Уравнения движения. Двухмассовая механическая система

 

Рис.3.1. Расчетная схема двухмассовой механической системы

Расчетная схема двухмассовой системы. Система (рис. 3.1, а) содержит две вращающиеся массы с момен­тами инерции J₁ и J₂, связанные упругим звеном с жест­костью с. К первой массе (пусть это будет ротор двига­теля) приложены моменты М, который примем пока по­стоянным, и M_c1, обусловленный, например, трением. Вто­рую массу будем полагать нагруженной статическим мо­ментом М_с2. В статическом режиме, как отмечалось, все элементы системы будут двигаться с одинаковой скоро­стью, в динамическом же в силу наличия упругости ско­рости будут различны: ω₁ – у первой массы и ω₁ – у вто­рой.

Математическая модель. Поставим задачу – записать уравнения движения такой идеализированной двухмассо­вой системы. Расчленим систему на части (рис. 3.1, 6) и заменим каждую отброшенную часть ее реакцией, как это всегда делается в механике при составлении уравнений равновесия. Реакцию упругого элемента представим мо­ментом упругого взаимодействия М₁₂:

(3.1)

Для первой и второй масс на основании второго закона Ньютона записываем, соблюдая знаки моментов:

(3.2)

(3.3)

Уравнения (3.1) — (3.3) составляют полное математи­ческое описание системы на рис. 3.1, а. Весь вопрос теперь в том, как распорядиться этим описанием, а это зависит от того, какие задачи нужно решать.

Простые частные случаи. Пусть моменты сопротивле­ния пренебрежимо малы и нас интересует движение первой массы. Преобразуем уравнения (3.1) - (3.3), сохранив ω₁, и получим

 

В коэффициенте перед третьей производной скорости легко узнать частоту собственных колебаний

(3.4)

а в правой части – среднее ускорение ε_ср. Тог­да окончательно будем иметь

. (3.5)

Как и следовало ожидать, уравнение описывает неза­тухающий колебательный процесс (корни характеристиче­ского уравнения p₁ = 0, p_2,3 = ±jΩ₁₂) с частотой колебаний Ω₁₂. Оно определяет изменение средней скорости ε_срt, на которую колебания накладываются. Решение уравнения (3.5) с учетом конкретных начальных условий дает полную картину движения первой массы. Так, при имеем

Зависимость ω₁ от t показана на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Динамические процессы в двухмассовой системе

Динамические перегрузки. Математическое описание в виде (3.1) - (3.3) позволяет решать и другие задачи. На­пример, иногда очень важно оценить динамическую на­грузку упругого звена, т. е. найти и проанализировать за­висимость М₁₂ от времени. Решив исходные уравнения (3.1) - (3.3) относительно М₁₂, получим

. (3.6)

Это также уравнение незатухающего колебательного процесса, решение которого можно получить в виде

.

Зависимость M₁₂(t) показана на рис. 3.2. Из нее следу­ет, в частности, что в рассматриваемом случае максималь­ная нагрузка М_12тах вдвое превышает среднюю, опреде­ляемую средним ускорением.

(3.7)

(3.8)

(3.9)

В них содержатся переменные (это все М и ω), пара­метры (с, J₁ и J₂) и оператор р, причем каждая перемен­ная может быть выражена через другие переменные и параметры в сочетании с операто­рами. Уравнению (3.8), решенному относительно ω₁, будет соответствовать, уравнению (3.7), решенному отно­сительно M₁₂,.

Расчеты электромеханической системы.

Выбираем реечный двигатель.

Исходя из параметров двигателя выбираем:

Диаметр вала = 0,003 м.

Высота зуба = 0,002 м.

Диаметр шестерни = 0,007 м.

Рассчитываем коэффициент передачи:

Скорость вращения номинальная:

Скорость вращения ведущей шестерни:

Коэффициент передачи:

Момент инерции:

Момент инерции приведения:

Момент трения:

Момент приведения трения:

Источник момента при использовании ИП генератора тока:

тогда получим равенство:

Результатом решения данного уравнения является:

В режиме источника напряжения:

учитывая, что ω = 2ωном, подставляем в равенство:

Решение:

Учтем, что ω= ̇ и сделаем замену

По заданному графику движения груза рассчитываем:

t, сек	Расчетное x(t)	Расчетное V (t)	Заданное V(t)
0.1	0.053	0.534	0.2
2.1	1.14		0.2
2.2	1.2	0.556	0.4
7.2	4.116		0.4
14.7	9.05
28.2		-0.913

Найдем время возврата в исходное состояние:

Примем время торможения равное 10% от t5-7, оно будет равно 1,5 сек. Рассчитаем скорость на стадии возврата в исходное состояние, учитывая, что оно будет отрицательным.

Рассчитываем: