Краткие теоретические сведения

Высказывание C есть логическое следствие высказываний H ₁, H ₂, …, H_N, что записывается в виде:

{ H ₁, H ₂, …, H_N } = C,

если всякий раз, когда все H_i равны ИСТИНА, значение C тоже равно ИСТИНА. Здесь H_i могут быть формулами элементарных высказываний.

Говорят, что C следует из H ={ H ₁, H ₂, …, H_N }.

Выражения H ₁, H ₂, …, H_N называются посылками или аксиомами, а C – выводом из этих посылок или теоремой.

Фундаментальная проблема логики, называемая проблемой вывода, состоит в следующем: определить, является ли формула С логическим следствием множества формул H. Решение этой задачи называют выводом теоремы из аксиом.

Выводу сопоставляется цепочка высказываний С ₁, С ₂, …, С_K, где С_K = С, а каждое высказывание С_i либо является тавтологией, либо следует из аксиом и высказываний, предшествующих данному.

Прямой вывод

В прямом выводе используется знание семантики тех операторов, через которые строятся аксиомы. Так, если аксиома утверждает, что A Ù B, то из смысла этого утверждения следует, что истинными будут высказывания A и B, которые войдут в цепочку вывода.

Если известно, что истинным являются высказывания { A Ú B, Ø A } то истинным будет высказывание B именно исходя из смысла этих высказываний. В прямом выводе строится цепочка высказываний, обозначенная выше как С ₁, С ₂, …, С_K, которая и является выводом.

Пример прямого вывода. Доказать или опровергнуть следствие:

B ® Ø A, A Ù D, B Ú C ½= D Ù C.

Пронумеруем аксиомы: B ® Ø A,                                              (1)

A Ù D,                                                                                           (2)

B Ú C,                                                                                           (3)

Вывод. Из (2) Þ A                                                                      (4)

из (2) Þ D,                                                                                   (5)

из (4) и (1) Þ Ø В,                                                                        (6)

из (6) и (3) Þ С.                                                                          (7)

Из (5) и (7) следует D Ù C.

Здесь используется свойство связок И, ИЛИ и СЛЕДУЕТ. Действительно, A Ù B истинна, если истинны A и B одновременно (вывод 4 и 5). Если A = ИСТИНА, то Ø A = ЛОЖЬ, значит B не может быть ИСТИНА, т.е. B = ЛОЖЬ (вывод 6). Если B = ЛОЖЬ и B Ú C истинно, то C должно быть равно ИСТИНА (вывод 7). Наконец, из (7) и (5) следует искомый вывод.

Метод «от противного»

Из определения вывода вытекает, что если { H ₁, H ₂, …, H_N }½= C, то справедливо утверждение, что (H ₁ Ù H ₂ Ù …Ù H_N) ú= C, или, что ú= (H ₁ Ù H ₂ Ù …Ù H_N) ® C.

Принцип дедукции. Формула С является логическим следствием конечного множества H тогда и только тогда, когда H È {Ø C } невыполнимо.

{ H ₁, H ₂, …, H_N } ú= C Û { H ₁, H ₂, …, H_N, ^Ø C } ú= 0.

На основе этого утверждение строится способ доказательства, который называется доказательством «от противного». В этом случае в множество аксиом добавляется высказывание, равное отрицанию того, что необходимо вывести. После этого нужно доказать, что из расширенного множества аксиом выводимо противоречие.

Пример доказательства «от противного». Требуется доказать или опровергнуть вывод {Ø A Ú B, B ® C, A Ú D } ú= C Ú D.

Обозначим Ø А Ú B,                                                                    (1)

B ® C                                                                                          (2)

A Ú D                                                                                            (3)

Введём ещё одно высказывание (по правилу де Моргана):

Ø(C Ú D) = Ø C Ù Ø D.                                                                  (4)

Тогда из (4) Þ Ø C,                                                                     (5)

из (4) Þ Ø D,                                                                                        (6)

из (6) и (3) Þ A                                                                                     (7)

из (7) и (1) Þ B                                                                                     (8)

из (8) и (2) Þ С                                                                                     (9)

из (8) и (9) Þ С Ù Ø С, то есть противоречие. Значит, верно, что C Ú D.

Доказательством «от противного» имеет смысл пользоваться, когда необходимо доказать утверждение вида дизъюнкции или следования. Первый случай, как следует из примера, даёт для последующего доказательства сразу два утверждения. Во втором случае из того, что Ø(B ® C) = B Ù Ø С, следует тоже два утверждения: B и Ø С. Используя их необходимо построить противоречие.

Задача выявления выполнимости и общезначимости формулы может оказаться довольно длительной процедурой. Заманчиво иметь более эффективный алгоритм проверки, чем последовательный просмотр всех интерпретаций.

Если формула имеет вид КНФ, то её можно рассматривать как множество дизъюнктов. Множество дизъюнктов невыполнимо тогда и только тогда, когда пустой дизъюнкт является логическим следствием из него. Невыполнимость множества S можно проверить, порождая логическое следствие до тех пор, пока не получим пустой дизъюнкт.