Роль классической механики в квантовой механике

Два момента присутствия классической механики в квантовой механике:

1) Измерение микросистем (квантово-механических систем) проводятся с помощью классических приборов (систем).

2) Принцип соответствия – переход квантово-механических результатов в классическую механику (h à 0, можно ввести такую величину размерности действия A, что ). По Эйнштейну этот переход характеризуется . Если , то переход в классическую механику Ньютона.

 

[§7.] Волновая функция и ее свойства

Волновая функция динамических переменных и времени определяет состояние системы с точностью до фазового множителя, т. е.

т. е. и описывает одно и тоже состояние, где - фазовый множитель. Волновая функция – комплексная, непрерывная, конечная. У нее почти всюду существует конечная производная по координате, но в некоторых точках может терпеть скачек (особые точки). Функции - нормируемые, т.е. квадратично интегрируемы. Но для свободной материальной точки не нормируема.

- элементарный объем

- вероятность того, что динамические переменные лежат в интервале . Это определение справедливо для квадратично интегрируемых функций. Для не квадратично интегрируемых функций величина пропорциональна плотности вероятности.

 

[§8.] Принцип суперпозиции состояний

Если мы имеем состояния системы, описываемые функциями , то суперпозиции этих функций также отвечает некоторое состояние этой системы:

Отсюда получаем: уравнения, которым подчиняется функция должны быть линейными. Этот же вывод распространяется и на операторы в квантовой механике. Принцип суперпозиции требует использования в квантовой механике линейных операторов.

 

Понятие о теории представлений

Представление – это совокупность переменных, в которых решается задача (т. е. набор динамических переменных). Рассмотрим одну материальную точку. Число степеней свободы n=3. Здесь могут быть 2 случая:

1) Под понимаем - имеем -представление (координатное)

Оператор координаты

Оператор импульса

Здесь

2) Под понимаем - имеем -представление (импульсное)

Оператор координаты

Оператор импульса

Здесь

Мы в основном будем использовать -представление. Результаты измерения от вида представления не зависят!

[§10.] Операторы в квантовой механике

В силу принципа суперпозиции в квантовой механике используются линейные операторы. Задача на собственные функции и собственные значения:

Определение оператора:

 

Свойство линейности:

Если , то

т.к. , то

Сопряженный оператор – это оператор, который связан с данным оператором соотношением:

или

Тогда получаем:

Если - то оператор называется эрмитовым (самосопряженным).

Транспонированный оператор

Отметим следующие свойства:

1)

(10.1)

Из выражения (10.1) получаем:

2)

3)

Сумма операторов: . Это операторное равенство предполагает

Произведение операторов: , тогда . Это операторное равенство предполагает

В общем случае не коммутативны

Коммутатор

Если , то операторы и называются коммутативными (операторы и коммутируют).

Если , то операторы и называются не коммутативными (операторы и не коммутируют).

Так как физические величины вещественны, то число операторов в квантовой механике ограничено. Собственные значения эрмитовых операторов вещественны, значит только их можно ставить в соответствие физическим величинам.

Запишем определение среднего:

Так как результаты измерений вещественны, то тоже должно быть вещественным, т.е.

(10.2)

тогда

,

т.е.

Обозначим , тогда

 

Тогда из (10.2) получаем

(10.3)

Из (10.3) имеем для любых :

,

,

где (сопряженный и транспонированный).

[§11.] Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного)* спектра

Начнем с дискретного спектра, т.к. ему соответствует квадратично-интегрируемые функции. Задача на собственные функции и собственные значения для дискретного спектра:

(11.1)

-собственные функции

- собственные значения

Так как эрмитов, то его собственные значения вещественны. Рассчитаем среднее . Если речь идет о физической величине, то это волновые функции, описывающие состояние системы. Если речь идет о математическом аппарате, то - это любые функции. Как частный случай рассмотрим , где - собственные функции оператора .

Так как - число, то его можно вынести за знак скалярного произведения, тогда:

- это среднее значение величины в i -ом квантовом состоянии. Так как среднее – вещественно, то и собственные значения вещественны. У эрмитового оператора собственные значения вещественны (все эрмитовы операторы имеют вещественные спектры).

(11.2)

Умножая (11.1) скалярно на слева, получим

(11.3)

Теперь (11.2) умножаем справа на , тогда

(11.4)

Почленно из (11.3) вычтем (11.4):

(11.5)

т.к. - эрмитов (), то . Из (11.5) имеем

(11.6)

Рассмотрим случай невырожденного спектра. Спектр вырожденный, если одному собственному значению соответствует несколько собственных функций. Например:

Невырожденный спектр – все собственные значения различные.

1) Рассмотрим (11.6) при , тогда , .

2) Теперь пусть . В этом случае скалярное произведение . Обычно вводят нормировку .

Тогда случаи 1 и 2 дают условие ортонормированности:

Утверждается, что собственные функции эрмитового оператора с дискретным спектром образуют полную систему функций, т.е. обладают свойством полноты. Это верно для функций квантовой механики. Утверждение означает, что произвольную функцию можно разложить по собственным функциям эрмитового оператора как по базису.

Запишем это разложение:

, (11.7)

где индекс i пробегает по всем значениям, удовлетворяющим задаче (11.1).

Формулу (11.7) следует отличать от принципа суперпозиции

,

где - вес состояния и суммирование ведется по произвольным a=1,…,k. Заметим, что если (модель Юнга с ширмой и электроном), то .

Найдем коэффициенты из (11.7). Умножим скалярно (11.7) на , тогда имеем

Применяя условие ортонормированности, получим:

Тогда из (11.7) получаем

, (11.7^/)

Далее

Из (11.7^/) также можно получить еще одно соотношение:

- равенство Парсеваля (условие замкнутости).

(*) Теперь рассмотрим случай непрерывного спектра.

У собственной функции индексом является собственное значение. Собственные значения непрерывны, они сплошь заполняют соответствующую числовую ось. В этом случае собственные функции не нормируемы (квадратично не интегрируемы). Используем искусственную операцию – введем понятие собственных дифференциалов, по формуле:

(11.8)

т. е. на числовой оси рассмотрим функции с равным весом на интервале . Собственные дифференциалы (11.8) квадратично-интегрируемы. Через рассмотренные собственные дифференциалы приходим к рассмотрению собственных функций.

Условие ортонормируемости: .

Здесь дает расходящийся интеграл, т. е. равен . Но для собственных дифференциалов имеем:

Собственные функции обладают свойством полноты, т. е. они образуют базис, по которому может быть разложена любая функция:

,

По аналогии с дискретным спектром:

- равенство Парсеваля