Клади правильних і неправильних міркувань.

Як було сказано вище, міркування _ це логічна опрація,

або мислительний процес, який полягає в тому, що, прий_

маючи одне або кілька висловлень за істинні, доходять на

цій основі до переконання (висновку), що інше висловлен_

ня також істинне. Висловлення, з яких починають міркуван_

ня, називаються умовами, або основами, а висловлення,

істинність якого стверджується в результаті процесу мірку_

вання, називається висновком. Процес міркування опи_

сується висловленням, яке починається найчастіше словом

“оскільки”, після якого формулюються умови, а потім після

слова “то” або “отже” формулюється висновок.

Наприклад, розв’язування задачі на визначення сторін

прямокутного трикутника з гіпотенузою а і гострим кутом

300 буде здійснюватися шляхом таких міркувань:

1) Оскільки гіпотенуза прямокутного трикутника

дорівнює а, і гострий кут дорівнює 300, то катет, що лежить

проти кута 300 дорівнює половині гіпотенузи. Отже, цей

катет дорівнює

а

.

Таким чином з двох істинних висловлень А1: “Гіпотенуза

прямокутного трикутника дорівнює а ”, і А2: “Гострий кут

S P

прямокутного трикутника дорівнює 300”, даних в умові задачі,

одержали третє нове істинне висловлення В1:”Катет, що

лежить проти кута 300, дорівнює а

. “Символічно це

міркування можна записати так: А∧А2 ⇒ В1, або так

А А

∧

.

Далі розв’язування цієї задачі продовжується міркуванням:

2) Оскільки гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює а, і один

катет дорівнює

а

, то за теоремою Піфагора можна знайти другий

катет. Отже, другий катет дорівнює

а 2 а

− =

a 2

=

a

3.

В цьому міркуванні першою умовою є висловлення А1, дане в

умові задачі, а другою умовою служить висловлення В1, яке було

висновком у попередньому міркуванні.Висновок другого

міркування позначимо

В2: “другий катет дорівнює

a

3 ”.

Друге міркування символічно можна записати так:

А1∧В1 ⇒ В2 або у формі

В

В

1 1

.

Прийнята остання форма запису міркування означає, що

умови записуються над рискою, а висновок _ під рискою.

Наведений приклад є зразком міркування в конкретному

випадку розв’язування задачі.

Розглянемо більш загальні випадки міркування. Зауважимо,

що існують різні шляхи міркувань:

а) від загального до окремого (часткового), тобто дедуктивні

міркування;

б) від окремого (часткового, конкретного) до загального —

індуктивні міркування.

в) від окремого до окремого — міркування за аналогією.

В математиці найчастіше використовують міркування, в

основі яких лежить відношення логічного слідування між

предикатами і які називаються дедуктивними. Оскільки, як

відомо, імплікація, що виражає відношення логічного слідування

між предикатами, завжди істинна, то дедуктивне міркування

завжди правильне.Якщо ж між умовами і висновком міркування

немає відношення логічного слідування, то таке міркування

недедуктивне. Це означає, що в результаті такого міркування

можна дійти іноді до хибного, а іноді до істинного висловлення.

А отже, таке міркування неправильне. Наприклад, розглянемо

два міркування:

1) “Оскільки якщо число натуральне, то воно ціле, і число 2 _

ціле. Отже, число 2 _ натуральне”.

2) “Оскільки якщо число натуральне, то воно ціле, і число (_2) _

ціле. Отже, число (_2) _ натуральне”.

Легко бачити, що обидва міркування мають однакову логічну

структуру. Для того, щоб переконатись в цьому, запишемо

наведені міркування в символічній формі, ввівши такі позначення:

А(х): “число х _ натуральне”; В(х): “число х _ ціле”.

Істинне висловлення “Якщо число натуральне, то воно ціле”,

яке є першою умовою в обох міркуваннях, є

загальностверджувальним висловленням, бо воно рівносильне

висловленню “Кожне натуральне число є цілим”. Оскільки ТА(х)=

N, а ТВ(х)= Z і ТА(х)

⊂

ТВ(х), бо N

Z, то останнє висловлення можна

символічно записати в імплікативній формі з квантором

загальності: (

∀

х є М)

[А (х) ⇒ В (х)]

, де М _ довільна

числова множина. Це висловлення виражає відношення

логічного слідування предикатів А(х) та В(х) і є істинним.

Висловлення “число 2 _ ціле”, яке є другою умовою

міркування, є також істинним висловленням, утвореним з

предиката В(х), де х=2, тому його позначимо В(2). Висновок

“число 2 _ натуральне” є також істинним висловленням, яке

утворене з предиката А(х), де х=2. Тому позначимо його А(2).

Отже, перше міркування можна записати так:

((∀ x∈M) [ А(х)⇒B(x) ] ∧ B(2))⇒A(2),

або

()[ () ()] ()

()

∀ x ∈ M A x ⇒ B x ∧ B

A

.

Друге міркування відрізняється від першого лише тим, що в

ньому замість числа 2 розглядається число (_2), в зв’язку з

чим висновок А(_2) _ хибний, бо число (_2) не є натуральним.

Це означає, що друге міркування, яке має логічну структуру таку

саму, як і перше міркування, а саме

((∀ x ∈ M)[ A (x)⇒ B (x)]∧ B (−2))⇒ A (−2) або

()[ () ()] ()

()

∀ ∈ ⇒ ∧ −

−

x M Ax Bx B

A

2, є неправильним, бо з істинних

умов в результаті міркування одержали хибний висновок. Таким

чином міркування, проведене за схемою

(∀ x ∈ M)[ A (x)⇒ B (x)]∧ B (а)⇒ A (a), приводить іноді до істин_

ного висновку (як у першому випадку, де a =2), а іноді до хибного

висновку (як у другому випадку, де a = _2). А це означає, що між

умовами і висновком міркування немає відношення логічного

слідування, а тому міркування, побудоване за цією схемою, не_

правильне.

Отже, правильність міркування визначається не

тільки істинністю висловлень, що входять у нього, а

формою міркування. Справді, з першого прикладу, де

умови і висновок є істинними висловленнями, можна було

б зробити помилковий висновок про те, що міркування,

проведене за цією структурою

((∀ x ∈ M)[ A (x)⇒ B (x)]∧ B (a))⇒ A (a), _ правильне.

Але другий приклад переконує в тому, що міркування, яке

має таку логічну структуру, неправильне. Іншими словами,

істинність висновку, отриманого в результаті міркування,

не означає правильності міркування.

В логіці обгрунтовані дедуктивні міркування за

схемами, які називаються правилами міркувань. Існують

три основні правила міркувань: правило висновку,

правило заперечення і правило силогізму.

1) Правило висновку. Міркування, проведене за цим

правилом, характеризується тим, що умова являє собою

кон’юнкцію двох висловлень. Перше з них

загальностверджувальне висловлення, записане у формі

імплікаціі двох предикатів, між якими існує відношення

логічного слідування, перед якою стоїть квантор

загальності, тобто(∀ x ∈ M)[ A (x) ⇒ B (x) ]. Друге

висловлення стосується окремого конкретного об’єкта a

і утворене з предиката А(х), що є умовою попередньої

імплікації, тобто це висловлення А(a).

Висновком, отриманим в результаті міркування,

проведеного за цим правилом, є висловлення, яке

стосується того самого об’єкта a і утворене з предиката

В(х), що є висновком попередньої імплікації. Отже,

правило висновку для проведення міркувань має таку логічну

структуру:

()[() ()] ()

()

∀ x ∈ M Ax ⇒ Bx ∧ Aa

B a

Його можна записати в імплікативній формі:

((∀ x ∈ M)[ A (x)⇒ B (x)]∧ A (а))⇒ B (a).

Наведемо приклад міркування, побудованого за цим

правилом:”Оскільки якщо число натуральне, то воно ціле, і

число 2 _ натуральне. Отже, число 2_ціле”.

Обгрунтуємо правильність цього міркування і запишемо його

у символічній формі. Нехай х _ довільне число з деякої числової

множини М, що є областю визначення предикатів А(х): “число х

_ натуральне” та В(х): “число х _ ціле”. Областю істинності

предиката А(х) є множина натуральних чисел, а областю

істинності предиката В(х) є множина цілих чисел, тобто TA (x)=N,

TB (x) =Z.

Оскільки T A (x) ⊂ T B (x), бо N ⊂ Z, то це означає, що

предикат В(х) логічно слідує з предиката А(х), а тому імплікація

предикатів А(х)

⇒

В(х) істинна на всій області визначення М.

Отже, перше висловлення в умові міркування записується так:

(∀ x ∈ M)[ A (x)⇒ B (x)]

“якщо число _ натуральне, то воно _ ціле”.

Друге висловлення в умові _ “число 2 _ натуральне”. Це

висловлення, утворене з предиката А(х), де х=2. Його можна

записати А(2). Висновок міркування “число 2_ ціле”_ являє собою

висловлення, утворене з предиката В(х) і записане у вигляді

В(2).

Таким чином дане міркування має таку логічну структуру:

()[ () ()] ()

()

∀ x ∈ M A x ⇒ B x ∧ A

B

2, або що те саме:

((∀ x ∈ M)[ A (x)⇒ B (x)]∧ А (2))⇒ B (2).

Отже, наведене вище міркування здійснено за правилом

висновку, а тому воно правильне.

Правильність міркування можна перевірити різними

способами, але найчастіше використовують два способи

перевірки. Перший спосіб зв’язаний із застосуванням апарату

математичної логіки і полягає в тому, що встановлюють, чи

логічна структура міркування співпадає із структурою певного

правила міркувань, чи ні (як це зроблено було вище). Для цього

дане міркування записують з допомогою кванторів і логічних

операцій над предикатами та висловленнями, а потім

співставляють одержаний запис із записами, що виражають

логічну структуру правил міркувань. Якщо логічна структура

міркування співпадає з логічною структурою одного із правил,

то дедуктивне міркування правильне. Якщо ж логічна структура

даного міркування не співпадає з логічною структурою жодного

із правил, то дане міркування неправильне.

Другий спосіб перевірки правильності міркувань

зв’язаний із застосуванням теоретико_множинної символіки

та діаграм Ейлера_Венна і полягає в тому, що міркування

записують в символах теорії множин, внаслідок чого

одержують схему міркування. Потім з допомогою діаграм

Ейлера_Венна зображають умови міркувань, вважаючи їх

істинними, на основі чого з’ясовують, чи при цьому завжди

істинний висновок. Якщо для всіх можливих діаграм

висновок міркування істинний, то стверджують, що

міркування, побудоване за виявленою схемою, правильне.

Якщо ж хоча б з однієї діаграми, яка правильно ілюструє

зв’язки між істинними умовами, випливає хибний висновок,

то стверджують, що будь_яке міркування, побудоване за

виявленою схемою, є неправильним.

Обгрунтуємо правильність вище розглянутого міркування,

побудованого за правилом висновку, з допомогою апарату

теорії множин. Для цього запишемо його в теоретико_

множинних символах. Позначимо через х довільний елемент

множини М, що є областю визначення даних предикатів А(х) та

В(х). Області істинності цих предикатів для короткості

позначимо відповідно множинами А і В (замість вище введених

символів TA(x) i TB(x)). Імплікація предикатів А(х)⇒В(х), що є

умовою міркування, виражає відношення логічного слідування,

а тому завжди істинна і з точки зору теорії множин може бути

записана так: (∀ х є М) [ х є А ⇒х є В]. А за означенням

підмножини, це означає, що множина А є власною підмножиною

множини В, тобто А⊂В.

Істинні висловлення А(а) та В(а) в символах теорії множин

можна записати відповідно так: a є А і a є В. Тому в теоретико_

множинних символах логічну структуру даного міркування

можна записати так:

А В а А

а В

⊂ ∧ ∈

∈

або

(А⊂В ∧ a є А)⇒ a є В.

Враховуючи, що області істинності предикатів

є підмножинами області визначення М, тобто

А⊂М і В⊂М, а також враховуючи умови

міркування, побудуємо діаграму:

З діаграми очевидно, що висновок а є В завжди істинний.

Отже, дедуктивне міркування, побудоване за правилом

висновку, правильне.

2) Правило заперечення. Міркування, побудоване за цим

правилом, характеризується тим, що умова його являє собою

кон’юнкцію двох висловлень. Перше з висловлень умови _ це

загальностверджувальне висловлення, яке, як і в правилі

висновку, записане символічно у вигляді імплікації двох

предикатів, між якими існує відношення логічного

слідування(перед якою стоїть квантор загальності):

(∀ x ∈ M) [ A (x) ⇒ B (x) ].

Друге висловлення стосується окремого конкретного об’єкта

а і утворене із заперечення предиката В(х), котрий є висновком

попередньої імплікації. Це висловлення записується так: В(а).

Висновок, отриманий в результаті міркування, являє собою

висловлення, яке стосується того самого об’єкта а і утворене із

заперечення предиката А(х). Його записують А(а). Отже,

міркування, побудоване за правилом заперечення, має таку

логічну структуру:

((∀ x ∈ M)[ A (x)⇒ B (x)]∧ B (a))⇒ А (а).

M

а

А

В

Структуру цього міркування можна записати й так:

(є)[ () ()] ()

()

∀ х М А х ⇒ В х ∧ В а

А а.

Наведемо приклад міркування, побудованого за цим

правилом: “Якщо десятковий запис натурального числа

закінчується цифрою 5, то число ділиться на 5. Число 27 не

ділиться на 5. Отже, десятковий запис числа 27 не

закінчується цифрою 5”.

Обгрунтуємо правильність цього міркування,

записавши його в символах математичної логіки. Нехай х

_ довільне натуральне число. Задамо на множині N

натуральних чисел предикати, з яких утворене міркування.

А(х):“Десятковий запис натурального числа х закінчується

цифрою 5”, В(х): “число х ділиться на 5”.

Через те, що областю істинності предиката А(х) є

множина тих натуральних чисел, запис яких закінчується

цифрою 5, а областю істинності предиката В(х) є множина

натуральних чисел, які діляться на 5, тобто чисел, які

закінчуються цифрою 5 або цифрою 0, то очевидно, що

ТА(х) ⊂ ТВ(х). Остання умова означає, що предикат В(х)

логічно слідує з предиката А(х), а отже, імплікація

предикатів А(х) ⇒ В(х) істинна на всій області

визначення, тобто на множині натуральних чисел. Тому

першу умову “Якщо десятковий запис натурального числа

закінчується цифрою 5, то число ділиться на 5” даного

міркування запишемо у вигляді:

(∀xєN)[A(x) ⇒ B(x)]

.

Висловлення, “ число 27 не ділиться на 5” утворене із

заперечення предиката В(х), де х=27, і записується так:

В(27)

. Висновок міркування “ Десятковий запис числа

27 не закінчується цифрою 5” являє собою висловлення,

утворене із заперечення предиката А(х), і записується так:

А(2 7). Тепер легко записати в символах математичної

логіки структуру проведеного міркування:

(є)[ () ()] ()

()

∀ x N A x ⇒ B x ∧ B

A

27.

Очевидно, що ця структура співпадає із стуктурою

міркування, проведеного за правилом заперечення. Отже,

дане дедуктивне міркування правильне.

Обгрунтуємо правильність цього міркування,

побудованого за правилом заперечення, з допомогою

теоретико_множинної символіки і діаграм Ейлера_Венна.

Перша умова “Якщо десятковий запис натурального числа

закінчується цифрою 5, то число ділиться на 5” означає, що

множина А натуральних чисел, десятковий запис яких

закінчується цифрою 5, є підмножиною множини В

натуральних чисел, які діляться на 5, оскільки елементами

множини В є натуральні числа, які закінчуються цифрою 5

або цифрою 0. Отже, цю умову можна записати так: А ⊂ В.

При побудові діаграми слід пам’ятати, що множини А і В є

підмножинами множини натуральних чисел N, тобто

А ⊂ N

і

В ⊂ N

. Друга умова “Число 27 не ділиться на 5”

означає, що елемент 27 не належить до множини чисел, які

діляться на 5, тобто до множини В.

Отже, другу умову можна записати так: 27

∈

В. Останній

запис з точки зору теорії множин слід розуміти так: якщо

деякий елемент (в нашому випадку _ 27) не належить до певної

множини (В), то він належить до доповнення цієї множини до

універсальної. В нашому прикладі: 27 є В N. Висновок

міркування “Десятковий запис числа 27 не закінчується

цифрою 5” означає, що елемент 27 не належить до множини

А, тобто 27 ∈ А. Таким чином в теоретико_ множинних

символах логічну структуру наведеного міркування, яке

виконувалось за правилом заперечення, можна записати так:

(A ⊂ B ∧27є B) ⇒ 27є А, або

А В В

А

⊂ ∧ 27

є

є.

Побудуємо діаграму Ейлера_Венна,

враховуючи виділені співввідношення між

множинами А, В, N та умови міркування:

Зауважимо, що на діаграмі елемент 27

зображається точкою, яка не належить кругу,

що зображає множину В, але належить області,

яка зображає доповнення множини В до

множини N.

N

А

B

Очевидно, що діаграма, яка відповідає схемі міркування і

побудована на основі істинності його умов, єдина. Аналізуючи

цю діаграму, легко встановити, що елемент 27 не належить до

множини А (27∉А), тобто “десятковий запис числа 27 не

закінчується цифрою 5”.Це і є висновком даного

міркування.Оскільки цей висновок істинний і єдиний, то

міркування, побудоване за правилом заперечення, правильне.

Правила силогізму.

У старогрецькій формальній логіці Арістотелем було обгрун_

товано структуру силогізмів, але не всі з них характеризують

правильні міркування. Розглянемо силогізми, які найчастіше

використовуються при обгрунтуванні математичних тверджень

та розв’язуванні задач.

В логіці Арістотеля їх називали силогізмами а)Barbara, б)Darii,

в) Celarent та інші, де голосні літери вказують на вид категоричного

судження. Наприклад, в силогізмі Barbara і умови, і висновок є

загальностверджувальними судженнями ААА.

a) Структура силогізму Barbara.

Міркування, проведене за цим правилом, характеризується

тим, що умова являє собою кон’юнкцію двох загальностверд_

жувальних висловлень, кожне з яких записується у вигляді

імплікації двох предикатів, між якими існує відношення логічно_

го слідування, та квантора загальності, що стоїть перед нею і

вказує на істинність цієї імплікації на всій області визначення.

Висловлення, які становлять умову міркування, зв’язані між со_

бою так, що висновок першої імплікації служить умовою другої

імплікації.Висновком міркування, проведеного за правилом

цього силогізму, є також загальностверджувальне висловлен_

ня, записане у вигляді імплікації, умовою якої є умова з першої

імплікації умови міркування, а висновком є висновок з другої

імплікації умови міркування. Отже, для побудови міркування за

цим силогізмом, маємо три вихідні предикати А(х),В(х),С(х),

задані на певній області визначення М, які перебувають у відно_

шенні логічного слідування, так що імплікації А(х) ⇒ В(х) і

В(х) ⇒ С(х) істинні на всій області визначення М і приймаються

за умови міркування. Висновком міркування є імплікація

А(х) ⇒ С(х), яка також виражає відношення логічного слідуван_

ня предикатів А(х) і С(х), а отже, істинна на всій області визна_

чення М. Таким чином, описаний силогізм має таку логічну

структуру:

(∀ х є М)[ А (х)⇒ В (х)]∧(∀ х є М)[ В (х)⇒ С (х)]⇒(∀ х є

або ж її можна записати у формі:

(∀хє М)[А(х)⇒ В(х)]

(∀ x ∈ M)[ B (x) ⇒ C (x)]

(∀хє М)[А(х)⇒ С(х)]

Наведемо приклад міркування, що відповідає цьому пра_

вилу силогізму: “Оскільки кожний квадрат є прямокутником,

і кожний прямокутник є паралелограмом, то кожний квадрат

є паралелограмом”.

Щоб записати це міркування в символах математичної ло_

гіки, сформулюємо спочатку умови і висновок його в

імплікативній формі, ввівши позначення. Позначимо через х

довільний опуклий чотирикутник, бо назви класів, які вхо_

дять в міркування, є різними видами опуклих чотирикутників.

Тому областю визначення предикатів, які утворюють мірку_

вання, є множина М всіх опуклих чотирикутників. Позначимо

предикати. А(х): “опуклий чотирикутник х є квадратом”, В(х):

“опуклий чотирикутник х є прямокутником”; С(х): “опуклий

чотирикутник х є паралелограмом”. Обидва висловлення в

умові міркування можна сформулювати в імплікативній

формі. Перше висловлення умови “кожний квадрат є прямо_

кутником” являє собою загальностверджувальне висловлен_

ня, яке рівносильне висловленню “якщо опуклий чотирикут_

ник х є квадратом, то він (цей чотирикутник х) є прямокутни_

ком”. Останнє висловлення має імплікативну форму, причо_

му ця імплікація предикатів істинна на всій множині опуклих

чотирикутників, а тому його можна записати, використавши

квантор загальності:

(∀хє М)[А(х)⇒ В(х)].

Оскільки область істинності предиката А(х) є підмножиною

області істинності предиката В(х), тобто в символах

ТА(х) ⊂ ТВ(х), то дана імплікація виражає відношення логічного

слідування предикатів А(х) і В(х): із предиката А(х) логічно

слідує предикат В(х).

Друге висловлення умови міркування “кожний прямокутник

є паралелограмом” _ аналогічно як і перше, являє собою

загальностверджувальне висловлення, яке рівносильне

висловленню “якщо опуклий чотирикутник х є прямокутником,

то він (цей чотирикутник х) є паралелограмом”. Останнє

висловлення має імплікативну структуру. Оскільки ця імплікація

предикатів В(х) і С(х) істинна на всій області їх визначення

(множині М опуклих чотирикутників), то її можна записати з

допомогою квантора загальності символічно так:

хє М)[В(х) ⇒ С(х)]

.

Отже, друга умова даного міркування також виражає відно_

шення логічного слідування предикатів: із предиката В(х) логіч_

но слідує предикат С(х), бо ТВ(х) ⊂ ТС(х). Висновком міркування є

також загальностверджувальне висловлення: “Кожний квадрат

є паралелограмом”, яке рівносильне висловленню, сформуль_

ованому в імплікативній формі: “Якщо опуклий чотирикутник х

є квадратом, то він (цей чотирикутник х) є паралелограмом”.

Дана імплікація виражає відношення логічного слідування пре_

дикатів А(х) і С(х), оскільки вона істинна на всій множині М опук_

лих чотирикутників, що можна записати так:

(∀ хєМ)[А(х) ⇒ С(х)]

.

З другого боку, відношення логічного слідування предикатів

А(х) і С(х) можна обгрунтувати спираючись на властивість

транзитивності відношення включення між областями істинності

даних предикатів, а саме:

ТА(х) ⊂ ТВ(х) ∧ ТВ(х) ⊂ ТС(х) ⇒ТА(х) ⊂ ТС(х)

З висновку цієї властивості виходить, що з предиката А(х)

логічно слідує предикат С(х), тобто висновок міркування є також

істинним висловленням.

Отже, логічна структура даного міркування співпадає із

структурою міркування, побудованого за правилом силогізму

Barbara, тобто має вигляд:

хє М)[А(х) ⇒ В(х)]

(∀ x ∈ M)[ B (x) ⇒ C (x)]

(∀хєМ)[А(х)⇒С(х)]

або ж (що те саме):

(∀ х є М)[ А (х)⇒ В (х)]∧(∀ х є М)[ В (х)⇒ С (х)]⇒(∀ х є М)[ А (х)⇒ С (х)]

Тому це міркування правильне.

Міркування, побудоване за правилом силогізму, можна

обгрунтувати з допомогою діаграм Ейлера_Венна, записавши

його в теоретико_множинних символах. Для цього достатньо

умову і висновок міркування записати не з допомогою кванторів,

предикатів і дій над ними, а з допомогою відношень між

множинами, які є областями істинності цих предикатів, та

зобразити ці відношення діаграмою Ейлера_Венна.

Так, замість першої умови (∀ хє М)[А (х) ⇒ В(х)] слід

записати ТА(х) ⊂ ТВ(х) або коротше,

А ⊂

В

, де А _ множина всіх

квадратів, В _ множина всіх прямокутників. Аналогічно замість

другої умови

(∀ х є М)[ В (х) ⇒ С (х)]

слід записати В⊂ С,

де С_ можина паралелограмів. Висновок даного міркування в

зв’язку із введеними символами запишеться так: А ⊂ С. Отже, в

теоретико_множинній символіці міркування, побудоване за

правилом силогізму Barbara, має вигляд:

A ⊂ B

A ⊂ B ∧ B ⊂ С ⇒ A ⊂ С або

B C

A C

⊂

Будуючи діаграму Ейлера_Венна,

пам’ятаємо, що кожна із множин А,В,С є власною

підмножиною множини М _ опуклих

чотирикутників. Остаточно діаграма приймає

вигляд:

На діаграмі заштриховано множину А, про яку стверджується

у висновку даного міркування:”Кожний квадрат є

паралелограмом”, що означає: “множина А квадратів є

підмножиною множини С паралелограмів”.

Діаграма, яка ілюструє зв’язки між класами (множинами) А,

В, С, М _ квадратів, прямокутників, паралелограмів і опуклих

чотирикутників, єдина. А отже, міркування, побудоване за

схемою, що відповідає цій діаграмі, тобто за правилом

силогізму Barbara, правильне.

б) Структура силогізму Darii.

Міркування, проведене за правилом силогізму Darii,

характеризується тим, що умова його являє собою кон’юнкцію

двох висловлень, перше з яких _ загальностверджувальне

висловлення типу:”Кожний М є Р, а друге _

М

А

В

С

частковостверджувальне висловлення: “Деякі S є М”. Висновком

міркування є також частковостверджувальне висловлення: “Деякі

S є Р”.

В символічній формі структуру цього міркування можна

записати різними способами:

1) Кожний М є Р або 2) (∀ х є Х)

[хєМ ⇒ хєР ]

Деякі S є М (∃ х є Х)[х є S ∧ х є М]

Деякі S є P (∃ х є Х)[х є S ∧ х є P ]

або 3)

(∃ х є Х)[ М (х)⇒ Р (х)]∧(∃ х є Х)[ S (х)∧ М (х)]⇒(∃ х є Х)[ S

Враховуючи неоднозначність змісту квантора “деякі” у

висловленнях, які є в умові та висновку даного міркування,

побудованого за правилом силогізму Darii, одержимо

відповідно до цього неоднозначні діаграми, які ілюструють

зв’язки між класами М, Р, S.

Але при істинних умовах міркування в кож_

ному випадку дістаємо істинні висновки, що

свідчить про правильність міркування. Отже,

якщо термін “деякі” розуміти в значенні “тільки

деякі”, то діаграма, яка ілюструє правило си_

логізму має вигляд:

На діаграмі області Х відповідає область визначення всіх

предикатів, з яких утворене міркування; областям М,Р, S _

відповідно області істинності предикатів М(х), Р(х), S(х), а

заштрихована область зображає клас тих об’єктів, які

відповідають висновку міркування. При цьому очевидно, що

перша частина умови міркування виражає відношення включення

між класами М і Р (М⊂P), бо загальностверджувальне висловлення

ілюструється єдиною діаграмою. Другій частині умови _

(∃ х є Х)[ S (х)∧ М (х)]_ на діаграмі відповідає спільна

частина кругів S і М, тобто клас, який містить “тільки деякі”

елементи з класу S і “тільки деякі” елементи з класу М.

Аналогічно висновок (∃ х є Х)[ S (х)∧ Р (х)]на діаграмі

зображається спільною частиною кругів S і Р (заштрихована

область), тобто клас, який містить “тільки деякі” елементи з

множини S і “тільки деякі” елементи з множини Р.

Якщо ж другу частину умови міркування _ (∃ х є Х)[ S (х)∧ М (х)]

розуміти так: “тільки деякі” елементи класу S є елементами класу

P

М

S

X

М, але при цьому клас М вичерпується ними,

то діаграма матиме вигляд:

Висновок (∃ х є Х)[ S (х)∧ Р (х)]

ілюструється на діаграмі заштрихованою

областю, яка складається “тільки з деяких”

елементів класів S і Р.

При такому самому трактуванні другої частини умови міркування

“тільки деякі” елементи класу S є елементами класу М можна одержати

діаграму іншого виду, згідно якої висновок

міркування (∃ х є Х)[ S (х)∧ Р (х)] слід

розумітивзначенні:“деякіелементизкласуS(що

невиключаєможливості“всіелементизкласуS”)

є елементами класу P”. Діаграма має вигляд:

Заштрихованій на діаграмі області відповідає клас тих

об’єктів, які характеризуються висновком міркування.

Якщо ж другу частину умови міркування

_ (∃хєХ)[S(х)∧М(х)] розуміти в значенні

“деякі елементи класу S” (що не виключає

можливості “всі елементи класу S”) є

елементами класу М, то діаграма, яка

ілюструє дане міркування, прийме вигляд:

Заштрихована область на діаграмі відповідає висновку

міркування.

Таким чином у кожному з чотирьох випадків ілюстрування

міркування, побудованого за правилом силогізму Darii, одер_

жуємо істинний висновок, що свідчить про правильність вико_

наного міркування.

Наведемо приклад міркування і обгрунтуємо його пра_

вильність. “Оскільки всі круглі числа _ парні, і деякі числа, кратні

3, _ круглі, то деякі числа, кратні 3, _ парні”.

Переконаємось, що це міркування побудоване за правилом

силогізму Darii. Для цього запишемо його в символах матема_

тичної логіки. Виділимо предикати, з яких утворене міркування,

і вкажемо їх область визначення. Оскільки поняття парного, круг_

лого числа та числа, кратного трьом, зв’язані з відношенням

подільності, яке має зміст на множині натуральних чисел N, то,

очевидно, що областю визначення всіх предикатів є множина N

Х

P

S M

X

М

S

P

X

S

M

P

натуральних чисел. Нехай х _ довільне натуральне число, тобто

елемент множини N (х є N).

Введемо позначення: А(х): “число х _ кругле”;

В(х): “число х _ парне”; С(х): “число х_ кратне трьом”.

Перша частина умови даного міркування “всі круглі числа _

парні“ є істинне загальностверджувальне висловлення, яке

рівносильне висловленню: “Якщо довільне число _ кругле, то

воно _ парне”, а тому може бути записане в імплікативній формі:

(∀ х єХ)[А(х)⇒В(х)]. Оскільки ця імплікація істинна на всій

області визначення, то вона виражає відношення логічного

слідування предикатів, а отже, відношення включення між їх

областями істинності: ТА(х)⊂ТВ(х).

Друга частина умови даного міркування “Деякі числа, кратні

трьом, _ круглі” являє собою істинне частковостверджувальне

висловлення, причому термін “деякі” тут слід розуміти в значенні

“тільки деякі”, тому що серед чисел, кратних трьом, є круглі

числа, але не всі круглі числа _ кратні трьом. Іншими словами

“існують натуральні числа, які є одночасно круглі і кратні трьом”,

що символічно можна записати з допомогою квантора

існування та операції кон’юнкції предикатів:

(∃х є N)[C(х)∧А(х)].

Область істинності цієї кон’юнкції дорівнює перерізу

областей істинності складових предикатів:

ТС(х) ∧ А(х) = ТС(х) ∩ТА(х).

Висновок даного міркування _ “Деякі числа, кратні трьом,_

парні”_також являє собою істинне частковостверджувальне

висловлення, яке записується з допомогою квантора існування

та кон’юнкції предикатів: (∃х є N) [C(х)∧В(х)]. Термін “деякі” тут

також слід розуміти в значенні “тільки деякі”, бо справді існують

натуральні числа, які одночасно кратні трьом і парні, але не всі

числа, які кратні трьом, є парними, так само, як і не всі парні

числа є кратними трьом. Це означає, що області істинності

прадикатів С(х) та В(х) перебувають у відношенні часткового

включення або перерізу: ТС(х) ∩ТВ(х).

Отже, в символах математичної логіки дане міркування

можна записати так:

а) (∀ х є N) [А(х)⇒В(х)] ∧ (∃х є N) [C(х)∧А(х)] ⇒

⇒(∃х є N) [C(х)∧В(х)], або ж у вигляді:

б)(∀ х єN) [А(х)⇒В(х)] чи в) Кожний А є В

(∃х єN) [C(х)∧А(х)] Деякі С є А

(∃х єN) [C(х)∧В(х)] Деякі С є В,

де через А, В, С позначено класи, об’єкти з яких

характеризуються відповідними предикатами. Отже, структура

даного міркування співпадає із схемою міркування, проведеного

за правилом силогізму Darii, а тому дане міркування правильне.

Враховуючи виявлені співвідношення між

областями істинності предикатів, які є

умовами міркування, можна побудувати

діаграму Ейлера_Венна, яка ілюструє дане

міркування, і переконатись в істинності

висновку, а отже, в правильності

побудованого міркування. Діаграма має

вигляд:

На діаграмі заштриховано клас тих чисел, які

охарактеризовані у висновку міркування, тобто тих чисел, які

одночасно кратні трьом і парні. Діаграма одночасно ілюструє

зв’язки між класами, а отже, дедуктивне міркування правильне.

в) Структура міркування, утвореного частковоствер)

Джувальними висловленнями.

Міркування, проведене за правилом цього силогізму,

характеризується тим, що його умова являє собою кон’юнкцію

двох істинних частковостверджувальних висловлень, а

висновком є також частковостверджувальне висловлення.

Структура цього міркування в символах математичної логіки

така:

1) (∃х єХ) [М(х)∧Р(х)]

(∃х єХ) [S(х)∧М(х)] або ж така:

(∃х єХ) [S(х)∧Р(х)]

2) (∃х є Х)[М(х)∧Р(х)]∧(∃х єХ) [S(х)∧M(x)] ⇒ (∃х єХ) [S(х)∧Р(х)]

або

3) Деякі М є Р

Деякі S є М

Деякі S є Р.

Оскільки термін “деякі” має неоднозначний зміст, то перевірка

правильності цього міркування з допомогою теоретико_

множинного апарату вимагає побудови діаграм Ейлера_Венна

для всіх можливих випадків трактування цього терміну.

N

B

C A

1)Якщо термін “деякі” вживати в розумінні “тільки деякі” в

усіх трьох складових висловленнях, які становлять міркування,

то співвідношення між класами М,Р,S, які з точки зору

математичної догіки означають області істинності відповідних

предикатів, можна зобразити такими діаграмами:

Діаграма а) побудована з врахуванням істинності тільки умов

міркування та з припущення, яке суперечить висновку, тобто з

припущення, що класи S і Р можуть не мати спільних елементів.

Очевидно, що ця діаграма приводить до висновку “Жодний S

не є Р”. А тому цей випадок вилучаємо з розгляду. Діаграма б)

побудована з врахуванням істинності умов міркування та

можливості попарного перерізу всіх класів М,Р,S. Область,

заштрихована на цій діаграмі, відповідає висновку міркування і

зображає ті елементи з класу S, які належать і до класу Р.

Дана діаграма б) побудована на основі аналізу структури

міркування, записаного в символах математичної логіки.

Зауважимо, що можливе виконання обернених завдань: за

даною діаграмою, яка ілюструє певне міркування, записати

символічно структуру цього міркування. Запишемо в теоретико_

множинних символах структуру міркування, проілюстрованого

діаграмою б):

(∃х єХ) [х єМ∧х єР]

(∃х є Х) [х єS∧х єМ]