Функция распределения случайной величины

Определение. Функцией распределения случайной величины называется действительная функция , заданная на множестве R такая, что

.

Если в контексте неважно о какой величине идет речь или величина известна заранее, то будем использовать обозначение F(x).

Пример. Бросается игральная кость. Случайная величина - количество выпавших очков. Найти функцию распределения случайной величины .

Решение. Рассмотрим следующие ситуации:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Свойства функции распределения.

1.

2.

3. Функция распределения F(x) – неубывающая, т.е.

4. Функция распределения F(x)непрерывна слева в любой точке , т.е.

5. .

Замечание. Если некоторая функция F(x) удовлетворяет свойствам 1-5, то эта функция является функцией распределения некоторой случайной величины.

Дискретные случайные величины

Определения

Определение. Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно, и все точки множества значений – изолированные точки этого множества.

Пусть случайная величина принимает значения x₁, x₂, …, x_n, …. И пусть вероятность того, что Составим таблицу:

	x1	x2	x3	…	xn	…
р	p1	p2	p3	…	pn	…

Таблица такого вида называется таблицей распределения случайной величины . Если множество значений конечно, то и таблица состоит из конечного числа столбцов.

Определение. Ряд называется рядом распределения случайной величины . Сумма этого ряда равна 1, т.е.

Утверждение. Если последовательность {p_n} такова, что , то указанный ряд является рядом распределения некоторой случайной величины.

Пример. Бросается монета до первого выпадения герба. Случайная величина - количество бросков. Составим таблицу:

				…	n	…
р				…		…

Найдем сумму ряда:

Этот ряд является рядом распределения случайной величины , а таблица – таблицей распределения случайной величины .

График функции распределения дискретной случайной величины:

 

 

Биномиальная случайная величина

Определение. Дискретная случайная величина называется биномиальной или распределенной по биномиальному закону, если множество ее значений {0,1,2,…,n}, и вероятность

Таблица распределения:

				…	n
р				…

Покажем, что этот закон задает случайную величину. Найдем сумму ряда распределения:

Закон действительно определяет случайную величину.

Замечание. Биномиальную случайную величину можно трактовать как количество наступлений некоторого события А в схеме Бернулли из n испытаний, если Р(А)=р в каждом испытании:

.

Пуассоновская случайная величина

Определение. Дискретная случайная величина называется пуассоновской или распределенной по закону Пуассона, если множество ее значений {0,1,2,…,m,…}, и вероятность

Таблица распределения:

				…	m	…
р				…		…

Покажем, что этот закон задает случайную величину. Найдем сумму ряда распределения: Закон действительно определяет случайную величину.

Закон Пуассона, как предельный для биномиального

Пусть производится последовательность серий испытаний Бернулли. В серии №1 – одно испытание, в результате которого может произойти событие А с вероятностью р₁. В серии №2 – два испытания, в результате которых может произойти событие А с вероятностью р₂. И т.д. В серии №n – n испытаний, в результате которых может произойти событие А с вероятностью р_n. И т.д.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть для указанной последовательности серий испытаний существует такое число а, что np_n=a. Тогда

Замечание. Из теоремы вытекает, что при достаточно больших n: , т.е. при достаточно больших n закон Пуассона можно трактовать, как предельный для биномиального (т.е. как количество наступлений события).

Примеры.

1) Из фабрики в магазин везут 5000 качественных изделий. Вероятность того, что в дороге изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что в дороге повредится три изделия.

Решение. Воспользуемся законом Пуассона, как предельным для биномиального:

2) Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,001. Найти вероятность хотя бы одного попадания, если число выстрелов равно 5000.

Решение. Пусть А – событие: будет хотя бы одно попадание. Найдем вероятность непопадания в цель, т.е.

Искомая вероятность