Колебания заряда, напряжения на конденсаторе и силы тока в цепи одиночного контура, при учете электрического сопротивления. Характеристики затухания.

Затухающие колебания в электрической цепи

Все реальные контура содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятсязатухающими(рис. 1).

Рис. 1. Затухающие колебания в контуре.

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям математического маятника при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: F_тр= – βv. Коэффициент β в этой формуле аналогичен сопротивлениюRв электрическом контуре. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид

. (1)

Физическая величина δ = R / 2L называется коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения является функция

(2)

Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается вe ≈ 2,7 раза, называется временем затухания.

Время затухания определяется добротностью Q колебательной системы:

(3)

где N – число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ. Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение:

(4)

Для R-L-C-контура добротностьQвыражается формулой

. (5)

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Вынужденные электрические колебания в цепи одиночного контура под воздействием внешней гармонически изменяющейся ЭДС. Связь добротности контура с шириной резонансной кривой.

2. Вынужденные колебания в электрической цепи.

Резонанс токов и напряжений

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями.

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Периодический внешний источник обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ωWОсобый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ₀.

Если частота ω₀ свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте W внешнего источника.

Для установления стационарных вынужденных колебаний необходимо некоторое время Δt после включения в цепь внешнего источника. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.

Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынуж­денные колебания под действием периодического источника тока, назы­ваютсяцепями переменного тока.

Рассмотрим последовательный коле­бательный контур, то есть RLC-цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону:

(6)

Закон Ома можно записать для мгновенных значений токов и напряжений:

(7)

Видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии

(8)

внешнего источника с собственной частотой ω электрической цепи называетсяWЯвление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты электрическим резонансом напряжений. При резонансе

. (9)

Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов R, L и C (так называемый резонанс токов).

) амплитудыWПри последовательном резонансе (ω = U_CиU_Lнапряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:

(10)

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Qраз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

Рис.3. Резонансные кривые для контуров с различными значениями добротности Q.