Тема «тригонометрические уравнения И неравенства»

Тема «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА»

 

 

 

Структура рабочей тетради соответствует структуре учебного пособия; уровень заданий соответствует требованиям, предъявляемым федеральной программой к уровню математической подготовки обучающихся; система заданий дополняет и расширяет систему заданий учебника.

Данная рабочая тетрадь разработана с учётом того, что в рабочей программе дисциплины «математика» на тему «Тригонометрические уравнения и неравенства» отводится 20-26 часов.

Рабочая тетрадь содержит основные понятия теории и основные формулы, а также набор заданий для самостоятельной работы. Обязательно включено решение одной, двух типовых задач по каждой теме. В заключении предложено выполнить несколько тренировочных тестов по форме ЕГЭ.

Основная задача учебно-методического комплекса – способствовать формированию у студентов прочных знаний по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства», в частности при вычислении выражений, содержащих arcsina, arccosa, arctga, а также при решении тригонометрических уравнений различной сложности.

 

Разработчик: Решетникова Яна Евгеньевна, ГАПОУ СО «Каменск-Уральский техникум торговли и сервиса»

Введение

Данная рабочая тетрадь  может использоваться как самостоятельно (так как в тетрадь включены не только множество заданий разной степени сложности, но и все необходимые определения, подробные примеры и пояснения к ним), так и совместно с учебниками:

§ «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., М:Просвещение;

§ «Алгебра и начала анализа 10класс» Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И., М:Мнемозина;

Структура рабочей тетради соответствует структуре учебного пособия; уровень заданий соответствует требованиям, предъявляемым федеральной программой к уровню математической подготовки обучающихся; система заданий дополняет и расширяет систему заданий учебника. Рабочая тетрадь содержит основные понятия теории и основные формулы, а также набор заданий для самостоятельной работы. Обязательно включено решение одной, двух типовых задач по каждой теме. В заключении предложено выполнить несколько тренировочных тестов по форме ЕГЭ.

В данной рабочей тетради использованы различные формы изложения материала. Для изучения нового материала рабочие тетради оформлены как полноценный конспект, в котором есть и теория, и примеры решённых заданий, и задания для самостоятельного выполнения. Учебные пособия - рабочие тетради, разработаны так, что по алгоритму и количественной части решённого, а также с учетом возрастания сложности необходимо выполнить задание. При выполнении данных заданий требуются умения систематизировать, сравнивать, анализировать предложенную информацию, применять имеющиеся знания и умения в нестандартной ситуации. Причём информация представлена в различных видах (схемы, таблицы и тд.). Задание так же имеют разную формулировку и различны по своему характеру: вводные, пробные, по образцу, творческие. Помимо упражнений и заданий в тетради включены и справочные материалы. В конце тетради предлагается уровневая контрольная работа, но выполнять её можно частями (при окончании изучения тем «Arcsina», «Arccosa», «Arctga», «Arcctga», «Решение тригонометрических  уравнений» и «Решение тригонометрических неравенств»), чтобы легче контролировать усвоение материала и корректировать ошибки.

Использование рабочей тетради в учебном процессе позволяет осуществить: во-первых, достижение уровня обязательной математической подготовки; во-вторых сформировать умение применять полученные знания в несколько отличных от обязательных результатов обучения ситуациях; в – третьих ведёт к повышению активности и самостоятельности, планированию собственной деятельности.

 

Содержание учебного материала

Тема 1. Арксинус числа

Определение: Арксинусом числа а℮[-1;1] называется такое число α℮[- ; ], синус которого равен а.

Обозначение: arcsina, - ≤ arcsina ≤

Определение: arcsina = α ↔ sinα = а

Свойства: 1) sin(arcsina)=а

а	0		()		1
arcsina	0

2) arcsin(sinα)=α

Таблица значений arcsina

 

3) arcsin(-a)=- arcsina

а	-	-	-	-1
arcsina	-	-	-	-

 

Пример: Вычислить:

· аrcsin1-arcsin(-1)+ arcsin()+arcsin(- ) = -(- )+ +(- )=

= + + - = ⁽³+ ⁽³+ ⁽¹- ⁽²=

 

Задание 1: Закончить решение:

1) arcsin1+ arcsin = + = ⁽²+ ⁽¹= =…..

2) 4 arcsin(- )-2 arcsin0=4∙(- )-2∙0=…..

3) 3 arcsin -2 arcsin(-1)=3∙ -2∙(- )= …..

4) arcsin - arcsin(- )= -(…..)=…..

 

Задание 2: Вычислить:

1) 2 arcsin +3 arcsin (- )

2) arcsin -4 arcsin1

3) 5 arcsin(- )+ arcsin(-1)

4) arcsin0+ arcsin(-1)+ arcsin(- )+ arcsin(- )+arcsin

Задание 3: Выполнить по аналогии:

1)	sin(arcsin )=sin =	1)	sin(arcsin )=
2)	tg(2 arcsin )=tg(2∙ )=tg =	2)	tg(4 arcsin )=
3)	аrcsin(sin )=[свойство3 arcsin(sinα)=α]= =	3)	аrcsin(2sin )=
4)	cos(аrcsin(tg ))= cos(аrcsin1)= = cos =0	4)	ctg(аrcsin(cos ))=

 

Задание 5: Найти ошибку:

· аrcsin(cos(аrcsin( tg()))=аrcsin(cos(аrcsin( ∙1))= аrcsin(cos(аrcsin ))=

= аrcsin(cos )= аrcsin =

Задание 6: «Математическая цепочка»:

аrcsin =….

                                                    cos^…. =…..

                                                      

                                           аrcsin(….) = ….

                                                       

ctg… =….

                                       аrcsin(-.….) =………

 

 

 

Тема 2. Арккосинус числа

Определение: Арккосинусом числа а℮[-1;1] называется такое число α℮[0;π], косинус которого равен а.

Обозначение:  arccosa, 0≤ arccosa ≤ π

Определение: arccosa = α ↔ cosα = а

Свойства: 1) cos(arccosa)=а

а	0		()		1
arccosa					0

2) arccos(cosα)=α

Таблица значений arccosa

 

3) arccos(-a)=π- arccosa

а	-	-	-	-1
arccosa				π

 

Пример: Вычислить:

· 2аrccos0+3arccos1=2∙ +3∙0= +0=π

· 12аrccos -3arccos(- )=12∙ -3∙ =2π-2π=0

Задание 1: Вычислить:

1) 4аrccos(- )+6arccos(- )

2) 5аrccos1-3arccos(- )

3) 2аrccos -5arccos(-1)

 

Задание 2: Соединить стрелками те функции, которые имеют одинаковое значение:

			аrccos

аrcsin(-1)

5аrcsin

аrccos(-1)

аrcsin

аrccos(- )

 

 

аrccos

Задание 3: Выполнить:

 

 

Задание 4: Найти ошибку:

· аrccos (- )+3аrcsin(-1)= +3∙π= +

Задание 5: Закончить решение:

1) 4arcsin(- )+ arcos(- )=4∙(- )+ =- + =….

2)  arccos +4 arccos  -arcsin = +4∙ - =….

3) arcsin +4 arcsin(- )-arcсos = +4∙(-….)-…..=…..

Задание 6: Вычислить:

1) arcsin +arccos (- )

2) arcsin(- )+6 arccos1

3) 3arcsin0+ 5arccos(-1)+ arcsin(- )+ arccos(- )+3arccos

Задание 7: Выполнить по аналогии:

1)	cos(arccos )=sin =	1)	cos(arccos )=
2)	sin(arccos )=sin()=	2)	tg(arccos )=
3)	Cos(2arccos )=cos(2∙ )= =cos =0	3)	cos(3аrccos )=
4)	sin(6аrccos )= sin(6∙ )= = sinπ=0	4)	tg(2аrccos )=

Приводимых к квадратным

Общая формула корней уравнения sin x = a

х = (-1)ⁿ arcsin a +П n, n Î Z

Общая формула корней уравнения cos x = a

х = ± arccos a + 2П n, n Î Z

Общая формула корней уравнения tg x = a

х = arctg a + П n, n Î Z

Пример: Закончить решение  тригонометрического  уравнения

Решение:

 

 

²

1

 

 

…

 

 

    Задание 4: Решить тригонометрическое уравнение:

1. ;                        6. ;

2. ;                          7. ;

3. ;                                 8. ;

4. ;           9. ;

5. ;                 10. .

Подготовка к Единому Государственному экзамену (ЕГЭ)

Прототипы задания В3

Основная идея решения любого тригонометрического уравнения за-

1.

2.

Тренировочная работа №1

Задание В3: Решите уравнение

Уравнение