Особенности метода моментов.

Ключевые вопросы: определение, предпосылки модели, понятие и формулы моментов, алгоритм расчёта оценок, применение в нормальном распределении, дискуссия о типе и количестве моментов, достоинства и недостатки подхода.

Метод моментов – один из наиболее известных и популярных методов статистического оценивания параметров вероятностных распределений.

Основные предпосылки модели метода моментов следующие:

Суть метода моментов заключается в вычислении того количества теоретических и выборочных моментов случайной величины, которое равно числу исследуемых нами параметров. После вычисления соответствующие друг другу теоретические и выборочные моменты приравниваются, и исходя из получившегося уравнения осуществляется вычисление оценки параметра.

Формула теоретических моментов выглядит так: где μ’_k – есть k-й теоретический момент величины Y.

Формула выборочных моментов выглядит так: где m’_k – есть k-й выборочный момент величины Y.

 

После этого приравниванием μ’_k = m’_k добиваемся вычисления значений параметров.

Рассмотрим в качестве примера нормальное распределение. Нахождение оценок параметров по методу моментов выглядит следующим образом.

 

Следует заметить, что в уравнения также допустимо включать и такие экзотические виды моментов, как асимметрию и эксцесс, но это необходимо только в специализированных исследованиях. Статистическая практика чаще всего не выходит за рамки обозначенного выше алгоритма, поскольку число подлежащих исследованию параметров обыкновенно не превышает 4.

В качестве достоинств метода моментов следует обозначить, во-первых, то, что его вычислительная реализация сравнительно проста, а, во-вторых, то, что оценки, полученные в качестве решений системы, являются функциями от выборочных моментов, что упрощает исследование статистических свойств оценок данного метода. При больших n распределение оценки такого рода асимптотически нормально, среднее значение отличается от истинного на величину, приблизительно равную n^-1, а стандартное отклонение асимптотически равно cn^(-1/2), где c – определённая числовая константа. Фишер в своё время доказал, однако, что асимптотическая эффективность оценок по методу моментов всегда оказывается меньше 1, и поэтому данный метод уступает, например, методу максимального правдоподобия. Впрочем, иногда в статистических исследованиях оценки, полученные по методу моментов, принимаются в качестве первого приближения, по которым можно определять другими методами оценки более высокой эффективности.

В другом изложении:

Введём сначала следующие определения:

Определение 9. Начальный момент порядка k случайной величины x определяется равенством: m_k = M(x^k).

В частности, m₁ = M(x) – обычное мат. ожидание, m₂ = M(x²).

Определение 10. Центральный момент порядка k случайной величины x определяется равенством: a_k = M((x–Mx)^k).

В частности, a₂ = D(x) – дисперсия случайной величины.

Эти моменты называют теоретическими. По данным наблюдений можно вычислить соответствующие эмпирические моменты:

Определение 11. Начальный эмпирический момент порядка k случайной величины x определяется равенством

В частности, – выборочное среднее.

Определение 12. Центральный эмпирический момент порядка k случайной величины x определяется равенством:

В частности, – выборочная дисперсия.

Метод моментов построения точечных оценок неизвестных параметров состоит в приравнивании теоретических моментов рассматриваемого распределения соответствующим эмпирическим моментам того же распределения.

Пусть даны: случайная величина ξ, выборка объема n x₁, x₂,…, x_n. Необходимо построить оценки неизвестных параметров q^*_1,q^*₂,…,q^*_k. Описание метода моментов (ММ) разобьём на этапы:

1. Выписываем первые к моментов μ_1, μ_2, … μ_n

2. Вычисляем по выборке соответствующие им эмпирические (выборочные) моменты.

3. С оставляем систему уравнений μ_i = m_i и решаем ее относительно неизвестных параметров.

 

Замечание 1. Иногда вместо начальных моментов μ_i, m_i удобно использовать центральные моменты α_i, a_i.

Замечание 2. Если на третьем этапе получилась неразрешимая система, то на первом шаге надо добавить новые моменты.

Найдем методом моментов оценки параметров нескольких важнейших распределений.