Виды движения точки в зависимости от ускорения

Раздел 3. Кинематика

 

Основные понятия

 

В кинематике изучается механическое движение материаль­ных точек и твердых тел без учета причин, вызывающих эти дви­жения. Кинематику часто называют геометрией движения.

Механическое движение происходит в пространстве и во вре­мени. Пространство, в котором происходит движение тел, рас­сматривается как трехмерное, все свойства его подчиняются си­стеме аксиом и теорем эвклидовой геометрии. Время полагают ни с чем не связанным и протекающим равномерно.

Современное развитие физики привело к иным представлениям о пространстве и времени. Теория относительности, созданная величайшим ученым современности Эйнштейном, показала, что при скоростях, близких к скорости света (300 000 км/с), простран­ство и время зависят от скорости движения. При обычных скоро­стях указанная зависимость практически не обнаруживается и представления о пространстве и времени, установленные в класси­ческой механике, сохраняют силу.

В общем случае различные точки твердого тела совершают разные движения. Поэтому и возникает необходимость изучить в первую очередь движение отдельных точек тела. Чтобы опреде­лить положение точки в пространстве, нужно иметь какое-то не­подвижное тело или связанную с ним систему координатных осей, которую называют системой отсчета. Движение заданного тела или точки обнаруживается только путем сравнения с систе­мой отсчета.

В природе не существует неподвижных тел и, следовательно, не может быть абсолютно неподвижных систем отсчета. Обычно условно неподвижной системой отсчета считают систему коорди­натных осей, связанную с Землей. Рассмотрим для примера дви­жение точки в какой-то условно неподвижной системе координат xyz (рис. 115). Положение точки М в пространстве определяется тремя координатами. Эти координаты изменяются при переходе точки в другое положение. Кривая, которую описывает точка при движении в пространстве относительно выбранной системы отсчета, называется ее траекторией.

Траектории делятся на прямолинейные (например, движение точек поршня двигателя) и криволинейные (круговые — движение точек шкива, круглой пилы; параболические — движение жидкости при истечении из отверстия в боковой стенке сосуда и др.). Движение точки в пространстве прежде всего определяется скоростью, котораяхарактеризует быстроту и направление дви­жения точки в данный момент времени.

В зависимости от скорости движение точки может быть равно­мерным и неравномерным. При равномерном движении скорость постоянна по величине, при неравномерном — переменна. Изме­нение скорости во времени характеризуется ускорением. Скорость и ускорение точки являются векторными величинами.

 

Уравнение движения точки

В общем случае точка может двигаться по криволинейной траектории. Для изучения криволинейного движения точки необ­ходимо уметь определить ее положение в назначенной системе от­счета (системе координат) в любой момент времени.

Уравнения, определяющие положение движущейся точки в за­висимости от времени, называются уравнениями движения. В механики применяют два способа задания движения - естественный и координатный.

-- Естественный способ задания движения точки. Положение точки на заданной траек­тории в любой момент времени одно­значно определяется расстоянием s. Значит, если кроме траектории, на которой отмечено нача­ло отсчета О, задана зависимость

s = f(t) 1

между расстоянием s и временем t, то в любой момент времени можно точно определить положение точки на траектории. Уравнение 1 на­зывается законом движения точки по заданной траектории.

Пусть, например, задана некоторая траектория, движение точки по которой определяется уравнением s = 0,5t²(s - м, t - с):

в момент времени t₀ = 0 s₀ = 0, т. е. точка нахо­дится вначале отсчета О;

вмомент времени t₁ = 1сточка находится на расстоянии s₁ = 0,5 t₁² = 0,5 _* 1² = 0,5м;

вмомент времени t₂ = 1сточка находится на расстоянии s₂ = 0,5 t₂² = 0,5 _* 2² = 2м от начала отсчета.

-- Координатный способ задания движения точки. Положение движущейся в плоскости точки (рис. 116, б) можно определить, если известны ее координаты х и у относительно системы двух взаимно перпендикулярных координатных осей Ох и Оу. При движении точки ее координаты изменяются с течением времени, следовательно, хну являются некоторыми функциями времени и определяют движение, точки:

x = f₁(t); y = f₂(t). 2

Такой способ задания движения точки называется координат­ным. С помощью уравнений движения 2 можно найти траекторию точки. Для этого из них нужно исключить параметр — время t — и найти зависимость между координатами точки

y = f(x). 3

Пример. При движении точки ее координаты изменяют­ся с течением времени и опре­деляются уравнениями:

х = f₁ (t) = 8t + 20 мм; (а)

у = f₂ (t) = 5t. (б)

Найдем уравнения траектории движения точки.

Р е ш е н и е. Из уравнения (б) находим t = у/5 = 0,2у. Подставляя зна­чение t в уравнение (а), получим уравнение траектории

х = 8 _* 0,2у + 20 мм = 1,6y + 20 мм.

 

Скорость точки

Рассмотрим некоторые основные определения, важные для последующего изложения. Если точка за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути, то ее движение назы­вается равномерным.

Скорость равномерного движения v измеряется отношением пути s, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени

v = s/t. 4

 

 

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то ee движение называется неравномерным.

Скорость неравномерного движения есть величина переменная и является функцией времени

v = f (t). 5

Рассмотрим точку М, которая перемещается по заданной траек­тории по некоторому закону s = f (t). За промежуток времени Δt точка М переместится в положение М₁ по дуге ММ₁. Если промежуток времени Δt мал, то дугу можно заменить ее хордой и найти в первом приближении среднюю скорость движе­ния точки

v _ср = Δs/Δt

Средняя скорость направлена по хорде от точки М к точке М₁. Если постепенно уменьшать промежуток времени Δt, то уменьшается и пройденный путь Δs, т. е. в пределе при Δt → 0 значение средней скорости приближается к значению скорости в заданный момент t т. е. истинную скорость найдем путем перехода к пределу при Δt →0

v = lim Δs/Δt = ds/dt 6

∆t→0

При Δt → О направление хорды в пределе совпадает с направ­лением касательной к траектории в точке М, т. е. значение ско­рости точки определяется как производная пути по времени, а направление ее совпадает с касательной к траектории в данной точке.

Если известны проекции скорости на оси координат, можно определить ее значение и направление:

 

 

Ускорение точки

При движении по криволинейной траектории скорость точки может изменяться и по направлению, и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением v ≠ const.

Пусть точка М (рис. а) движется по какой-то криволиней­ной траектории и за время Δt переходит из положения М в поло­жение M₁. В положении М точка имела скорость v, в положении М₁ — скорость v₁. Геометрическую разность скоростей найдем, построив из точки М вектор v ₁

На рис. 119, а приращение скорости изображается вектором ∆v.

Скорость точки при перемещении ее из положения М в поло­жение М₁ изменилась и по величине, и по направлению. Среднее значение ускорения, характеризующего отмеченное изменение ско­рости, можно найти, разделив вектор приращения скорости ∆ v на соответствующее время движения

a _ср = ∆v/∆t

Переходя к пределу при Δt → 0, получим истинное ускорение точки как векторную производную от скорости

a = lim Δv/Δt = dv/dt 8

∆t→0

 

Найденное ускорение характеризует изменение численного зна­чения скорости и ее направления. Для удобства ускорение раскла­дывают на взаимно перпендикулярные составляющие по касатель­ной и нормали к траектории движения (рис. 119, б)

a = a_t +a _n 9

Касательная составляющая a _t совпадает по направлению со скоростью или противоположна ей. Она характеризует изменение скорости по величине и соответственно определяется как производная от функции скорости

a_t = lim Δv/Δt = dv/dt [м/с²]

∆t→0

Нормальная составляющая а_п перпендикулярна к направлению скорости точки. Она характеризует изменение скорости по направлению (она всегда есть при любом криволинейном движении). Вектор a_n всегда направлен к центру кривизны траектории. Численное значение нормального ускорения определяет­ся по формуле

а_п = v²/r [м/с²]

где r — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Составляющие a_t и а_п взаимно перпендикулярны, и поэтому значение полного ускорения определяется по формуле

a =√ a²_t +a ²_n

Раздел 3. Кинематика

 

Основные понятия

 

В кинематике изучается механическое движение материаль­ных точек и твердых тел без учета причин, вызывающих эти дви­жения. Кинематику часто называют геометрией движения.

Механическое движение происходит в пространстве и во вре­мени. Пространство, в котором происходит движение тел, рас­сматривается как трехмерное, все свойства его подчиняются си­стеме аксиом и теорем эвклидовой геометрии. Время полагают ни с чем не связанным и протекающим равномерно.

Современное развитие физики привело к иным представлениям о пространстве и времени. Теория относительности, созданная величайшим ученым современности Эйнштейном, показала, что при скоростях, близких к скорости света (300 000 км/с), простран­ство и время зависят от скорости движения. При обычных скоро­стях указанная зависимость практически не обнаруживается и представления о пространстве и времени, установленные в класси­ческой механике, сохраняют силу.

В общем случае различные точки твердого тела совершают разные движения. Поэтому и возникает необходимость изучить в первую очередь движение отдельных точек тела. Чтобы опреде­лить положение точки в пространстве, нужно иметь какое-то не­подвижное тело или связанную с ним систему координатных осей, которую называют системой отсчета. Движение заданного тела или точки обнаруживается только путем сравнения с систе­мой отсчета.

В природе не существует неподвижных тел и, следовательно, не может быть абсолютно неподвижных систем отсчета. Обычно условно неподвижной системой отсчета считают систему коорди­натных осей, связанную с Землей. Рассмотрим для примера дви­жение точки в какой-то условно неподвижной системе координат xyz (рис. 115). Положение точки М в пространстве определяется тремя координатами. Эти координаты изменяются при переходе точки в другое положение. Кривая, которую описывает точка при движении в пространстве относительно выбранной системы отсчета, называется ее траекторией.

Траектории делятся на прямолинейные (например, движение точек поршня двигателя) и криволинейные (круговые — движение точек шкива, круглой пилы; параболические — движение жидкости при истечении из отверстия в боковой стенке сосуда и др.). Движение точки в пространстве прежде всего определяется скоростью, котораяхарактеризует быстроту и направление дви­жения точки в данный момент времени.

В зависимости от скорости движение точки может быть равно­мерным и неравномерным. При равномерном движении скорость постоянна по величине, при неравномерном — переменна. Изме­нение скорости во времени характеризуется ускорением. Скорость и ускорение точки являются векторными величинами.

 

Уравнение движения точки

В общем случае точка может двигаться по криволинейной траектории. Для изучения криволинейного движения точки необ­ходимо уметь определить ее положение в назначенной системе от­счета (системе координат) в любой момент времени.

 

 

Уравнения, определяющие положение движущейся точки в за­висимости от времени, называются уравнениями движения. В механики применяют два способа задания движения - естественный и координатный.

-- Естественный способ задания движения точки. Положение точки на заданной траек­тории в любой момент времени одно­значно определяется расстоянием s. Значит, если кроме траектории, на которой отмечено нача­ло отсчета О, задана зависимость

s = f(t) (1)

между расстоянием s и временем t, то в любой момент времени можно точно определить положение точки на траектории. Уравнение 1 на­зывается законом движения точки по заданной траектории.

Пусть, например, задана некоторая траектория, движение точки по которой определяется уравнением s = 0,5t²(s - м, t - с):

в момент времени t₀ = 0 s₀ = 0, т. е. точка нахо­дится вначале отсчета О;

вмомент времени t₁ = 1сточка находится на расстоянии s₁ = 0,5 t₁² = 0,5 _* 1² = 0,5м;

вмомент времени t₂ = 2сточка находится на расстоянии s₂ = 0,5 t₂² = 0,5 _* 2² = 2м от начала отсчета.

-- Координатный способ задания движения точки. Положение движущейся в плоскости точки (рис. 116, б) можно определить, если известны ее координаты х и у относительно системы двух взаимно перпендикулярных координатных осей Ох и Оу. При движении точки ее координаты изменяются с течением времени, следовательно, х и у являются некоторыми функциями времени и определяют движение, точки:

x = f₁(t); y = f₂(t). (2)

Такой способ задания движения точки называется координат­ным. С помощью уравнений движения (2) можно найти траекторию точки, т. к. для каждого момента времени t можно вычислить координаты точки и следовательно указать ее положение

 

 

Скорость точки

Рассмотрим некоторые основные определения, важные для последующего изложения. Если точка за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути, то ее движение назы­вается равномерным.

Скорость равномерного движения v измеряется отношением пути s, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени

v = s/t; м/с (4)

1 м/с за 1 час → 3600 м/час = 3,6 км/с т. е.

1 м/с = 3,6 км/ч

1 км/ч = 0,278 м/с

[м/с] _* 3,6 [км/ч]; [км/ч]: 3,6 [м/с]

и нормальное ускорение также не равно нулю

а_п = v ²/r ≠ 0

Следовательно, полное ускорение при неравномерном криво­линейном движении складывается геометрически из касательного и нормального ускорений, т. е.

a^→ = a_t^→ + a_n^→ а = √а_t² + a_n²

Когда значение касательного ускорения постоянно (a_t = const), движение точки называется равнопеременным. Равнопеременное движение может быть равномерно-ускоренным и равномерно-за­медленным, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается численное значение скорости. Ускорения можно определить через значения скорости в начале и в конце произвольного проме­жутка времени

а_t = v – v₀ / t

откуда

v = v₀ + a_t t,

При равномерно-ускоренном движении ускорение a_t считается положительным, а при равномерно-замедленном — отрицатель­ным.

Перемещение точки при равнопеременном движении опреде­ляется по уравнению

 

Примером равномерно-ускоренного движения может служить свободное падение тела. Ускорение свободного падения обозна­чается буквой g. Опытом установлено, что это ускорение составляет вблизи поверхности Земли в среднем 9,81 м/с².

v0= 0	v0 0
at = v/t [м/с^2]	at = v – v0 /t [м/с^2]
v =at * t[м/с]	v =v0 + at * t [м/с]
S = at * t^2 / 2[м]	S = v0 * t + at * t^2 / 2[м]
S = vср * t = v/2 * t[м]	S = vср * t = v0 + v /2 * t[м]

 

 

Пример 1. Ускорение движения поезда, движущегося с уменьшением скорости, равно 0,16 м/с². Определить время, за которое скорость поезда уменьшится с 50 до 25 км/ч

Дано: a = - 0,16 v/c²

v₀ = 50 км/ч = 50:3,6 = 13,9м/с

v = 25км/ч = 25:3,6 = 6,9м/с

Определить t

Решение: v =v₀ + a_{t *} t =>

t = v – v₀ /a_t = 6,9 – 13,9 _/ - 0.16 = -7_/ -0.16 = 43 c

Пример 2. Водитель автомобиля движется со скоростью 72 км/ч увидел красный сигнал светофора начал торможение с ускорением 5 м/с², на каком пути авто остановится.

 

Дано: v₀ = 72 км/ч = 72:3.6 =20 м/c

v₁ = 0

a_t = -5м/с²

Определить S

Решение: a_t = v – v₀ /t =>

t = v – v_{0 /} a_t = 0-20_/ -5= 4c S = v₀ + v_/ 2_* t = 20+0_/ 2 _* 4 = 40м

Пример 3. Определить с какой высоты h нужно сбросить тяжелое тело без начальной скорости, чтобы к моменту падения на Землю скорость его достигла 49,05 м/с. Сопротивление воздуха пренебречь.

Дано: v = 49,05 м/c

V₀ = 0

q = 9,81м/с²

Определить S

 

 

Пример 4. Камень упал в колодец. Через 4с был услышан плеск воды. Определить глубину колодца, считая, что звук распространяется мгновенно.

Дано: t = 4c

V₀ = 0

q = 9,81м/с²

Определить S(h)

Решение: S = q_* t² / 2= 9,81_* 4²_/ 2 = 78м

 

 

 

 

Пример 5. Поезд идет со скоростью 66 км/ч. На протяжении 800 м путь идет в гору, вследствие чего движение поезда становится равнозамедленным, и его скорость снижается до 50 км/ч. Определить величину ускорения (замедления) и время, затраченное на преодоление подъема.

 

 

Пример 6. Поезд отправляется со станции и движется по закруглению пути радиуса R = 1200м. В течении 1,5 мин поезд развивает скорость 72 км/ч. Определить путь разгона и полное ускорение поезда в конце пути.

 

 

Ускорение точки

При движении по криволинейной траектории скорость точки может изменяться и по направлению, и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением.

Пусть точка М (рис. а) движется по какой-то криволиней­ной траектории и за время Δt переходит из положения М в поло­жение M₁. Расстояние, пройденное точкой, представляет собой дугу ММ₁, ее длину обозначим Δs. В положении М точка имела скорость , в положении М₁ — скорость ₁. Геометрическую разность скоростей найдем, построив из точки М вектор ₁

На рис. 119, а приращение скорости изображается вектором .

Скорость точки при перемещении ее из положения М в поло­жение М₁ изменилась и по величине, и по направлению. Среднее значение ускорения, характеризующего отмеченное изменение ско­рости, можно найти, разделив вектор приращения скорости на соответствующее время движения

_ср =

Переходя к пределу при Δt → 0, получим истинное ускорение точки как векторную производную от скорости

= = 8

 

Найденное ускорение характеризует изменение численного зна­чения скорости и ее направления. Для удобства ускорение раскла­дывают на взаимно перпендикулярные составляющие по касатель­ной и нормали к траектории движения (рис. 119, б)

= _t + _n 9

Касательная составляющая _t совпадает по направлению со скоростью или противоположна ей. Она характеризует изменение

 

модуля скорости и соответственно определяется как производная от функции скорости

a_t = =dv/dt

Нормальная составляющая а_п перпендикулярна к направлению скорости точки. Она определяет изменение направления вектора скорости. Численное значение нормального ускорения определяет­ся по формуле

а_п = v²/r,

где r — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Составляющие a_t и а_п взаимно перпендикулярны, и поэтому значение полного ускорения определяется по формуле

a = ²_t +a ²_n

Пример 4.

Дано:

r = 149600000 км – расстояние от земли до солнца

t = 365 дней = 365 _* 24 _* 3600 = 31536000 сек

_________

v -? – земли вокруг солнца

Sкруга = π D = 2π r = 2 _* 3,14 _* 149600000000м

v = s / t = 29791 м / сек

Пример 5. Вал, начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, в первые 10 сек совершает 30 оборотов. Какова его угловая скорость по истечению 5 сек?

Дано:

t₁ = 10 сек φ_об = φ / 2π => φ = φ_{об *} 2π = 188,4 рад

φ = 30 об

t₂ = 5 сек φ = ω _* t / 2 => ω = 2φ / t = 2 _* 188,4 / 10 = 37,68 рад/сек(при10 сек)

ω₀ = 0

___________

ω -? ω = 37,68 / 2 = 18,84 рад / сек (при 5 сек)

 

 

Пример 6. Вал, начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, делает 4800 об в первые 2 мин. Найти угловое ускорение вала.

 

Дано:

φ = 4800 об φ_об = φ / 2π => φ = φ_{об *} 2π = 4800 _* 2 _* 3,14 = 30144 рад.

ω₀ = 0

t = 2 мин φ = ε _* t² / 2 => ε = 2φ / t² = 2 _* 30144 / 120² = 4,18 рад / сек²

__________

ε -?

Пример 7. Колесо начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, Через 20 мин после начала движения колесо имело угловую скорость, соответствующую 240 об / мин. Сколько оборотов сделало колесо за эти 20 мин.

Дано:

ω₀ = 0

t = 20 мин φ = ω _* t / 2 = 240 * 20 / 2 = 2400 об

ω = 240 об / мин

_________

φ -?

 

Пример 8. Колесо, вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω = 4π рад/сек, было затем отключено от привода, поддерживавшего заданную рабочую скорость вра­щения. Сделав 25 оборотов, колесо вследствие трения в под­шипниках остановилось. Полагая вращение равнозамедленным, определить угловое ускорение колеса.

Дано:

ω₀ = 4π рад/с ε = ω – ω₀ / t = 0 - 4π / t = - 4π / t

φ = 25 об φ = φ_{об *} 2π = 25 * 2 * 3,14 = 157 рад

ω = 0 φ = ω + ω₀ / 2 * t = ω₀ * t / 2 => t = 2φ / ω₀ = 2 * 157 /4π = 25 сек

_________

ε -? ε = -4π / t = 4 * 3,14 / 25 = - 0,5 рад / сек²

Пример 9. При посадке самолета пропеллер вращается с угло­вой скоростью, соответствующей п = 900 об/мин. После выключения мотора пропеллер сделал до остановки 60 обо­ротов. Считая вращение пропеллера после выключения мо­тора равнозамедленным, определить, сколько времени про­шло с момента выключения мотора до остановки. Опреде­лить ускорение пропеллера.

Дано:

n = 900 об/мин φ_об = φ / 2π => φ = φ_{об *} 2π = 60 * 2 * 3,14 = 376,8 рад

φ = 60 об ω₀ = π n / 30 = 3,14 * 900 / 30 = 94,2 рад / сек

ω = 0 φ = ω + ω₀ / 2 _* t = 0 + ω₀ * t / 2 => t = 2φ / ω₀ = 2 * 376,8 / 94,2 = 8 сек

_________

t -? ε -? ε = ω – ω₀ / t = 0 – ω₀ / t = 94,2 / 8 = 11,775 рад / сек²

Пример 10. Маховое колесо радиуса R = 2 м вращается равно­ускоренно из состояния покоя; через t =10 сек точки, ле­жащие на ободе, обладают линейной скоростью v = 50 м/сек. Найти скорость, нормальное и касательное ускорения точек обода колеса для момента t = 25 сек.

Дано:

r = 2 м v₁ = r _* ω => ω = v / r = 50 / 2 = 25 рад/сек

ω₀ = 0 ε = ω₁ / t₁ = 25 / 10 = 2,5 рад/сек²

t_{1 =} 10 с ε = ω₂ / t₂ => ω₂ = ε * t = 2,5 * 25 = 62,5 рад / сек

v₁ = 50 м/с v₂ = r _* ω₂ = 2 * 62,5 = 125 м/с

t₂ = 25 с a_t = r * ε = 2 * 2,5 = 5 м/с²

v₂ -? a_n -? a_t -? a_n = v₂² / r = 125² / 2 = 7812,5 м/с²

 

Пример 11. Точка пробегает в минуту 200 раз окружность, диаметр которой 3 м. Вычислить ускорение точки.

Дано: ω = π n / 30 = 3,14 * 200 / 30 = 20,9 рад/сек

n = 200 об/мин v = r * ω = 1,5 * 20,9 = 31,4 м/с

D = 3м a_n = v₂² / r = 31,4² / 1,5 = 660 м/с

________

a_n -?

Пример 12. Частота вращения маховика составляет 300 об/мин затем маховик бал заторможен и ч/з 3 с частота его вращения уменьшилась до 120 об/мин. Определить ч/з сколько времени маховик остановится и сколько оборотов он совершит от начала торможения до полной остановки.

Дано:

n₀ = 300об/мин ω₀ = πn₀ / 30 = 300π / 30 = 10π рад/сек

t₁ = 3c ε = const ω₁ = πn₁/ 30 = 120π / 30 = 4π рад/сек

n₁ = 120об/мин ε = ω₁ - ω₀ / t₁ = 4π - 10π / 3 = - 2π рад/сек²

n₂ = 0 ω₂ = ω₀ + ε t₂ т к ω₀ = 0 то =>

ω₂ = 0 - ω₀ = ε t₂ => t₂ = - ω₀ / ε = -10π / - 2π = 5с

_________ φ = ω_{ср *} t = (ω₀ + ω₂) _* t /2 = 10π _* 5 / 2 = 25π рад

t₂ -? φ -? φ_об = φ / 2π = 25π / 2π = 12,5 об

Пример 13. Ротор эл двигателя делает 2700 об/мин. После выключения ротор останавливается совершив 675 об. Определить время вращения ротора с момента выключения до полной остановки.

Дано:

n₀ = 2700об/мин ω₀ = πn₀ / 30 = 2700π / 30 = 90π рад/сек

t₁ = 3c φ_об = φ / 2π => φ = 2π φ₀ = 2π675 = 1350 рад

n₁ = 0 φ = ω_{ср *} t = (ω₀ + ω₁) _* t /2

ω₁ = 0 t = 2φ / ω₀ + ω₁ = 2 _* 1350 / 90π = 30с

φ = 675 об

_________

t -?

 

Пример 14. Тело при вращении с постоянным угловым ускорением 24 рад/с² в течении 105 сек сделано 2100 об. Определить угловую скорость тела в начале и конце равнозамедленного вращения.

Дано:

t = 105 сек φ = 2π φ₀ =2π _* 2100 = 4200π рад

φ_об = 2100 об φ = ω_{0 *} t + ε_* t² / 2 => ω₀ = φ - ε_* t² / 2 _/ t =

ε = 24 рад/с² 4200 – 24 _* 105² / 2_/105 = 1220 рад/сек

--------------

ω₀ -? ω -? ω = ω₀ + ε _* t = 1220 + 24 _* 105 = 3740 рад/сек

 

Подставив в выражение нормального ускорения а_п = v ² / r зна­чение скорости v = ωr, получим

a_n = v²/r = (ωr)²/r = rω²

 

Значение полного ускорения вычисляется как диагональ прямоугольника, построенного на составляющих ускорениях a_t и а_п (рис. б). Подставив значения касательного и нормального ускорений, получим

 

Направление вектора полного ускорения точки вращающегося тела можно определить по углу а, образованному этим вектором с радиусом

 

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то ee движение называется неравномерным.

Скорость неравномерного движения есть величина переменная и является функцией времени

v = f (t). 5

Рассмотрим точку М, которая перемещается по заданной траек­тории по некоторому закону s = f (t). За промежуток времени Δt точка М переместится в положение М₁ по дуге ММ₁. Если промежуток времени Δt мал, то дугу можно заменить ее хордой и найти в первом приближении среднюю скорость движе­ния точки

v _ср = Δs/Δt

Средняя скорость направлена по хорде от точки М к точке М₁. Если постепенно уменьшать промежуток времени Δt, то уменьшается и пройденный путь Δs, т. е. в пределе при Δt → 0 значение средней скорости приближается к значению скорости в заданный момент t т. е. истинную скорость найдем путем перехода к пределу при Δt →0

v = lim Δs/Δt = ds/dt 6

∆t→0

При Δt → О направление хорды в пределе совпадает с направ­лением касательной к траектории в точке М, т. е. значение ско­рости точки определяется как производная пути по времени, а направление ее совпадает с касательной к траектории в данной точке.

Если известны проекции скорости на оси координат, можно определить ее значение и направление:

 

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то ee движение называется неравномерным.

Скорость неравномерного движения есть величина переменная и является функцией времени

v = f (t). 5

Часто бывает необходимо определить среднюю ско­рость неравномерного движения за некоторый промежуток времени, т. е. скорость такого воображаемого равномер­ного движения, при котором точка проходит за опреде­ленный промежуток времени такой же путь, как и при неравномерном движении.

Пусть S — путь, проходимый точкой при неравномер­ном движении, и t — время, за которое точка проходит этот путь. Средняя скорость определится по формуле

v _ср = s / t

Рассмотрим точку М, за промежуток времени Δt точка М переместится в положение М₁ по дуге ММ₁. Если промежуток времени Δt мал, то дугу можно заменить ее хордой и найти в первом приближении среднюю скорость движе­ния точки

v _ср = Δs/Δt

Средняя скорость направлена по хорде от точки М к точке М₁. Если постепенно уменьшать промежуток времени Δt, то уменьшается и пройденный путь Δs (хорда стремится к дуге), т. е. в пределе при Δt → 0 значение средней скорости приближается к значению истиной скорости в момент t т. е. истинную скорость найдем путем перехода к пределу при Δt →0

v = lim Δs/Δt = ds/dt 6

∆t→0

При Δt → О направление хорды в пределе совпадает с направ­лением касательной к траектории в точке М, т. е. значение ско­рости точки определяется как производная пути по времени, а направление ее совпадает с касательной к траектории в данной точке.

Если известны проекции скорости на оси координат, можно определить ее значение и направление:

 

 

Раздел 3. Кинематика

 

Основные понятия

 

В кинематике изучается механическое движение материаль­ных точек и твердых тел без учета причин, вызывающих эти дви­жения. Кинематику часто называют геометрией движения.

Механическое движение происходит в пространстве и во вре­мени. Пространство, в котором происходит движение тел, рас­сматривается как трехмерное, все свойства его подчиняются си­стеме аксиом и теорем эвклидовой геометрии. Время полагают ни с чем не связанным и протекающим равномерно.

Современное развитие физики привело к иным представлениям о пространстве и времени. Теория относительности, созданная величайшим ученым современности Эйнштейном, показала, что при скоростях, близких к скорости света (300 000 км/с), простран­ство и время зависят от скорости движения. При обычных скоро­стях указанная зависимость практически не обнаруживается и представления о пространстве и времени, установленные в класси­ческой механике, сохраняют силу.

В общем случае различные точки твердого тела совершают разные движения. Поэтому и возникает необходимость изучить в первую очередь движение отдельных точек тела. Чтобы опреде­лить положение точки в пространстве, нужно иметь какое-то не­подвижное тело или связанную с ним систему координатных осей, которую называют системой отсчета. Движение заданного тела или точки обнаруживается только путем сравнения с систе­мой отсчета.

В природе не существует неподвижных тел и, следовательно, не может быть абсолютно неподвижных систем отсчета. Обычно условно неподвижной системой отсчета считают систему коорди­натных осей, связанную с Землей. Рассмотрим для примера дви­жение точки в какой-то условно неподвижной системе координат xyz (рис. 115). Положение точки М в пространстве определяется тремя координатами. Эти координаты изменяются при переходе точки в другое положение. Кривая, которую описывает точка при движении в пространстве относительно выбранной системы отсчета, называется ее траекторией.

Траектории делятся на прямолинейные (например, движение точек поршня двигателя) и криволинейные (круговые — движение точек шкива, круглой пилы; параболические — движение жидкости при истечении из отверстия в боковой стенке сосуда и др.). Движение точки в пространстве прежде всего определяется скоростью, котораяхарактеризует быстроту и направление дви­жения точки в данный момент времени.