Метод максимальної правдоподібності.Приклад

, -оцінка макс. правдоподібності

-рівняння правдоподібності

Розв’язок

, -точка max.

Приклад:

;

;

; , -точка max.

Приклад:

;

1)Нехай ;

2) ;

3) ;

-оцінка max

Властивості оцінок макс правдоподібності

1)Якщо, для параметра існує достатня статистика, то оцінки МП-ф-ія достат. статистики.

- дост.;

;

2)Нехай - скаляр.параметр. Якщо, для параметра існує ефектив. оцінки, то вона співпадає з оцінками МП.

-ефектив.; ; , - оцінка макс. МП.

 

Асимптотична нормальність оцінок максимальної правдоподібності.

Нехай , де - незалежні однаково розподілені випадкові величини з щільністю . Тоді

Теорема Фішера. незміщена оцінка максимальної правдоподібності, і виконані умови:

тричі диференційована по ;

1) ;

2) ;

3) , тоді послідовність оцінок максимальної правдоподібності сильно спроможна асимптотична нормальна і асимптотично ефективна, тобто - асимптотична ефективність.

 

Доведення. - рівняння правдоподібності. оцінка правдоподібності, . - істинне значення параметра.

 

Надійні інтервали. Побудова асимптотичних надійних інтервалів. Приклад.

Надійні інтервали:

- вип. вел.

– надійним інтервалом для θ наз. такий інтервал , що

- наперед задана ймовірність

- деякі функції від вибірки

,

Асимптотично найкоротший надійний інтервал

Нехай - оцінка методу максимальної правдоподібності

Значення

розв’яжемо цю нерівність відносно

асимпт. найкор. інтервал

Пуассонівський розподіл:

Біноміальний розподіл:

Нехайn=100, x=40,

 

Надійні інтервали для параметрів нормального розподілу у випадку, коли один з параметрів відомий.

,

1. - відомий, - найкраща оцінка парам а, а – невід;

2. а – відоме, - невідомий.

n – кількість спостережень, розподіл з n ступенями волі.

 

Теорема про незалежність вибіркових середнього та дисперсій для нормального розподілу.

Лема1. Нехай

Нехай є матриця С n*n. Ця матриця ортогональна

Тоді

Доведення.

Характеристичні функції

Оскільки то вони ідентичні.

Лема2.

і ця величина не залежить від виразу

Доведення.

- Не залежить від

Теорема. Нехай вип..вел. . - векторн.спостер., то статистики незалежні між собою, а

Доведення. Доведемо для N(0,1).

Побуд.

Надійні інтервали для параметрів нормального розподілу у випадку, коли обидва параметри невідомі.

Лемма 1:

,

Розглянемо ортогональну матрицю .

,

Для доведення аналогічне.

 

Лемма 2

, r<nі не залежить від .

 

Теорема Фішера:

Нехай

Тоді: і незалежні між собою.

Доведемо для а=0,

Розглянемо матриці виду:

Отже, не залежить від .

3) Отже, третій випадок: -невідомі. а-?

 

4) Отже, четвертий випадок: -невідомі. -?

 

25.Критерій X²

∆1∆2 … ∆s   m1 m2 … ms

інтервал чи число mi

Нехай задані спостереження:

 

Теорема:

. Доведення:

Якщо недіагональні вектори не =0, то компоненти залежні:

Отже,

Доведено.

Побудова критерію:

1)Наперед задається α.

2)За допомогою таблиць визначається значення величини

3) Якщо і

Зауваження: Якщо функція розподілу містить невідомий параметр, то замість параметра підставляємо оцінки:

26.Критерій Xдля перевірки незалежності та однорідності. Критерій однорідності

Цей критерій можна використовувати для перевірки даних, що мають дискретну структуру. Окрім того,за допомогою цього критерію можна перевіряти однорідність будь-якого скінченного числа вибірок. Нехай проведено kпослідовних серій незалежних спостережень, які складаються з спостережень. При цьому в кожному експерименті може виникнути один з наслідків, n _ij— число виникнень i -го наслідку в j -й серії. — загальна кількість об’єм спостережень. Потрібно перевірити гіпотезу H ₀ про те, що всі спостереження проводилися над однією і тією ж величиною. Статистикою критерію є величина:

У таблиці - розподілу за даними і числом степенів свободи m=(l-1)(k-1) знаходимо число . Якщо то гіпотеза відхиляється, якщо ж то гіпотеза приймається.

Критерій незалежності

Критерій дає змогу перевіряти також гіпотезу про незалежність двох випадкових величин та h. Статистикою критерію є величина

де v_ij — число випадків, коли одночасно спостерігалися x = x_i та h = y_j (для неперервних випадкових величин i та j — номери відповідних інтервалів),

і — число значень, яких набувають випадкові величини та h; — обсяг вибірки. Вибір табличного значення і прийняття рішення проводиться аналогічно описаній вище процедурі для критерію однорідності