Измерение ёмкости конденсатора по кривой разряда

  Цель работы: опытным путем определить ёмкость конденсатора и величину разрядного сопротивления.

 

ВВЕДЕНИЕ

 

  Рассмотрим заряженный уединенный проводник. Его потенциал j прямо пропорционален заряду проводника Q. Величину:

                                                                                            (1)

называют электроемкостью уединенного проводника, она определяется зарядом, который надо сообщить проводнику, чтобы изменить его потенциал на единицу. Электроемкость (в вакууме) зависит от геометрической формы и размеров проводника. Единица измерения электроемкости - фарад.

  Устройства, обладающие способностью накапливать значительные по величине заряды при малых относительно других тел потенциалах, т.е. обладать большой ёмкостью, называются конденсаторами. Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком.

  На ёмкость конденсатора не должны оказывать влияние окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое зарядами, было сосредоточено между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют плоские, цилиндрические, сферические конденсаторы. Плоские конденсаторы имеют обкладки в виде двух плоских пластин, цилиндрические – два коаксиальных цилиндра, сферические – две концентрические сферы.

  Под ёмкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного на конденсаторе, к разности потенциалов (j ₁ - j ₂) между его обкладками:

                                 .                             (2)

  Для расчета ёмкости конденсатора необходимо:

а) определить, пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, напряженность поля Е между обкладками конденсатора;

б) определить разность потенциалов между его обкладками по формуле: ;

в) воспользоваться формулой (2) для нахождения ёмкости.

  При наличии диэлектрика ёмкость плоского конденсатора определяется по формуле:

                                            ,                                    (3) 

здесь e - диэлектрическая проницаемость среды, e ₀ - электричес-кая постоянная, S - площадь обкладок, d - расстояние между обкладками. Формула (4) служит для определения ёмкости цилиндрического конденсатора:

                                        ,                                   (4) 

здесь L – длина обкладок, r ₂ и r ₁ – радиусы коаксиальных цилиндров. Формула (5) служит для определения ёмкости сферического конденсатора:

                                    ,                                 (5) 

 здесь r ₂  и r ₁ – радиусы концентрических сфер.

  Если конденсатор С включить в цепь постоянного тока (ключ К находится в положении 1), то произойдет его зарядка (см. рис.1).

 

ИП

R             C

1 K 2

ln i ln i0

a

0                                                t

 

 

⁵                                                                                                 

_{4                                                                3}

 

            Рис. 1.                                               Рис. 2.

 

  При замыкании заряженного коденсатора на сопротивление R (ключ К переводится в положение 2), он начнет разряжаться. Установим, по какому закону происходит уменьшение силы тока в цепи при разрядке конденсатора.

  Рассмотрим замкнутый контур 2-3-4-5-2 (рис. 1). Составим уравнение по второму правилу Кирхгофа:

                                         ,                                   (6)

здесь r - величина разрядного сопротивления, - мгновенное значение тока, - падение напряжения на конденсаторе С.  

  С учетом (1) имеем: . Поскольку , после подстановки получим:

                                .                     (7)

Подставим (7) в (6), после преобразований имеем:

 

                          .                                (8)

 

После разделения переменных, интегрирования, учета начальных условий, получим:

                               ,                                       (9)

здесь  - напряжение на обкладках конденсатора в начальный момент времени. На основании закона Ома имеем:    Тогда:

                               ,                                       (10)

здесь - величина начального тока в момент времени t=0.

  Из (10) видно, что сила тока при разряде конденсатора убывает по экспоненте. Быстрота уменьшения разрядного тока зависит от величины t, которая называется постоянной времени разряда конденсатора, она определяется по формуле:

                                         t = r C.                                    (11)

Постоянная времени разряда конденсатора равна времени, за которое разрядный ток уменьшается в е раз относительно первоначального значения.

  Прологарифмируем формулу (10):

                               ,                                    (12)

т.е. имеем линейную зависимость от t. График функции (12) показан на рис. 2.

 

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

 

  В работе используются следующие приборы и оборудование: источник постоянного тока ИП, вольтметр V, переключатель П, магазин сопротивлений R, микроамперметр m A, конденсатор С.

  Схема лабораторной установки показана на рис. 3.

 

°1 ° 2° ^°^°^°

ИП  ° °

V

m A

R

П

С

 

Рис. 3.

 

  Конденсатор С, ёмкость которого требуется найти, заряжается от источника постоянного тока ИП (переключатель П находится в положении 1, см. рис. 1). Вольтметр V служит для измерения напряжения на обкладках конденсатора. После зарядки конденсатора в течение 5 -10 с переключатель П переводится в положение 2, при этом начинается разрядка конденсатора через сопротивление R, сила тока при этом уменьшается. Величина сопротивления устанавливается (в пределах от 20 до 80 кОм) магазином сопротивлений. Одновременно с переключением конденсатора включается секундомер и через каждые 5 с от 5 до 50 с  фиксируются показания микроамперметра m A.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

  1. Включить источник постоянного тока ИП и микроамперметр m A.

  2. Замкнуть конденсатор на источник питания, измерить напряжение в цепи, в дальнейшем его не менять. Величину напряжения U _С  занести в таблицу 1.

  3. Установить на магазине сопротивлений величину R по заданию преподавателя (в пределах от 20 до 80 кОм), записать его значение в таблицу 1.

  4. Переключателем П замкнуть конденсатор на сопротивление R и одновременно включить секундомер.

                                                                                               

Таблица 1

 

№ п.п	U С, В	R, кОм	t, c	i1, мкА	i2, мкА	i3, мкА	á i ñ, мкА	ln á i ñ	C, мФ	r, кОм
1			5
2			10
…			..	..	..	..	..	..
9			45
10			50

 

  5. Снимать через каждые 5 с (начиная с 5 с и до 50 с) значения разрядного тока, величину силы тока записывать в таблицу 1. Опыт проводят 3 раза.

  6. По значениям силы тока i ₁, i ₂, i ₃ (в микроамперах) найти среднее значение величины силы тока áiñ для каждого времени и по усредненным значениям определить ln áiñ.

  7. Построить график зависимости ln áiñ = f (t ) (см. рис. 2).

  8. Продлив линию графика до пересечения с осью ln áiñ, определить lni ₀, затем, найти величину начального тока i ₀. Поскольку значение силы тока получено в микроамперах, его нужно перевести в амперы.

  9. Зная U _С, по формуле  определить величину разрядного сопротивления r и занести полученное значение в таблицу 1.

  10. Из графика найти тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс:

                                .                             (13)

  11. Из формулы (12) следует:

                              .                                  (14)

С учетом формулы (13) получим формулу для нахождения емкости конденсатора С:

                                         .                                     (15)

  12. По формуле (15) найти значение С и занести его в таблицу.

  13. Построить график функции: .

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ СДАЧИ РАБОТЫ

 

  1. Что называют электроёмкостью уединенного проводника? Каковы единицы измерения электроёмкости?

  2. Записать формулы емкости плоского, цилиндрического, сферического конденсаторов.

  3. От чего зависит емкость конденсатора?

  4. Записать формулы для определения ёмкости батареи конденсаторов при их параллельном и последовательном соединении.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2-4