Теоретический материал к контрольной работе

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................... 4

ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

СТАТИСТИКЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ......................................... 5

ЛИТЕРАТУРА................................................................................................................ 7

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ........................ 8

1. Элементы комбинаторики. Пространство элементарных

событий. Определения вероятности.................................................................. 8

1.1. Элементы комбинаторики........................................................................ 8

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей...................................... 10

2.1. Теорема сложения вероятностей......................................................... 10

2.2. Теорема умножения вероятностей...................................................... 11

3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса................................... 12

3.1. Формула полной вероятности.............................................................. 12

3.2. Формулы Байеса...................................................................................... 13

4. Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли).......... 14

4.1. Формула Бернулли.................................................................................. 14

4.2. Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа................ 14

4.3. Формула Пуассона.................................................................................. 16

5. Случайные величины..................................................................................... 17

5.1. Понятие случайной величины.............................................................. 17

5.2. Функция распределения СВ и ее свойства........................................ 17

5.3. Плотность распределения вероятностей СВ.................................... 18

6. Числовые характеристики СВ...................................................................... 21

6.1. Математическое ожидание и его свойства....................................... 21

6.2. Дисперсия и ее свойства......................................................................... 21

7. Законы распределения СВ............................................................................ 24

7.1. Законы распределения дискретных СВ............................................. 24

7.2. Законы распределения непрерывных СВ......................................... 25

8. Математическая статистика........................................................................ 29

8.1. Выборочный метод. Статистическое распределение

выборки. Эмпирическая функция распределения................................... 29

8.2. Точечные оценки неизвестных параметров распределения........ 30

8.3. Интервальные оценки неизвестных параметров распределения............................................................................. 31

8.4. Статистическая проверка гипотезы о нормальном

распределении.................................................................................................. 32

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ................................................................................... 39

ПРИЛОЖЕНИЯ........................................................................................................... 62

ВВЕДЕНИЕ

Студент должен изучить теоретический материал, разобрать приведенные решения типовых примеров, а затем выполнить контрольные задания. Вариант задания совпадает с двумя последними цифрами шифра зачетной книжки. Если номер шифра больше тридцати, следует от него отнимать тридцать до тех пор, пока не получится число, меньшее или равное тридцати. Это и будет номер варианта. Например, шифр содержит две последние цифры 76, номер варианта будет 76 – 30 – 30 = 16. Шестнадцатый вариант задания содержит задачи с номерами: 16, 46, 76, 106, 136, 166, 196. Если шифр варианта 00, то студент выполняет 30 вариант.

ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

1. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.

2. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности.

3. Свойства вероятности.

4. Теорема сложения вероятностей.

5. Теорема умножения вероятностей.

6. Формула полной вероятности.

7. Формулы Байеса.

8. Схема повторных независимых испытаний. Формула Бернулли.

9. Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа.

10. Формула Пуассона.

11. Случайные величины (СВ). Закон распределения СВ. Непрерывные и дискретные СВ.

12. Математическое ожидание и его свойства.

13. Дисперсия и ее свойства.

14. Функция распределения и ее свойства.

15. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.

16. Биномиальный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия СВ, распределенной по биномиальному закону.

17. Распределение Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия.

18. Равномерный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия.

19. Показательный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия.

20. Нормальный закон распределения. Функция и плотность распределения. Математическое ожидание и дисперсия.

21. Вероятность попадания нормально распределенной СВ в интервал. Вероятность отклонения СВ от математического ожидания по модулю. Правило трех сигм.

22. Двумерные СВ. Закон распределения. Условный закон распределения.

23. Числовые характеристики двумерных СВ. Условное математическое ожидание и условная дисперсия.

24. Корреляционный момент и его свойства.

25. Коэффициент корреляции и его свойства.

26. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.

27. Теорема Чебышева.

28. Теорема Бернулли.

29. Центральная предельная теорема Ляпунова.

30. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд.

31. Полигон и гистограмма.

32. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

33. Понятия выборки и выборочной функции (статистики). Выборочная средняя и выборочная дисперсия.

34. Оценки параметров распределения. Точечные оценки и требования, предъявляемые к ним.

35. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.

36. Интервальные оценки. Доверительный интервал.

37. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной СВ при известном среднем квадратическом отклонении.

38. Распределение Стьюдента.

39. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной СВ при неизвестном среднем квадратическом отклонении.

40. Распределение Пирсона.

41. Построение доверительного интервала для среднего квадратического отклонения нормально распределенной СВ.

42. Понятие о статистических гипотезах и критериях согласия.

43. Критерий согласия Пирсона .

44. Критерий согласия Колмогорова.

45. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства.

46. Уравнение регрессии. Линейная регрессия. Определение коэффициентов линейной регрессии методом наименьших квадратов.

47. Нелинейная регрессия. Определение параметров нелинейной регрессии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1997.

2. Микулик, Н.А. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.А. Микулик, А.В. Метельский. – Минск: Пион, 2002.

3. Фигурин, В.В. Теория вероятностей и математическая статистика / В.В. Фигурин. – Минск: Новое знание, 2000.

4. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. –М.: Высшая школа, 1997.

5. Гусак, А.А. Теория вероятностей: справочное пособие к решению задач / А.А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 1999.

6. Микулик, Н.А. Решение задач с техническим содержанием по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессом: справочное пособие / Н.А. Микулик [и др.]. – Минск: БНТУ, 1966.

7. Гайшун, Л.Н. Теория вероятностей / Л.Н. Гайшун, Г.К. Иг­натьева, О.А. Велько. – Минск: МПУ, 2002.

8. Минюк, С.А. Математика для инженеров: учебник: в 2 т. / С.А. Минюк [и др.]. – Минск: Элайда, 2006. – Т. 2.

Событий. Определения вероятности

 

Элементы комбинаторики

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов . Перестановкой на множестве из n элементов называется всякое упорядоченное множество, состоящее из этих n элементов. Число перестановок на множестве из n элементов Р_n определяется по формуле .

Две различные перестановки состоят из одних и тех же элементов, но отличаются порядком следования элементов.

Пример 1.1. Имеется четыре вакантных должности и четыре претендента на эти должности. Сколькими способами можно заполнить эти должности?

Решение. Р ₄ = 4! = 24.

Размещением на множестве из n элементов по m элементов называется любое упорядоченное подмножество, содержащее m элементов. Два размещения считаются различными, если они состоят из различных элементов, или состоят из одних и тех же элементов, но отличаются порядком следования элементов в наборе. Число размещений на множестве из n элементов по m элементов определяется формулой

Пример 1.2. Сколькими способами можно рассадить по 3 студента за стол в группе из 20 студентов?

Решение. .

Сочетанием на множестве из n элементов по m элементов называется всякое неупорядоченное подмножество, содержащее m элементов. Два различных сочетания отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний на множестве из п элементов по т элементов определяется формулой .

Пример 1.3. В ящике 5 деталей. Сколькими способами из ящика можно взять 3 детали?

Решение. .

Классическое определение вероятности. Элементарным событием или исходом называется всякая возможная реализация эксперимента. Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий. Любое подмножество пространства элементарных исходов называется случайным событием. Исход v_i благоприятствует событию А, если появление исхода v_i влечет появление события А. Вероятность события характеризует степень объективной возможности наступления этого события. Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события А, к общему числу равновозможных исходов.

,

где п – общее число исходов;

т – число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Пример 1.4. В группе 8 юношей и 5 девушек. Из группы случайным образом отбирается 5 студентов. Найти вероятность того, что среди них окажется 4 девушки.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что из 5 случайно отобранных студентов окажутся 4 девушки. Общее число исходов будет равно количеству способов, сколькими из 13 студентов можно отобрать по 5 студентов . Благоприятствовать событию А будут те исходы, в которых будет 4 девушки и 1 юноша . Тогда .

Геометрическое определение вероятности. Пусть указана область W, из которой наугад выбирается точка. Вероятность того, что выбранная точка одновременно попадет в область А (А Ì W) пропорциональна мере области А (длине, площади, объему): . Понятие геометрической вероятности обобщает классическое определение вероятности на случай опытов с бесконечным числом исходов.

Пример 1.5. Случайно поставленная точка принадлежит квадрату со стороной 4. Найти вероятность того, что она попадет в круг, вписанный в этот квадрат.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что случайно поставленная точка попадет в круг, вписанный в квадрат. Тогда .

Статистическое определение вероятности. Пусть некоторый эксперимент повторяют п раз, в результате этого событие А наступило т раз. Относительной частотой события А называется отношение количества испытаний, в которых наступило событие А, к общему числу проведенных испытаний:

 

.

 

Если число испытаний неограниченно увеличивать, то относительная частота события «стремится» к вероятности наступления события А. Поэтому при статистическом определении вероятности полагают .

 

Формула полной вероятности

События образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и их сумма равна достоверному событию:

1) ;

2) .

Пусть событие А может наступить совместно с одним из событий , образующих полную группу, тогда вероятность события А определяется по формуле:

 

.

 

Эта формула называется формулой полной вероятности, а события – гипотезами.

Пример 3.1. По линии связи передаются два сигнала А и В соответственно с вероятностями 0,4 и 0,6. Из-за помех 1/6 сигналов А искажается и принимается как В, а 1/5 сигналов В искажается и принимается как А. Найти вероятность того, что будет принят сигнал А.

Решение. Рассмотрим события: А – принят сигнал А, Н ₁ – передавался сигнал А; Н ₂ – передавался сигнал В. События Н ₁, Н ₂ образуют полную группу событий, поэтому

 

Формулы Байеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий , которые образуют полную группу событий. Если событие А произошло, то вероятности гипотез определяются по формулам Байеса

 

.

Пример 3.2. Соотношение грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, равно 2: 3. Вероятность того, что будет заправляться грузовая автомашина равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,3. К бензоколонке подъехала для заправки автомашина. Найти вероятность того, что это грузовая автомашина.

Решение. Пусть событие А – к бензоколонке подъехала для заправки автомашина; Н ₁ – подъехала грузовая автомашина; Н ₂ – подъехала легковая автомашина. Тогда

 

 

,

.

Формула Бернулли

Если производится n независимых испытаний, в результате которых могут быть только два исхода А или с неизменными вероятностями , то такая схема испытаний называется схемой Бернулли.

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события А постоянна (равна р) и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно m раз, определяется по формуле Бернулли

 

.

Пример 4.1. Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что в течение смены откажут ровно два узла.

Решение. Из условия задачи . Используя формулу Бернулли, получим

 

.

 

Формула Пуассона

Если в схеме Бернулли п велико, а вероятность появления события р мала, то вероятность того, что в п испытаниях событие наступит ровно т раз определяется по формуле

 

.

 

Формулу Пуассона обычно применяют, если р < 0,01; п >100 и пр £ 10.

Пример 4.4. При массовом производстве шестерен вероятность брака равна 0,002. Найти вероятность того, что из 500 выпущенных шестерен будет ровно 2 бракованных.

Решение. По условию задачи п =500 и т = 2, р = 0,002, l = пр =
= 500 × 0,002 = 1 < 10. Для нахождения вероятности воспользуемся формулой Пуассона:

.

Случайные величины

Понятие случайной величины

Случайной величиной (СВ) называется числовая функция , заданная на пространстве элементарных исходов W и такая, что для любого действительного числа х определена вероятность . Случайная величина – это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Различают два вида СВ: дискретные и непрерывные. Дискретная СВ – это величина, которая принимает счетное или конечное число значений. Непрерывной СВ на интервале (a; b) называют СВ, которая может принять любое значение из (a; b). Чтобы задать СВ нужно задать закон распределения. Закон распределения дискретной СВ – это соответствие между возможными значениями СВ и вероятностями их появления. Закон распределения дискретной СВ записывается в виде таблицы:

 

xi	х1	х2	¼	хп
pi	p1	p2	¼	pп

 

.

 

Числовые характеристики СВ

К числовым характеристикам СВ относятся: математическое ожидание М (Х), дисперсия D (Х), среднее квадратическое отклонение s(Х), начальные и центральные моменты и др.

 

Дисперсия и ее свойства

Начальным моментом k-го порядка называется математическое ожидание СВ Х^k.

Для дискретных случайных величин

.

Для непрерывных случайных величин

.

Центральным моментом k-ого порядка называется математическое ожидание СВ .

Для дискретных случайных величин:

.

Для непрерывных случайных величин:

.

Дисперсией называется центральный момент второго порядка:

.

Дисперсия характеризует степень разброса значений СВ относительно математического ожидания. Дисперсия СВ равна разности математического ожидания квадрата СВ и квадрата математического ожидания.

.

 

Свойства дисперсии:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , X, Y – независимые СВ.

Средним квадратическим отклонением СВ называется корень квадратный из дисперсии СВ:

 

.

Пример 6.1. Дискретная СВ задана законом распределения. Требуется найти М (Х), D (X), s(X).

 

xi
pi	0,1	0,3	0,4	0,2

Решение.

,

,

 

,

 

.

 

Пример 6.2. Непрерывная СВ задана плотностью распределения:

 

 

Требуется вычислить М (Х), D (X), s(X).

Решение.

,

 

,

 

,

 

.

Законы распределения СВ

Математическая статистика

Распределения

Статистическая оценка называется интервальной, если она характеризуется двумя случайными величинами: началом и концом интервала. В качестве интервальной оценки используются доверительные интервалы.

Пусть является статистической оценкой неизвестного параметра q. Тогда при некоторых e > 0 вероятность близка к единице, т. е. неизвестный параметр q с вероятностью g накрывается интервалом . Вероятность g называется доверительной вероятностью или надежностью оценки. Интервал, который с заданной надежностью накрывает неизвестный параметр, называется доверительным интервалом.

Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределенной СВ при известном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности определяется неравенством

,

 

где t – значение функции Лапласа , при котором

Если среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной СВ неизвестно, но по результатам выборки вычислены и s, то доверительный интервал для математического ожидания определяется неравенством

 

 

где находится из таблицы (приложение 5) по заданным значениям g и n.

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения s нормально распределенной СВ определяется неравенством

 

,

 

где определяются из таблицы (приложение 6) по заданным g и ν = n – 1.

 

Распределении

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Важнейшим среди законов распределения является нормальный закон распределения с функцией распределения

 

.

 

Нормальный закон распределения является предельным для ряда законов распределения. Поэтому основные методы математической статистики разработаны применительно для нормального закона.

Пусть – функция распределения изучаемой СВ. Обозначим через Н_о гипотезу о нормальном распределении СВ с функцией , где а и s – конкретные значения параметров распределения. Для проверки гипотезы проводят серию из n независимых испытаний. В результате получают выборочную совокупность , по которой делают вывод о правильности гипотезы Н_о. Так как СВ может принимать бесчисленное множество значений, то выборочная совокупность содержит неполную информацию о законе распределения генеральной совокупности. По этой причине при проверке гипотезы Н_о может быть допущена ошибка. Вероятность ошибочного отклонения правильной гипотезы Н_о называется уровнем значимости. Обычно при проверке гипотезы уровень значимости a берут равным 0,001, 0,01, 0,05.

Одним из методов статистической проверки гипотезы о законе распределения является критерий согласия Пирсона . Пусть статистическое распределение выборки задано в виде последовательности интервалов и соответствующих частот ( – сумма частот, которые попадают в i -ый интервал).

 

				...
				...

 

По результатам выборки вычисляем выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение . Предположим (гипотеза Н_о), что СВ распределена нормально с параметрами . Теоретическая функция распределения имеет вид

 

.

 

Определим теоретические вероятности попадания СВ в интервал ():

.

 

Вычисляем теоретические частоты и вычисляем (статистику Пирсона):

 

.

Из таблицы критических точек распределения Пирсона по заданному уровню значимости a и число степеней свободы ν = k – 3 (k – число интервалов) определяем критическое значение .

Если , то нет оснований отвергать гипотезу Н ₀ о нормальном распределении генеральной совокупности. Если , то гипотеза Н ₀ отвергается с вероятностью ошибки a.

Пример 8.1. Дано статистическое распределение срока службы инструмента до выхода за пределы точности (в месяцах).

 

– срок службы в мес.	20–25	25–30	30–35	35–40	40–45
– частота

 

Требуется:

1) построить полигон и гистограмму относительных частот (частостей);

2) по виду полигона и гистограммы и, исходя из механизма образования исследуемой СВ, сделать предварительный выбор закона распределения;

3) предполагая, что СВ распределена по нормальному закону, найти точечные оценки параметров распределения, записать гипотетичную функцию распределения;

4) найти теоретические частоты нормального распределения и проверить гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона при уровне значимости ;

5) найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормально распределенной СВ при надежности .

Решение. Вычислим относительные частоты , середины интервалов , высоты прямоугольников гистограммы .

 

	0,09	0,24	0,35	0,22	0,1
	22,5	27,5	32,5	37,5	42,5
	0,018	0,048	0,07	0,044	0,02

 

Построим гистограмму и полигон частостей.

 

Так как полигон частостей приближенно представляет кривую Гаусса и срок службы инструмента зависит от большого количества независимых параметров, то можно сделать предположение о нормальном распределении срока службы инструмента. Вычислим точечные оценки параметров распределения.

 

 

.

 

 

.

 

Запишем гипотетичную функцию распределения

 

.

 

Вычислим теоретические частоты в предположении, что СВ распределена по нормальному закону:

 

.

 

Вычисления значений функции Лапласа приведены в таблице.

№
				–0,5
		–7,51	–1,38	–0,4162
		–2,51	–0,46	–0,1772
		2,49	0,45	0,1736
		7,49	1,36	0,4131
				0,5

 

Вычислим теоретические частоты.

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия .

Вычислим статистику Пирсона.

 

Из таблицы критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы ν = k – 3 = 2 найдем Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении СВ.

Найдем доверительные интервалы для а и s.

 

 

(приложение 5). Поэтому 31,433 < a < 33,587.

, где (приложение 6). Значит 4,82 < s < 6,37.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Установлены три независимо работающих пожарных извещателя. Вероятности того, что при пожаре сработает первый, второй и третий извещатель соответственно равны 0,9, 0,7, 0,85. Какова вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы одно устройство?

2. Для подготовки к экзамену студент должен изучить 50 теоретических вопросов и научиться решать 30 типов задач. Студент, готовясь к экзамену, выучил 40 теоретических вопросов и научился решать 25 типов задач. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для сдачи экзамена достаточно ответить на любые два задания из билета, содержащего два теоретических вопроса и задачу.

3. Детали проходят четыре операции обработки. Вероятность получения брака при первой, второй, третьей и четвертой операциях соответственно равны 0,005, 0,01, 0,015, 0,02. Найти вероятность того, что после четырех операций будет получена стандартная деталь.

4. У сборщика 10 деталей, из них первого сорта 6, второго – 4. Какова вероятность того, что из 5 одновременно взятых деталей 3 окажутся первого сорта и 2 – второго сорта?

5. Прибор состоит из трех независимо работающих блоков. Вероятности выхода из строя за время Т первого, второго, третьего блоков соответственно равны 0,1, 0,05, 0,01. Каждый блок необходим для работы прибора в целом. Какова вероятность того, что за время Т прибор выйдет из строя?

6. В ящике 15 деталей, среди которых 12 окрашенных. Сборщик наугад извлекает 5 деталей. Какова вероятность того, что среди извлеченных деталей 3 будут окрашенными?

7. В мастерской работают два мотора независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение смены первый мотор не потребует внимания мастера равна 0,85, а для второго мотора эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что в течение смены только один мотор потребует внимания мастера.

8. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первосортным, если известно, что 4 % всей продукции является браком, а 80 % небракованной продукции удовлетворяют требованиям первого сорта.

9. Устройство содержит три независимо работающих блока. Вероятности отказов блоков соответственно равны 0,15, 0,2, 0,1. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один из блоков.

10. Три исследователя независимо один от другого производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора равна 0,01. Для второго и третьего исследователей эти вероятности равны 0,02 и 0,015. Найти вероятность того, что ошибка будет допущена при измерении не более, чем одним исследователем.

11. В контейнере 17 изделий, из них 10 изделий первого сорта, 4 изделия – 2-ого сорта и 3 изделия – 3-ого сорта. Рабочий случайным образом берет 6 изделий. Какова вероятность того, что среди взятых изделий первого сорта окажется 3 изделия, второго – 2 изделия, третьего – 1 изделие?

12. В течение года три фирмы могут обанкротиться независимо друг от друга соответственно с вероятностями 0,02, 0,05, 0,04. Какова вероятность того, что в конце года все фирмы будут функционировать?

13. На сессии студенту предстоит сдать экзамены по четырем предметам. Студент освоил 90 % вопросов по первому предмету, 80 % – по второму, 75 % – по третьему и 95 % – по четвертому. Какова вероятность того, что студент успешно сдаст сессию?

14. Устройство состоит из четырех элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Какова вероятность того, что включенными будут неизношенные элементы?

15. В электрическую цепь включено последовательно три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,2, 0,15, 0,1. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.