Модели для вычисления источниковых членов в уравнениях переноса

Между каплями и окружающей средой постоянно происходит обмен импульсом, телом и массой. Из уравнений, описывающих этот обмен, вычисляются источниковые члены , ,  , используемые для описания взаимодействия фаз в уравнениях (1-4).

Модель обмена массой между каплей и окружающей средой

Для описания обмена массой между капелями и окружающей средой в решателе sprayFoam была выбрана модель liquidEvaporation. Расчёт такого обмена также представлен в работе [8]. Ключевым параметром модели является время жизни капли или время от момента её возникновения до момента её исчезновения в результате испарения, описываемое следующим уравнением:

(17)

где  – плотность капли, кг/м³;  – диаметр капли, м;  – коэффициент молекулярной диффузии, м²/с;  – плотность пара, кг/м³;  – массовая доля пара на поверхности капли;  - массовая доля пара на удалении от капли; – число Шервуда, определяющее отношение конвективного переноса к диффузии и вычисляемое по следующему соотношению:

(18)

где  – число Рейнольдса и число Шмидта для паровоздушной фазы.

Изменение диаметра капли с течением времени подчиняется следующему соотношению:

(19)

Из подмодели испарения капли liquidEvaporation рассчитывается источниковый член для уравнения неразрывности и переноса массы компонента, описанных выше.

Модель обмена импульсом между каплей и окружающей средой

Применение вероятностного подхода даёт следующее уравнение движения капли без учёта деформации капель, также представленных в [40]:

(20)

где  вероятное количество капель в единице объёма в заданном положении , данном времени , изменении радиуса капли от  до , температуры и скорости от  до  и от  до ; ,  – источниковые члены уравнения, отражающие распад капель и их столкновение соответсвенно и получаемые из модели вторичного распада струи, представленной ниже.

В рамках решателя sprayFoam движение Лагранжевой частицы в системе отсчёта Эйлера описано с помощью второго закона Ньютона:

(21)

где  – импульс капли, кг/(м·с);  – силы, действующие на каплю, Н.

 В случае струйных течений в камере сгорания двигателей, в основном за счёт очень малого размера капель, на частицы действует одна главная сила – сила аэродинамического сопротивления [39]. Таким образом уравнение движение капли с тем допущением, что изменение массы капли не влияет на коэффициент сопротивления воздуха, в нашем случае примет следующий вид:

(22)

где  – скорость капли;  – коэффициент аэродинамического сопротивления, который определяется по следующим соотношениям:

(23)

где  – число Рейнольдса для капли.

По данной модели вычисляется источниковый член  для уравнения сохранения импульса (3).

Отслеживание частиц в решателе sprayFoam начинается от центра ячейки, к которой принадлежит частица и происходит по следующему алгоритму:

1. Частица перемещается пока не достигнет границы ячейки, или в течение всего заданного временного шага;

2. Если частица меняет ячейку, вычисляется время, необходимое для перемещения из первой ячейки, и обновляются параметры частицы (положение, скорость, масса и т. д.);

3. Добавляется источниковый член  в уравнение сохранения импульса для предыдущей ячейки.

4. Если заданное время шага ещё не закончилось, что алгоритм повторяется.  

Такой алгоритм даёт возможность не пропускать ячейки.

Модель теплообмена между каплей и окружающей средой

Теплообмен между каплей и окружающей средой происходит путём конвекции и испарения с поверхности капли. Подразумевается, что градиент температуры внутри капли отсутствует [39,42]:

(24)

где , – температура капли и паровоздушной смеси, К;  – теплопроводность паровоздушной смеси, Вт/(м·К);  – удельная теплоёмкость жидкости, Дж/(кг·К);  – теплота парообразования, Дж/кг.

Из данной подмодели вычисляется источниковый член для уравнения сохранения энергии (13).

Модели первичного и вторичного распада струи

Модель первичного распада струи в моделировании отсутствует, так как первичный распад предполагает распад жидкой колонный на жидкие связки, а затем на капли. В нашем случае струя выходит от сопла уже в виде мелких капель, что подтверждается экспериментом.

Вторичный распад описывается эмпирической моделью KHRT (Kelvin-Helmholtz-Rayleigh-Taylor) [45], которая подтвердила свою эффективность для описания вторичного распада струй при условиях близких к условиям в камере сгорания ДВС [35-36]. Модель описывает два режима распада струи КН (распад капель у сопла инжектора) – распад, учитывающий неустойчивые волны, растущие в струе жидкости из-за разницы скоростей между газом и жидкостью; и RT – распад, учитывающий волны, растущие на поверхности капель из-за ускорения, нормального к границе раздела капля-газ. Модель также учитывает столкновение и слияние капель.

Модель распределения капель по размерам описать подробнее

Распределение капель по размерам при выходе струи из сопла инжектора описывалось с помощью функции распределения Розина-Рамлера:

(25)

где  – массовая доля капель, диаметром больше d, -;  – диаметр капли, м;  – средний диаметр капель, м;  – параметр распределения модели.

К константам модели, задаваемым пользователям относятся: средний, максимальный и минимальный диаметр капель, а также параметр распределения модели. Минимальный, максимальный и средний диаметры капель зависят от теплофизических свойств и температуры впрыскиваемого топлива, от типа инжектора и давления впрыска. Кроме того, распределение капель по размерам задаётся прямо на выходе из сопла инжектора. В идеальном случае, чтобы задать распределение капель по размерам необходимо измерить диаметры капель на выходе из сопла инжектора для конкретного топлива при необходимом давлении впрыска и температуре топлива, а затем на основании этих измерений найти параметр распределения модели. Измерение каких-либо параметров струи на расстоянии менее 8 мм от сопла инжектора является крайне сложной технической задачей в связи с высокой скоростью и оптической плотностью струи. В отсутствие технической возможности данные параметры были заданы на основании похожих измерений, проведённых на кафедре Технической термодинамики университета Фридриха-Александра, где также проводились экспериментальные исследования для данной диссертационной работы [], а также исследований, представленных в работах []

Таблица 6 – Значения параметров для модели Розина-Рамлера

Параметр	Значение
	25·10^-6
	5·10^-6
	100·10^-6
n	3[ТЗ38]

Дополнительно задаваемые параметры

Помимо описанных выше параметром были дополнительно заданы следующие параметры:

· Геометрия сопла инжекторы – коническое сопло с острой кромкой, т. к. оно использовалось в эксперименте.

· Расположение инжектора и направление впрыска – согласно геометрии и сетке, представленными ниже;

· Время впрыска и шаг записи результатов моделирования – согласно эксперименту 3,3·10^-3 с;

· Шаг записи результатов моделирования – согласно шагу фотографирования в эксперименте 50·10^-6 с;

· Массовый расход топлива при впрыске – согласно техническим параметрам используемого инжектора 2,02·10^-3 кг/с;

· Угол раствора струи – согласно данным [10] для двухфазных струй 11,5°

Количество частиц – согласно вычислительным возможностям компьютера и адекватностью получаемых данных 20 млн частиц в секунду.

4.2 Геометрия и сетка, критерий Куранта-Фридриха-Леви [ТЗ39]

Геометрия модели создавалась в соответствии с параметрами канала из органического стекла экспериментальной установки (см. рисунок [ТЗ40]). На Рисунок 29 изображена схема геометрии модели. Расчётная область представляет собой прямоугольник высотой 70 мм и шириной 70 мм. Длина расчётной области варьируется в зависимости от скорости сносящего потока в соответствии с данным, представленными в таблице 1. Необходимость удлинять расчётную область вызвана отклонением струи под воздействием сносящего потока. Вход в расчётную область – грань ABFE; выход – грань DCIG; стенки – грани АВСВ, BFIC, EFIG, AEGD. Расположение инжектора обозначено точкой О с координатами {0, 70, 0}, т. е. точку начала отсчёта системы координат можно найти, опустив перпендикуляр из точки расположения инжектора на нижнюю грань расчётной области. Впрыск производится перпендикулярно вниз.

Рисунок 29 – Схема геометрии модели в OpenFOAM

Параметры сетки подбирались таким образом, чтобы обеспечить компромисс между продолжительностью вычислений и точностью расчёта. Тёмной заливкой на Рисунок 29 обозначена область мелкой сетки, светлой – область крупной сетки. Ширина области мелкой сетки, как и длина расчётной области, варьируется в зависимости от скорости сносящего потока (Таблица 7) с условием попадания в неё 90% отслеживаемых частиц. Ячейки в области мелкой и крупной сетки имеет кубическую форму, и длина их граней составляет 0,5 мм и 1 мм соответственно.

Таблица 7 - Параметры сетки в зависимости от скорости сносящего потока

Скорость сносящего потока, м/с	Длина расчётной области, мм	Ширина области мелкой сетки, мм
0	70	30
5	70	30
15	80	24
30	100	28
50	120	30

OpenFOAM использует в качестве необходимого условия устойчивости явного численного решения критерий Куранта-Фридриха-Леви (критерий КФЛ):

(26)

где  – скорость переноса;  – временной шаг;  – пространственный шаг.

Вычислительная схема не может корректно обсчитывать распространение физического возмущения, которое в реальности движется быстрее, чем вычислительная схема позволяет его отслеживать. Таким образом, пользователь должен всегда контролировать значение критерия КФЛ. В общем случае он всегда должен быть меньше 1, а в случае струйных течений меньше 0,3.