Швидкість та траєкторії польоту ракет

Кожна матеріальна точка, що рухається, характеризується відповідними показниками. Серед найбільш важливих показників є швидкість. Даний показник визначає спроможність матеріальної точки подолати визначену відстань за певний час. Відношення пройденого шляху S за відповідний проміжок часу t і характеризує швидкість. У випадках, коли визначаються загальні параметри даної величини, користуються поняттям середньої швидкості, що розраховується за формулою

.                          (2.1)

Дана фізична величина має загальну інформацію про рух матеріальної точки, тому вона більше підходить для опису рівномірного руху. Реально, розглядаючи політ ракети, маємо справу з нерівномірним рухом. У випадку, коли матеріальна точка рухається нерівномірно, то за однакові проміжки часу вона буде долати різну величину пройденого шляху. Залежно від того, яка стоїть задача щодо визначення величини швидкості в конкретних умовах, чітко визначають величину часу для дослідження швидкості. Логічно вважати, що чим менше за часом проводиться дане дослідження, тим точнішими будуть отримані дані. Тобто слід скористатися поняттям миттєвої швидкості, яка визначається виразом

             (2.2)

Тобто швидкість матеріальної точки в даний момент часу дорівнює значенню похідної від координати за часом.

Зважаючи на той факт, що будь-яке  переміщення має свій напрямок, то для визначення даного параметра слід розглядати швидкість як векторну величину, тому що вектор – це математична величина, зображена відрізком прямої, що враховує і чисельне значення, і напрямок. Щоб урахувати напрям переміщення точки, слід розглядати переміщення точки як вектор, що має напрям у бік руху точки. У випадку прямолінійного руху точки вектор, що характеризує переміщення, знаходиться на лінії руху, а у випадку криволінійного руху переміщення точки по кривій можна для достатньо малого проміжку часу ∆t замінити переміщенням по хорді. Нехай у момент часу t точка займає положення М, а у момент часу t +∆t положення М' (рис. 2.1).

Проміжку часу ∆t відповідає переміщення по траєкторії – дуга ММ', і по хорді – вектор ∆r, який являє собою приріст радіуса – вектора г, точка якого рухається. Вектор ∆  є вектором переміщення.

Відношення  є середньою зміною вектора переміщення за одиницю часу в термін ∆t (вектор середньої швидкості):

.                             (2.3)

 

 

Рисунок 2.1 – Переміщення вектора за напрямом і

часом

 

Переходячи до межі ∆t → 0, ми отримуємо векторну характеристику зміни переміщення від часу у формі

 

,                 (2.4)

 

де вектор  являє собою першу похідну від вектора  за часом t.

 

А враховуючи, що в межі при  напрям вектора збігається з напрямом дотичної до траєкторії (рис. 2.2), то швидкість точки в даний момент часу спрямована по дотичній до її траєкторії.

Проектуючи вираз (2.4) на прямокутні Декартові осі координат, маємо:

      (2.5)

тобто проекції швидкості точки на прямокутні декартові осі координат дорівнюють першим похідним від координат точки за часом.

Відомо, що діапазон швидкостей дуже широкий: швидкість світла становить 300000 км/с, швидкість звуку в повітрі при 0 ⁰ С - 332 м/с, рух землі по орбіті ~ 29800 м/с, електрон в електронно-променевій трубці ~ 80000 м/с.

При непостійній швидкості рух точки є нерівномірним чи змінним. Змінний рух характеризується прискоренням, яке визначає міру зміни швидкості за одиницю часу. Швидкість, як було встановлено вище, є векторною величиною, тому з часом вона змінюється за величиною і за напрямом.

 

 

Рисунок 2.2 – Відношення вектора переміщення до швидкості та напряму руху

 

Зайдемо міру зміни швидкості. Нехай моменту t відповідає швидкість , а моменту  відповідає швидкість . Тоді вектор  характеризує зміну вектора швидкості за одиницю часу в середньому. Для знаходження значення прискорення в момент часу здійснюємо перехід  і отримуємо

.                        (2.6)

Формула (2.6) характеризує зміну вектора швидкості в даний момент часу t і називається прискоренням точки в даний момент.

На основі вищенаведеного можна сформулювати визначення: прискоренням точки, яка рухається в даний момент часу, називається похідна від швидкості за часом, або друга похідна від радіуса-вектора за часом, тобто

                      (2.7)

Розмірність прискорення – [м/с²), або в загальному випадку .

Прискорення є векторною величиною, яка при прямолінійному русі спрямована по дії вектора швидкості. Розрізняють прискорення додатне, коли швидкість руху збільшується (вектор прискорення має напрямок у той самий бік, що і вектор швидкості), і від'ємне (сповільнене), коли швидкість руху зменшується. Початок руху будь-якого тіла завжди відбувається з прискоренням, тому що швидкість руху не може миттєво досягти визначеного значення чи миттєво змінитися до нуля.

При криволінійному русі повне прискорення складається з геометричної суми двох векторів:

 

,                            (2.8)

 

де – тангенціальне прискорення;  – нормальне прискорення.

 

Таким чином, вираз 2.8 можемо записати

.                        (2.9)

Звідси видно, що величина тангенціального прискорення характеризує зміну величини швидкості з часом:

                    (2.10)

Вектор α_τ спрямований у бік руху точки при збільшенні її швидкості (рис. 2.3а)і в протилежний бік – при зменшенні швидкості (рис. 2.3б).

Величина нормального прискорення залежить від кривизни траєкторії, яка обумовлює зміну напряму швидкості:

 .                       (2.11)

За залежністю (2.9) розглянемо чотири можливих випадки.

Перший: , при цьому  і , рух точки у цьому випадку є прямолінійним і рівномірним.

Другий: , , при цьому  і , рух є прямолінійним і нерівномірним.

Третій: , при цьому  і , рух є криволінійним і рівномірним.

 

Рисунок 2.3 – Залежність напряму вектора

переміщення від зміни швидкості руху

 

Четвертий: , при цьому  і , рух є криволінійним і нерівномірним.

Проекції виразу (2.7) на прямокутні декартові осі координат мають вираз:

            (2.12)

Тобто проекції прискорення точки на прямокутні декартові осі дорівнюють першим похідним від швидкості за часом чи другим похідним від координат цієї точки за часом.