Такі задачі називають «задачами на ділення на рівні частини».

Обидві ці задачі ведуть до подання скінченної множинн А у вигляді суми деяких інших еквівалентних між собою множин:

A = B₁ È B₂ È…È B_C, B₁ ~ B₂ ~…~ B_C Ù B_i Ç B_j =Æ, i, j = 1,2,…c

с доданків

 

Перехід до характеристики чисельності цих множин приводить до поняття нової арифметичної дії — ділення натуральних чисел.

а) Число а потрібно представили у вигляді суми с однакових до­данків, величину яких треба знайти, тобто

а= х + х + … + х, або а == х • с.

с доданків.

б) Число а треба представити у вигляді суми кількох доданків, кожен із яких b. Визначити кількість цих доданків.

а = b + b + b …+ b, або а = b • х.

х доданків

Отже, в обох випадках задача зводиться до знаходження одного із співмножників за відомими добутком і другим співмножником.

Таким чином, ділення натуральних чисел є дія, обернена множенню. В першому випадку записують х = а: с, у другому х = а: b.

Означення. Поділити натуральне число а на натуральне число b — це означає знайти таке натурально число с, щоб задовольнялася умова а = с • b.

Число а називають діленим, b — дільником, с — чисткою. Запи­сують це так: а: b = с, або а / b = с. із означення видно, що ділене дорівнює частці, помноженій на дільник.

Те, що дія ділення є оберненою до дії множення, можна проілюструвати рівностями, які використовуються ще в другому класі;

а) (а: b) • b = а; б) (а • b): b = а.

Д о в е де н н я. а) Безпосередньо із означення частки маємо:

а: b = с. Звідси а = с b, або а =(а: b) • b

б) Рівність (а • b): b = а перевіряється безпосередньо за означенням ділення: ділене аb дорівнює частці а, помноженій на дільник b, тобто а b = а b.

Теорема 1 (про існування частки в множині цілих невід'ємних чисел). Необхідною і достатньою умовою існування частки с від ділення натурального числа а на натуральне число b є кратність діленого а дільнику b.

Доведения. а) Достатність. Якщо а кратне b, то а є добутком якогось натурального числа, напрйклад, с на b, тобто а = с • b. Це число с (за означениям) і буде часткою від ділення а на b.

б) Необхідність. Якщо частка с існує, то а = с • b, звідки видно, що ділене а — кратне дільника b.

Отже, дія ділення, як і дія віднімання, у множині натуральних чисел виконується не завжди, тоді як дія додавання і множення виконуються завжди. Отже, множина натуральних чисел є замкненою відносно дії додавання і дії множення і незамкненою відносно дії від­німання і дії ділення.

Теорема 2. Якщо частка с від ділення натурального числа а на на­туральне число b існує, то вона едина.

Доведення (методом від супротивного). Припустимо, що існують дві частки с і с', тобто а: b = с і а: b = с'. Нехай, наприклад, с> с'. Тоді (згідно з означениям) а = cb і а= с'b звідки cb = с'b де с > с'. Проте це суперечить властивості монотонності дії множення натуральних чисел. Отже, наше припущення, що існують два різних числа с і с', які є частками від ділення а на b, неправидьне. Теорему доведено.

Із означення а • 1 = а випливае, що:

а) частка від ділення натурального числа а на 1 дорівнює числу а, тобто а: 1 = а;

б) частка від ділення натурального числа а самого на себе дорівнює 1, тобто а:а=1.

На основі означення дії ділення та властивостей множення нату­ральних чисел неважко встановити правила ділення суми, різниці, добутку і частки на число та ділення числа на добуток і на частку.

1. Розподільна властивість ділення відносно суми. Щоб подиити суму на число, досить поділити на це число кожний доданок і добуті результати додати:

(а + b }: с = а: с + b: с. (1)

Доведения. Якщо рівність (1) правильна, то за означениям дії ділення має бути:

а + b = (а: с + b: с) • с = (за розподільним законом множення);

= (а: с) • с + (b: с) • с = а + b (за властивістю ділення, як дії, оберненої множенню).

Цю властивість можна поширити на будь-яке число доданків:

(а₁ + а₂ + …а _n): b = а₁ : b + а₂ : b + …а _n: b

Розподільна властивість дуже важлива: вона є теоретичною ос­новою алгоритму ділення багатоцифрових чисел.

У початкових класах розподільну властивість розкривають на конкретних задачах.

3 а д а ч а. В одному сувої 12 м тканини, а в другому 15 м. 3 цієї тканини пошили плаття, витрачаючи на кожне по Зм. Скільки платтів пошили?

Розв'язують задачу двома способами, дістаючи при цьому різні, але еквівалентні між собою числові формули розв'язку:

1-й спосіб 2-й спосіб

х = (12 + 15): 3. х= 12:3+15:3.

В и с н о в о к. (12 + 15): 3 = 12: 3 + 15: 3.

2. Розподільна властивість ділення відносно різниці. Щоб поділити різницю на число, досить поділити на це число зменшуване і від'ємник і від першого результату відняти другий:

(а — b): с = а: с — b:с.

З. Ділення добутку на число. Щоб поділити добуток на число, досить поділити на це число один із співмножників і результат помножити на другий співмножник:

(а • b): с = (а: с) • b = (b: с) • а.

Доведемо, наприклад, що (а • b): с = (а: с) • b. Якщо ця рівність правильна, то за означениям ділення а • b = ((а: с) • b) • с = ((а: с) • с) • b = а • b.

 

4. Ділення числа на добуток. Щоб поділити деяке число на добуток, досить поділити це число на один із співмножників і знайдену частку поділити на другий співмножник::

а: (b • с) = (а: b): с) =(а: с): b.

На цій властивості грунтується послідовне ділення при усних обчисленнях:

126: 18 = 126: (2 • 9) = (126: 2): 9 == 63: 9 == 7.

5. Ділення частки на число. Читаючи рівність попереднього правила справа наліво, можна зробити висновок: щоб поділити частку на число, досить поділити на це число ділене, а знайдений результат поділити на дільник, або помножити дільник на це число, а потім ділене поділи­ти на одержаний добуток.

Наприклад, а) (180:5):18 = (180:18):5 = 10:5 = 2

б) (180:5):4=180:(5•4)=180:20=9

6. Ділення числа на частку. Щоб поділити деяке число а на частку від ділення двох чисел, досить поділити це число на ділене і резуль­тат помножити на дільник: а: (b: с) =(а: b)• с.

Доведемо цю властивість. За означенням ділення

a = ((a: b) • c) • (b: c) = (a: b) •((b: c) • c) = (a: b) • b = a

 

Дія ділення з нулем. Поширюючи означення ділення на випадок, коли ділене нуль, ма'мо 0: а = 0, оскільки 0 = 0 • а =0.

Дія а: 0 неможлива, оскільки немає такого числа с, щоб виконувалась умова а = с • 0, коли

а ¹ 0 (ліва частина а ¹ 0, а права — с • 0=0).

Дія 0: 0 невизначена, оскільки будь-яке число с задовольняе умову 0 = с • 0, отже, 0: 0 може бути будь-яким числом (у початкових. класах цей випадок не розглядають).

 

ВПРАВИ

а) Підібрати у підручнику для третього класу задачі такого змісту:

(72 • 24): 12 = (72: 12) • 24 = 6 • 24 = 144;

(72 • 24): 12 = (24: 12) • 72 = 2 • 72 = 144,

б) Зробити рисунок до задачі; «Як зменшити площу прямокутної ділянки вдвоє, не змінюючи її довжини? не змінюючи її ширини?»

с) Підібрати за підручником і скласти самостійно приклади на за-стосування властивостей дії ділення.

 

1. Підібрати за підручником другого класу три задачі різного виду на ділення. Дати ілюстрації до них.

2. Скласти задачу на ділення на рівні частини і переробити її так, щоб дістати ще дві задачі: на ділення на вмщення і на зменшення числа у кілька разів. Дати ілюстрації до них.

3. Скласти задачу на ділення і переробити її так, щоб дістати ще дві обернені до неї задачі. Відшукати у підручнику другого класу пару взаємно обернених задач, за допомогою яких вводиться поняття задачі, оберненої даній.

4. Скласти задачу на ділення у непрямій формі за таким зразком: «Учні третього класу посадили 26 дерев. Скільки дерев посадили учні другого класу, якщо третій клас посадив у два рази більше дерев, ніж другий?» Знайти у шкільних підручниках для другого і третьего класів задачі такого виду.

5. Обчислити найбільш раціональними способами, застосовуючи правила ді­лення суми чи різниці на число або добутку чи частки:

1) (8866+4477): 11; 3) (36 •15): 9; 5) (918: 51): 9. 7) (696: 3): 8;

2) (11022 — 2244): 11 4) (750: 5): 2; 6) (4518 + 6381): 9;

6. Обчислити найбільш раціональним способом, застосовуючи правила ділення числа на добуток або на частку:

а) 714:21; б) 515:(5:8).

7. 315: 5 = 315: (10: 2) == (315 • 2): 10 =630: 10 = 63. Скласти за таким аразком приклад на ділення числа на 25.

8. При якому значенні с буде істинним твердження с: (245—87) •341= О?