Задача 6 (см. Теоретическое введение 5 стр. 32-35 )

.

 

(r ₁ или r ₂). Тогда

 

ЗАДАЧА 7 (См. теоретическое введение 5 стр. 32-35)

 

 

ЗАДАЧА 8 (См. теоретическое введение 5 стр. 32-35)

 

 

 

 

ЗАДАЧА 9 (См. теоретическое введение 6 стр. 37-40)

 

ЗАДАЧА 10 (См. теоретическое введение 6 стр. 37-40)

 

 

РЕШЕНИЕ

 

 

ЗАДАЧА 11 (См. теоретическое введение 6 стр. 37-40)

 

 

ЗАДАЧА 12 (См. теоретическое введение 7 стр. 42-45)

ЗАДАЧА 13 (теоретическое введение См. стр.)

 

 

 

 

 

Теоретическое введение 1

§1. Закон Кулона. Принцип суперпозиции.

Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях рассматриваемой задачи.

Взаимодействие в вакууме (рис.1) двух неподвижных точечных зарядов q и Q называется электростатическим и описывается законом Кулона

,                                       (1.2)

где r - расстояние между частицами с зарядами q и Q, находящимися в вакууме,  - радиус - вектор, направленный к частице, на которую действует сила , из точки, где находится другая частица, e ₀ = 8,85×10^-12 Кл²/(Нм²) - электрическая постоянная.

Сила взаимодействия между точечными электрическими зарядами, находящимися в какой-либо среде, уменьшается и с учётом этого (1.2) принимает вид

,                                       (1.3)

где  - диэлектрическая проницаемость среды. Безразмерная физическая величина  показывает во сколько раз кулоновское взаимодействие между двумя точечными электрическими зарядами в данной среде меньше, чем в вакууме. Подробнее величина  обсуждается в уччебниках.

 

 

Для электромагнитного взаимодействия справедлив принцип суперпозиции: сила, действующая на точечный заряд со стороны системы точечных зарядов, равна векторной сумме сил действующих на него со стороны каждого из зарядов по отдельности.

Использование закона Кулона и принципа суперпозиции позволяет в принципе рассчитать электростатическое взаимодействие любых произвольно заряженных объектов.

 

Рис.1.1

 

§2. Напряженность электрического поля в вакууме.

Поле точечного заряда. Принцип суперпозиции для

Напряженности поля.

 

Взаимодействие между зарядами осуществляется через электромагнитное поле, которое создается самими зарядами. Поле проявляет себя в том, что помещенный в него заряд испытывает действие силы. Опыт показывает, в вакууме сила, действующая на заряд, пропорциональна величине заряда

= q  ,                                                (2.1)

где коэффициент , называемый напряженностью  поля, служит для количественного описания электрического поля.

Из (2.1) следует способ определения величины напряженности  в данной точке пространства по величине силы , действующей на пробный точечный заряд q,

  = / q,                                                (2.2)

Если выбрать пробный заряд единичным q =+1, то вектор  совпадает и по величине и по направлению с силой, действующей на заряд.

Электростатика изучает поля, создаваемые неподвижными заряженными телами. Такое электромагнитное поле называют  электростатическим. Его характеристики не изменяются со временем т.е.   = (). Если вектор  не зависит также и от координат, то = const и поле называют однородным. Экспериментально получено, что напряженность  не зависит от величины и знака точечного заряда q в (2.2), поэтому силу, действующую на любой точечный заряд, находящийся в электрическом поле, можно вычислить по формуле

  = q .                                           (2.3)

Единицей измерения напряженности поля в СИ служит 1 Н/Кл =1 В/м.

Если записать силу, действующей на точечный заряд q, в виде (1.3) и в виде (2.3) и приравнять выражения, то получим 

,                                       (2.4)

где  - вектор напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q, в т.А на расстоянии r от него,  - радиус - вектор, проведенный из точки, в которой находится заряд, в точку пространства, где определяется вектор .

Модуль вектора напряженности поля точечного заряда Q на расстоянии r от него

E = .                                           (2.5)

Вектор напряженности данного поля в любой точке направлен вдоль прямой, соединяющей эту точку и заряд (рис.2.1).

 

 

Рис.2.1.

 

 

                                  

Для напряженности поля, так же как и для сил, справедлив принцип суперпозиции: напряженность поля, создаваемого любым числом точечных зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых в рассматриваемой точке пространства каждым зарядом в отдельности

  = .                                           (2.6)

§3. Применение принципа суперпозиции для расчёта полей.

 

Формулы (2.4) и (2.6) позволяют в принципе рассчитать напряженность электрического поля любой системы зарядов Q ₁... Q_n, если известны их положения ₁... _n.

Непрерывное распределение зарядов по объему V заряженного тела, полный заряд которого q, характеризуют объемной плотностью заряда   r = , где dq - заряд, заключенный в малом объеме dV. Тогда

dq =r dV и r dV                                  (3.1)

Если тело заряжено по объему V равномерно, то r = const и полный заряд тела q = r V.

При непрерывном распределении заряда по поверхности S тела рассматривается поверхностная плотность заряда s = , где dq - заряд, находящийся на малом элементе dS. Тогда

dq =s dS и s dS                                (3.2)

Если тело заряжено по поверхности равномерно то s = const и полный заряд тела q = s S.

Непрерывное распределение зарядов вдоль тонкого стержня (“линии, нити”) характеризует линейная плотность заряда t = , где dq - заряд, заключенный на малом отрезке dl. Тогда

dq =t dl и .                                 (3.3)

В случае непрерывного распределения зарядов заряженное тело мысленно разбивается на малые части (dV  , dS или dl) с зарядами dq, поле каждого из которых рассматривается как поле точечного заряда. Сложение напряженностей поля (рис.3.1) таких зарядов сводится к интегралам вида

                                             (3.4)

.

Рис.3.1.

В частности, для величины напряженности поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити получается выражение

 

;                       (3.5)

напряженность электрического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости -

  = ,              (3.6)

где s - поверхностная плотность заряда,  - единичный вектор, перпендикулярный плоскости (рис.3.2).

 

Рис.3.2

 

Для наглядного изображения поля используют силовые линии. Силовая линия электрического поля - линия, касательная к которой в каждой точке поля совпадает с напряженностью   в этой точке. Силовые линии электростатического поля не замкнуты, они начинаются на положительных зарядах, заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность и нигде не пересекаются.

 

Решение задач

 

 

ЗАДАЧА 1

 

ЗАДАЧА 2

 

Теоретическое введение 2

 

§4. Работа в электростатическом поле. Разность потенциалов. Потенциал электрического поля. Связь потенциала с напряжённостью поля. Принцип суперпозиции для потенциала.

Электростатические силы являются потенциальными - их работа А ₁₂по перемещению частицы с зарядом q из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории, определяется только начальным и конечным положением частицы и пропорциональна величине q перемещаемого заряда.

По определению разностью потенциалов j1 - j2    между точками 1 и 2 называют отношение работы, совершаемой силами поля при перемещении электрического заряда q, к величине этого заряда q j1 - j2= A 12/ q.                                      (4.1)

Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому (отражено кружком на значке интеграла) пути L равна нулю, т.е.

,                                          (4.2)

где dA = - элементарная работа сил поля на перемещении (помним?, что интеграл по смыслу просто сумма элементарных, т.е. малых величин). Силовое поле, обладающее свойством (4.2), является потенциальным. Подставив dA в (4.2), получим

(4.3)

 

Интеграл    называется циркуляцией вектора напряженности.

Силовое поле E, циркуляция которого равна нулю, является в силу (4.2) также потенциальным.

Величина работы A ₁₂   сил поля, равная по (4.1)

A ₁₂ = q (j₁ - j₂),                                       (4.4)

равна, с другой стороны, убыли потенциальной энергии частицы в потенциальном поле сил

А ₁₂ = -Δ W _n= W _n1 - W _n2.                               (4.5)                                          

Из (4.4) и (4.5) следует связь потенциала с потенциальной энергией W_n заряда q в этой точке

.                                          (4.6)

Введенное понятие разности потенциалов (4.1) и связь (4.6) потенциала j с потенциальной энергией W_n не дают однозначного определения j, так как добавление к j любой постоянной величины не изменяет разности потенциалов (и работы), а W_n принципиально задана с точностью до некоторой постоянной. Разность же потенциалов (4.1) определена однозначно, так как при вычитании постоянная сокращается. Если выбрать точку и задать в ней значение j, то после этого потенциал в любой другой точке поля будет иметь определенное значение. Для заряженных тел, занимающих ограниченный объем, удобно считать потенциал равным нулю на бесконечном удалении от зарядов.

Единицей измерения потенциала (и разности потенциалов) является 1 вольт (1 В = 1 Дж/Кл).

Работа по перемещению точечного положительного заряда q из одной точки поля в другую вдоль оси х на элементарное расстояние  равна q . С другой стороны, эту работу можно выразить через разность потенциалов на концах отрезка : q () =- q . Приравнивая оба выражения для работы, получим , откуда связь потенциала с напряженности электростатического поля имеет вид

(4.7)

            

где частная производная соответствует дифференцированию только по перемещению по оси х  (рис.4.1). Найдя по аналогии с (4.8) проекции вектора  на оси y и z, можно записать

                               (4.8)                    

 

Рис.4.1

где  единичные векторы координатных осей x, y и z.

В математике вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции П, называется градиентом (обозначается ) и формулу (4.8) записывают в виде

                                         (4.9)

т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала со знаком «минус». Это означает, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону убывания потенциала.

Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называется эквипотенциальной поверхностью. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям и направлены в сторону уменьшения потенциала. При перемещении d х по эквипотенциальной поверхности d j = 0 и по (4.8) Е_х = 0, т.е. вектор  не имеет составляющей, касательной к эквипотенциальной поверхности. В однородном электрическом поле эквипотенциальные поверхности представляют собой параллельные плоскости, пересекаемые под прямым углом силовыми линиями.

 В этом случае                                                             (4.10)

где U = j₁ - j₂, d - расстояние между эквипотенциальными поверхностями с потенциалами j₁ и j₂.

Напряженность  электростатического поля в объеме и на поверхности проводника равна нулю =0, тогда по (4.7) и d j = 0 и потенциал во всех точках проводника постоянен: объем и поверхность проводника всегда эквипотенциальны.

По напряжённости поля точечного заряда Q и (4.7) находим потенциал на расстоянии r от заряда

(4.11)

при этом считаем, что j ® 0 при r ® ¥.

Для потенциала справедлив принцип суперпозиции: потенциал поля, создаваемого любым числом точечных зарядов, равен сумме потенциалов полей, создаваемых в рассматриваемой точке пространства каждым зарядом в отдельности

                                          (4.12)

Формулы (4.11) и (4.12) позволяют в принципе рассчитать потенциал поля любой системы зарядов, занимающей ограниченный объем:

.                          (4.12а)

Рассуждения, поясняющие метод вычислений, совершенно аналогичны приведенным в § 2, следует лишь заменить в них величину вектор Е на скаляр j.

Связь напряженности и потенциала (4.7) - (4.9) используется в ряде случаев для расчета потенциала. В частности, вычисление потенциала поля заряженной с поверхностной плотностью s бесконечной плоскости на расстоянии х от нее даёт

.                                     (4.13)

Если положить j = 0 при х = 0, то const = 0.

На практике сначала вычисляют потенциал j, а затем по (4.7) находят проекции поля на оси выбранной системы координат.

Решение задач

ЗАДАЧА 3

3. Кольцо радиусом R = равномерно заряжено с линейной плотностью t Определить потенциал j точки, лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, восставленном из центра кольца, отстоящей на расстоянии h от его центра.

Решение. Разобьём кольцо на элементарные точечные заряды d q. Запишем потенциал точечного заряды d q в т. А. По (4.11)

По теореме Пифагора . Тогда

 

 ,

а потенциал, создаваемый всеми зарядами d q кольца L в т. А на перпендикуляре по  (4.11) (4.12а), равен      

 

где все величины в интеграле постоянные (кроме d q) и их можно вынести за знак интеграла

.

 

Интеграл   просто равен заряду полному q кольца q = t ∙ L = t ∙ 2 πr. Окончательно

 

Теоретическое введение 3

§5. Поток вектора напряжённости. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.

 

Выделим на поверхности S малый элемент dS (рис. 5.1). Пусть n - еди­ничный вектор нормали к dS, a j угол между векторами Е и n. При вычислении некоторых поверхностных интегралов оказывается удобным предста­вить дифференциал поверхности в векторной форме. По определе­нию, вектором элемента площади  называется dS × n, а элементарным потоком d Ф вектора Е через площадку dS

d Ф = (Е d S) = (E n) dS = E cosj dS.      (5.1)

Также по определению, потоком вектора Е

Рис. 5.1              через поверх­ность S называется поверхностный

                            интеграл

.                                          (5.2)

В случае замкнутой поверхности (рис. 5.1) поток (5.2)

                                        (5.3)

В качестве нормали выбирается внешняя нормаль к поверхности.

Пусть точечный заряд q окружен произвольной замкну­той поверхностью S. Напряжённость электростатического поля Е в любой точке поверхности направлена вдоль радиус-вектора данной точки и вычисляется в соответствии с законом Кулона (2.4). В пределах малой площадки dS напряжённость электростатического поля можно считать постоянной. Вычислим поток (3) вектора Е через замкну­тую поверхность.

.                                  (5.4)

В случае, когда поверхность S сферическая с центром в точке нахождения заряда q, вектора  и совпадают по направлению и , а величина поля Е (2.4) одинакова по всей поверхности. Тогда вычисление интеграла (1.8) упрощается

.                   (5.5)

 

Результат вычисления потока (5.3) вектора Е через произвольную замкну­тую поверхность также оказывается равным (5.5), т.е.

.                                              (5.6)

Кроме того, если внутри поверхности находятся несколько точечных зарядов, то в правой части (5.6) под q следует понимать алгебраическую сумму зарядов внутри поверхности

.                                            (5.7)

Если внутри поверхности находится заряд, распределённый по объёму с плотностью r, то суммарный заряд, внутри поверхности равен  и (5.7) для этого случая запишется

.                                           (5.8)

Уравнения (5.6) - (5.8) представляют собой выражения теоремы Гаусса для электростатического поля в вакууме:

поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкну­тую поверхность равен отношению алгебраической суммы зарядов внутри поверхности к электрической постояннойe ₀.

Теорема Гаусса может быть использована для вычисления напряжённости электростатического поля. Однако используется она в основном для случаев симметричного распределения зарядов, когда вычисление интегралов в правой части (5.6) - (5.8) достаточно простое.

Из уравнения  (5.8) можно получить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет поле Е

.                                        (5.9)

Уравнение (5.9), в отличие от уравнений (5.6) - (5.8), позволяет вычислить поле любой системы зарядов.

 

Решение задач

ЗАДАЧА 4.

4. Вычислить поле Е равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда s.

РЕШЕНИЕ.

 

Применим теорему Гаусса для определения напряженности поля равномерно заряженной бесконечной плоскости. В этом случае ее поверхностная плотность заряда

одинакова в любом месте плоскости. Это означает, что линии напряженности перпендикулярны плоскости в любой точке, т.е. поле заряженной плоскости однородно (рис. 1.12).

Мысленно выделим в пространстве цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости и одно из оснований проходит через интересующую нас точку. Согласно теореме Гаусса,

С другой стороны, так как линии напряженности пересекают только основания цилиндра, поток вектора  можно выразить через напряженность электрического поля у обоих оснований цилиндра, т.е.

Тогда

откуда

                                        (1.26)

Приведем (без вывода) выражения для расчета напряженности электростатического поля, создаваемого разноименно заряженными параллельными бесконечно протяженными плоскостями (поле плоского конденсатора)

                                            (1.27)

Теоретическое введение 4

§7. Электрический диполь.

 

В состав молекул вещества входят заряженные частицы, но в целом они нейтральны. Молекула, в которой «центр тяжести» отрицательных зарядов (электронов) совпадает с «центром тяжести» положительных зарядов (протонов в атомных ядрах), называется неполярной. Если «центры тяжести» не совпадают - молекула называется полярной. Полярная молекула является примером электрического диполя. По определению, электрическим диполем называется система, состоящая из двух точечных электрических зарядов q ₊> 0 и q ₋< 0, расстояние l между которыми мало по сравнению с расстояниями r от этой системы до рассматриваемых точек пространства (рис. 7.1). Плечом диполя называется вектор l, направленный от отрицательного заряда к положительному, равный по модуля расстоянию между зарядами. Электрическим моментом диполя  называется произведение положительного заряда на плечо диполя:

                                                    (7.1)

Очевидно, при наличии поля электрический момент возникнет и у неполярных молекул, а у полярных он увеличится.

 

§6. Проводники и диэлектрики.

 

Все вещества по способности проводить электрический ток подразделяют на проводники и диэлектрики. Удельное сопротивление ρ _Д диэлектриков на много порядков больше чем ρ _П проводников: ρ _Д~  Ом·м, тогда как у металлических проводников ρ _М~  Ом·м. По этому признаку легко отличить диэлектрики от проводников. Различие в сопротивлении обусловлено большим количеством свободных зарядов в проводниках (электронов или ионов), способных под действием электрического поля приходить  в упорядоченное движение и перемещаться на значительные расстояния. В атомах и молекулах диэлектриков тоже есть заряженные частицы – электроны и протоны, но они связаны кулоновскими силами притяжения так прочно, что в отсутствии ионизации они могут лишь незначительно сместиться под действием электрического поля друг относительно друга. Поэтому заряды в молекулах диэлектрикахназывают связанными и обозначают со штрихом (q ´). С точки зрения способности создавать электрическое поле свободные и связанные заряды неразличимы.

§10. Диэлектрики в электрическом поле.