Среднеквадратическоие отклонениея.

Если в каждом сечении случайного процесса существует математическое ожидание, то математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция m_xX(t), значение которой при каждом фиксированном значении t равно математическому ожиданию соответствующего сечения:

m_xX(t)=MX(t).

Основные свойства математического ожидания случайного процесса: если φ(t) - неслучайная функция, то

М φ(t)=φ(t); М(φ(t)×X(t))=φ(t)×m_xX(t);

M(X₁(t)+X₂(t))= m_x1(t)+m_x2(t); M(X(t)+φ(t))= m_xX(t)+ φ(t).

Если в каждом сечении случайного процесса существует дисперсия, то дисперсией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция D_xХ(t), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента t равно дисперсии соответствующего сечения:

D_xX(t)= DХ(t)= M(X(t)-+m_xX(t))².

 

Основные свойства дисперсии случайного процесса:

если φ(t) - неслучайная функция, то

D(φ(t))=0; D(φ(t)×X(t))=φ²(t)×D_xX(t);

D(X(t)+φ(t))=D_xX(t ); .

 

Среднеквадратическим отклонением случайного процесса X(t) называется арифметический квадратный корень из его дисперсии:

.

Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства.

Нормированная корреляционная функция

Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция K_xX(t₁; t₂) двух независимых аргументов, значение которой равно корреляционному моменту сечений, соответствующих моментам времени t₁ и t₂:

K_xX(t₁; t₂)=M((X(t₁)-m_xX(t₁))×(X(t₂)-m_xX(t₂))).

 

Основные свойства корреляционной функции:

2) K_xX(t; t)=D_xX(t);

3) K_xX(t₁; t₂)= K_xX(t₂; t₁);

 

4) если φ(t) - неслучайная функция, то

 

K_φ(t)(t₁; t₂)=0; K_φ(t)+-xX(t)(t₁; t₂)= K_x(X(t)(t₁; t₂);

K_φ(t)×Xx(t)(t₁; t₂)= φ(t₁)× φ(t₂)×K_xX(t)(t₁; t₂);

 

5)

6 )

Функция вида

Называется нормированной корреляционной функцией.

Взаимная корреляционная функция и нормированная взаимная

Корреляционная функция двух случайных процессов

Взаимной корреляционной функцией двух случайных процессов X(t) и Y(t) называют неслучайную функцию R_xXYy(t₁; t₂) двух независимых аргументов t₁ и t₂, значение которой равно корреляционному моменту сечений этих случайных процессов в соответствующие моментыпромежутки времени:

R_xXYy(t₁; t₂)= M((X(t₁)-m_xX(t₁))×*(Y(t₂)-mm_yY(t₂))).

 

Свойства взаимной корреляционной функции:

если φ(t) и Ψ(t) - неслучайные функции, то

R_{xX(t)+φ(t) yY(t)+Ψ(t)}(t₁; t₂)= R_xXYy(t₁; t₂);

R_{xX(t)×*φ(t) yY(t)×*Ψ(t)}(t₁; t₂)= φ(t₁)× Ψ(t₂)×R_xXYy(t₁; t₂);

R_xXYy(t₁; t₂)=R_yYXx(t₂₁; t₁ t);

 

Функция вида

Называется нормированной взаимной корреляционной функцией случайных процессов X(t) и Y(t).

 

Вероятностные характеристики суммы двух случайных величин

Теорема 1. Математическое ожидание суммы двух случайных процессов

X(t) и Y(t) равно сумме их математических ожиданий:

m

m_x+X+Yy(t)= m_X(t)m_x(t)+m_yY(t).

 

Теорема 2. Корреляционная функция суммы двух случайных процессов

 

X(t) и Y(t) имеет вид:

K_xX+Yy(t₁; t₂)=K_xX(t₁; t₂)+K_yY(t₁; t₂)+R_xXYy(t₁; t₂)+R_yYXx(t₂; t₁ t1).

).

 

Следствие 1. Если случайные процессы X(t) и Y(t) нек коррелированны, то

K_xX+Yy(t₁; t₂)=K_xX(t₁; t₂)+K_yY(t₁; t₂); D_xX+Yy(t)=D_xX(t)+D_yY(t).

 

 

Следствие 2. Если случайный процесс X(t) и случайная величина Y

некне

коррелированны, то

K_xX+Yy(t₁; t₂)=K_xX(t₁; t₂)+D_yY.

 

Пример 3. Рассматривается случайный процесс Y(t)=X×e^-t (t≥0), где X - нормально распределенная с параметрами m и σ случайная величина. Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную и нормированную корреляционные функции, одномерную плотность распределения.

 

 

Решение.

Математическое ожидание: m_Y(t)=M(Xe^-t)=e^-tm_X=me^-t.

Дисперсия: D_Y(t)=D(Xe^-t)=e^-2t DX=σ²e^-2t.

Стандартное отклонение:

Корреляционная функция: K_Y(t₁; t₂)=M((X e^-t1-m e^-t1)×(X e^-t2-m e^-t2))=

= e^-(t1+t2) M(X-m)²=σ² e^-(t1+t2).

Нормированная корреляционная функция:

По условию задачи случайная величина X распределена нормально; при фиксированном значении t сечение Y(t) линейно зависит от случайной величины X, и по свойству нормального распределения сечение Y(t) также распределено нормально с одномерной плотностью распределения:

 

Пример 4. Найти основные характеристики случайного процесса Y(t)=W×e^-Ut (t>0), где W и U - независимые случайные величины; U распределена равномерно на отрезке [0; а]; W имеет математическое ожидание m_W и стандартное отклонение σ_W.

 

Решение.

Математическое ожидание: m_Y(t)=M(We^-Ut)=MW×M(e^-Ut)=m_w×*M(e^-Ut);

, (t>0).

Корреляционная функция:

так как

то

Дисперсия:

 

 

Пример 5. Найти одномерный закон распределения случайного процесса: Y(t)=Vcos(Ψt-U), где V и U независимые случайные величины; V нормально распределена с параметрами (m_V; σ_V); Ψ-const; U- равномерно распределена на отрезке [0; 2π].

 

Решение.

Математическое ожидание случайного процесса Y(t):

Дисперсия:

Стандартное отклонение:

Переходим к выводу одномерного закона распределения. Пусть t-фиксированный момент времени, и случайная величина U принимает фиксированное значение U=u - const; u [0; 2π], тогда получаем следующие условные характеристики случайного процесса Y(t):

M(Y(t)| U=u)=m_V×cos(Ψt-u);

D(Y(t)| U=u)= ×cos²(Ψt-u);

σ(Y(t)| U=u)= ×|cos(Ψt-u)|.

Так как случайная величина V распределена нормально и при заданном значении случайной величины U=u все сечения линейно зависимы, то условное распределение в каждом сечении является нормальным и имеет следующую плотность:

Безусловная одномерная плотность случайного процесса Y(t):

Очевидно, что это распределение уже не является нормальным.