальні значення з тео­ретичними.

ОБЛАДНАННЯ - Дві кулі.

 

10.1 Основні положення

 

Ударом називається зіткнення тіл, при якому за дуже коро­ткий проміжок часу відбувається значна зміна швидкостей тіл.

Під час удару тіла зазнають деформації. Кінетична енергія відносного руху тіл. що співударяються. па короткий час пере­творюється в енергію пружної деформації. При ньому має місце перерозподіл енергії між тілами, що співударяються.

Якщо після зіткнення в обох взаємодіючих тілах не зали­шається ніяких деформацій і уся кінетична енергія, яку вони ма­ли до удару, знову перетворюється в їх кінетичну енергію, то та­ке зіткнення називається абсолютно пружним ударом.

Якщо в результаті зіткнення двох тіл деформація не зникає й обидва тіла, об'єднуючись, рухаються далі як єдине тіло, то таке зіткнення називається абсолютно непружним ударом.

Пряма, що проходить через точку дотику тіл і нормальна до їхніх поверхонь, називається лінією удару. Якщо лінія удару проходить через центри мас обох тіл, то удар називається центральним.

Удар називається прямим, якщо швидкості взаємодіючих тіл паралельні лінії удару.

Прикладом прямого центрального удару може бути зітк­нення двох підвішених па нитках куль у момент проходження ними положення рівноваги.

При абсолютно пружному й абсолютно непружному ударах ви­копуються закони збереження імпульсу й енергії.

Взагалі законами збереження є фундаментальні закони, згідно з якими за певних умов деякі фізичні величини не зміню­ються з часом, тобто зберігаються.

Закон збереження і перетворення енергії - загальний закон природи, згідно з яким енергія будь-якої замкнутої системи при всіх процесах, що відбуваються в системі, не змінюється з часом (залишається сталою, зберігається). При цьому енергія може тільки перетворюватися з однієї форми в іншу та перерозпо­ділятися між частинами системи.

Закон збереження імпульсу є закон механіки, згідно з яким сумарний імпульс всіх тіл в будь-якій замкнутій системі при всіх процесах, що відбуваються в системі, не змінюється з часом (залишається сталим, зберігається). Імпульс може перерозподі­лятися між частинами системи в результаті їхньої взаємодії. Запишемо їх для випадку прямого центрального удару під­вішених двох куль.

Закон збереження імпульсу:

а) для абсолютно пружного удару

,

або в проекції на вісь ОХ, що збігається з лінією удару,

, (10.1)

б) для абсолютно непружного удару

. (10.2)

Закон збереження енергії:

а) для абсолютно пружного удару

, (10.3)

б) для абсолютно не пружного удару

, (10.4)

 

де ΔW величина механічної енергії куль, що перейшла в їхню внутрішню енергію. У випадку, якщо одна із куль (наприклад, із масою m₂) перед зіткненням знаходилася в спокої, то вирази (10.1), (10.2), (10.3) і (10.4) набудуть вигляду:

, (10.5)

, (10.6)

, (10.7)

. (10.8)

Проте досвід показує, що відносна швидкість тіл після удару не досягає свого колишнього значення. Це пояснюється тим, що немає ідеально пружних тіл і ідеально гладких повер­хонь. Крім того, системи реальних тіл не бувають абсолютно замкнутими.

У застосуванні до реальних тіл рівняння (10.5), (10.6), (10.7) і (10.8) можуть бути записані тільки з відповідними коефіцієнтами про­порційності:

, (10.9)

, (10.10)

, (10.11)

. (10.12)

 

Індекси при коефіцієнтах К означають: іпр - для імпульсу при пружному ударі; інепр - для імпульсу при непружному ударі; епр - для енергії при пружному ударі; енепр - для енергії при непружному ударі.

Оцінимо величину введених коефіцієнтів К для випадку, що реалізується в нашому лабораторному пристрої.

Система застосовуваних куль слабо взаємодіє з навколиш­німи тілами (через повітря, нитку підвісу і т. п.), тому "втрати" імпульсу й енергії при пружному ударі будуть незначними і ко­ефіцієнти К_іпр, К_інепр, К_епр повинні бути трохи меншими одини­ці. При непружному ударі у внутрішню енергію переходить зна­чна частина початкової кінетичної енергії і коефіцієнт К_енепр по­винен значно відрізнятися від 1. (Легко показати, що при m₁ = m₂ ідеальний кое­фіцієнт К_енепр= 0..5. Для цього потрібно розв'яза­ти спільно рівняння (10.10) і (10.12), враховуючи, що К_інепр=1). Довівши експери­ментально, що К_іпр, К_інепр, К_епр трохи менші за 1, а значення К_енепр значно відрізняється від 1, ми тим самим підтвердимо справедливість рівностей (10.9), (10.10), (10.11) і (10.12) (у межах похибок виміру), а отже підтверди­мо і закони збереження імпульсу й енергії при співударянні реа­льних тіл.

Зведемо вирази (10.9), (10.10), (10.11) і (10.12) до вигляду, зручному для обчислення коефіцієнтів К. Розглянемо рис.10.1, куля масою m₂ знаходиться в стані спокою, а масою m₁ - відведена від по­ложення рівноваги на кут α₁ (умовимося позначати кути до вза­ємодії куль через α, а після взаємодії - через β; індекси: 1 для першої кулі, 2 - для другої).

Куля 1 одержить потенціальну енергію

,

яка під час руху кулі перейде в його кінетичну енергію. В момент удару

,

звідки

.

Якщо кут α₁ малий (< 10°), то (при вимірі кута в радіанах) і тоді . Після удару куля 2 масою m₂ одержить швидкість u₂ і відхи­литься па кут β₂. Аналогічно до вищевикладеного можемо оде­ржати

.

Куля 1 після удару також відхилиться на деякий кут β₁. Тоді

.

Підставивши значення v₁, u₁ і и₂ в (10.9), (10.10). (10.11) і (10.12) і розв'я­завши рівняння відносно К, одержимо

,

,

,

.

Якщо маси куль узяти приблизно однаковими (m₁ ≈ m₂), то кут відхилення β₁, кулі масою m₁ буде дуже малим і ним можна знехтувати (β₁ = 0) Тоді одержимо

, (10.13)

, (10.14)

, (10.15)

. (10.16)

 

Обчислення коефіцієнтів К за формулами (10.13) ÷ (10.16), зіставлення їх значень із теоретичними для замкнутих систем і одержання певних висновків складає основу даної лабораторної роботи.

Рисунок 10.1

Порядок виконання роботи

 

1. За допомогою терезів переконайтеся, що маси куль приблизно однакові.

2. Підвісьте на нитках дві кулі для одержання пружного удару. Відрегулюйте їх взаємне положення так, щоб удар був прямим і центральним.

3. Відхиліть праву кулю на кут α₁, прикріпивши її до електромагніту. Виміряйте і запишіть величину кута α₁ (у градусах) у таблицю з врахуванням похибки на нуль. Здійсніть пружний удар куль, відімкнувши живлення електромагніту. Визначте кут β₂ відхилення лівої кулі (з урахуванням похибки на нуль) і запишіть його значення в таблицю 10.1.

4. Дослід проведіть 5 разів. Результати вимірювань запишіть у таблицю.

5. Поверніть кулі, підвішені на нитках так, щоб одержати непружний удар ("липучками" один до одного). Відхиліть праву кулю на кут α₁, прикріпивши її до електромагніту. Занесіть значення кута α₁ до таблиці.

 

Таблиця 10.1

№	Пружний удар	Непружний удар
α1, градус	β2, градус	Δα, Δβ, градус	α1, градус	β2, градус	Δα, Δβ, градус
Середне	Кіпр=	Кінепр=
	Кепр=	Кенепр=

7. Здійсніть непружний удар куль. Визначте кут β₂ відхилення системи по лівій кулі (з врахуванням похибки па нуль) і запи­шіть його значення в таблицю.

8. Дослід проведіть п'ять разів, записуючи дані в таблицю.

9. За формулами (10.13), (10.14), (10.15) і (10.16) обчисліть значення коефі­цієнтів К за середніми значеннями кутів α₁ і β₂.

10. Оцініть похибки непрямих вимірювань коефіцієнтів К. (Розрахункові формули для цього одержіть відповідним методом для непрямих вимірювань).

11. Зробіть висновки про підтвердження законів збереження імпульсу й енергії у явищі, що вивчається. Висновки обґрунтуйте.

 

Контрольні запитання

 

1 Чим характерний пружний центральний удар куль?

2 Чим характерний непружний центральний удар куль?

3 Сформулюйте закон збереження імпульсу і запишіть його, за­стосувавши до пружного та попружного ударів куль.

4 Сформулюйте закон збереження енергії і запишіть його, засто­сувавши до пружного і непружного ударів куль.

5 Що показують коефіцієнти пропорційності у формулах (10.9). (10.10), (10.11) і (10.12)?

6 Виведіть формули для розрахунку похибок непрямих вимірю­вань коефіцієнтів К у законах збереження.

 

Список літератури

 

4. Савельев И.В. Курс физики. -VI.: Наука. 1989. - Т. І.

5. Трофимова Т.Н. Курс физики. -М.: Высш. шк., 1990.

6. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. - М.: Наука. 1985.

 

Інструкцію підготувала старший викладач кафедри фізики Работкіна О.В.

Рецензент - доцент кафедри фізики Манько В.К.

Затверджена на засіданні кафедри фізики,

протокол № 3 від 01.12.2008 р.

 

10 Laboratory work № 4.

ELASTIC IMPACT OF BODIES

 

THE AIM: to study the laws of perfectly elastic impact.

INSTRUMENTATION AND APPLIANCES: two balls suspended to rods, a scale for the angles measurements, a device ПС02-2М to count electric pulses and a generator of electric pulses.

 

Task

1. Calculate a mean impact time .

2. Calculate a mean impact force .

3. Calculate the absolute and relative errors of τ and F.

4. Draw the conclusions.

 

Short theory

 

THE IMPACT is interaction of two or more bodies that takes place during a very short time. A magnitude of internal forces appearing in bodies system during the impact is relatively big, so the external forces acting on the bodies at this moment of time can be neglected. This enables to apply the law of conservation of momentum (law of conservation of impulse) for studying the phenomena of the body’s collision because a system of interacting bodies is isolated

PERFECTLY ELASTIC IMPACT is interaction of two bodies acting with elastic forces at each other, no mechanical energy of the system being transformed into thermal energy (heat). In this case we can apply both the law of conservation of momentum and mechanical energy.

PERFECTLY INELASTIC IMPACT is interaction of two bodies resulting in partial transformation of the mechanical energy into heat. The bodies move after collision as whole body. In this case we can not apply the law of conservation of mechanical energy, but we can apply the law of conservation of momentum and total energy of system. Hence we may write:

a) for perfectly elastic impact

,

,

where m₁ and m₂ are the masses of interacting bodies; V₁ and V₂ are the velocities of the bodies before the impact; and are the velocities of the same bodies after the impact.

b) for perfectly inelastic impact

,

,

where U is the velocity of the bodies system after the impact; Q = E₁ – E₂ is the mechanical energy turned into heat (E₂ and E₁ are the mechanical energy of the system before and after the impact.

Elastic impact

 

The experimental installation to study the perfectly elastic impact consist of two rods with suspended balls, the scale for measurement of angles, a generator of elastic pulses and a device to count the pulses. Electric pulses pase through the balls of there is a contact between those balls. It is possible to obtain the bodies interaction time (impact time) if we know the numbers N of electric pulses having passed the balls during impact time and the same numbers N having passed at a second. Evidently can be calculated by the formula

(11.1)

Mean balls interaction force (mean impact force) can be calculated by the formula, which shows change of momentum of the body and impulse of the force

,

where F is a mean impact force, Δτ is the mean impact time; FΔτ is the impulse of the force; Δp is the change of body momentum.

Hence

,

where v₀ is the body velocity before the impact, v is the body velocity after the impact(v = 0 in our case). According to the law of conservation of mechanical energy

and

,

where h is a height of the lifted ball. If the rod length is equal to l then we can write (according to figure 11.1)

 

Figure 11.1

 

(11.2)

Here F is interaction force. You have to count the impact force in this laboratory work. To do this it is necessary to determine numbers N and numbers N₀ of electric pulses at the beginning. For that you have to

1) switch on the device ПС02-2M;

2) wait for 5 - 7 minutes to warm up the device;

3) press the key "M" and "f";

4) connect the balls together (with you hand) and press them to each other for good electric contact and press the key "cбpoc" and then "ПУСК";

5) look at the indicator and write down the numbers of pulses passing during 1 second - N₀;

6) repeat this measurement process four times (you must have five measurements of value N₀).

Then you have to obtain the value of N. To do that you have to

1) press the key "100";

2) deviate one of the balls at the angle φ= 10⁰;

3) release the ball and press the key "ПУСК" simultaneously;

4) press the key "СТОП" after the first balls impact;

5) write out the value N from the indicator;

6) repeat your measurement process four times (you must have five measurements of N).

 

Experimental part

 

1. Measure the number of pulses N₀ by the device ПС02-2M as in

was shown above.

2. Measure the number of pulses N the same way (φ = 10⁰).

3. Fill in the table

 

n	N0	ΔN0	(ΔN0)^2	N	ΔN	τ, s	v, m/s	F, N

 

4. Calculate mean impact time by the formula (11.1) using and .

5. Calculate mean impact force F by the formula (11.2) using

m = 0.6 kg, l = 0.72 m, φ = 10 and obtained above.

6. Calculate absolute and relative error for τ and F.

7. Draw the conclusion.

 

Control questions

1. Formulate the first Newton's law.

2. Formulate the second Newton's law.

3. Formulate the third Newton's law and the law of conservation of momentum (impulse).

4. What system is isolated (or closed)?

5. Write the relation between a force and an impulse.

6. Formulate the law of conservation of mechanical energy.

7. Give the determination of perfectly elastic and perfectly inelastic impact.

8. Write the laws of conservation for the impact of two balls.

 

 

Author: E.V. Rabotkina, the senior reader.

Reviewer: S.V. Loskutov, professor, doctor of physical and mathematical sciences.

Approved by the chair of physics. Protocol № 3 from 01.12.2008.

 

11 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4.3.

НЕПРУЖНИЙ УДАР ТІЛ

 

МЕТА РОБОТИ: вивчення законів збереження механічної енергії та імпульсу.

ПРИЛАДИ: два металевих циліндри підвішені на легких стержнях, кутова шкала.