Визначники 2-го та 3-го порядків та їх властивості.

 

Означення 8

Визначником (детермінантом) квадратної матриці другого порядку є число, обчислене за таким правилом.

Якщо А = , то =  

Наприклад, якщо А = , то = = 2∙9–8∙4=18– –32= –14.

 

Властивості визначника (детермінанта):

 

1. Визначник дорівнює 0, якщо всі елементи деякого рядка (чи стовпця) дорівнюють 0.

2. Визначник дорівнює 0, якщо елементи рядка (чи стовпця) пропорційні.

3. Якщо два стовпці чи рядки переставити місцями, то знак визначника зміниться на протилежний.

4. Величина визначника не зміниться, якщо всі рядки замінити стовпцями.

5. Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка (чи стовпця) додати елементи іншого рядка, помножені на постійне число.

                                                                                                            

6. Якщо всі елементи рядка помножити на постійне число , то величина визначника збільшиться в  разів.

 

7. Наслідок.

Постійний множник з рядка (чи стовпця) можна виносити за знак визначника.

3. Обчислення визначників.

 

Для матриці третього порядку  Визначник обчислюється за формулою:

 

Приклад 4

Обчислити визначник 3-го порядку способом розкладання за елементами рядка.

 

 

Для визначника третього порядку мають місце ті ж властивості.

Користаючись цими властивостями, а саме властивістю 5, визначник можна привести до трикутного вигляду, тобто до вигляду, коли елементи, що знаходяться під головною діагоналлю, будуть рівні 0.

 

Приклад 5

Привести визначник до трикутного вигляду й обчислити його.

=

= – =

 

= –12(1(-3)1–0)=36

Означення 9

Мінором для елемента с_ij називається визначник, одержаний з матриці, якщо в ній викреслити елемент разом з i- тим рядком і  j -тим стовпцем.

Алгебраїчним доповненням до елемента називається число, отримане при множенні мінору на число (–1)^i+j, де i – номер рядка, j – номер стовпця.

Позначимо А_ij = (–1)^i+j M_ij, тоді визначник третього порядку запишеться так:

 

Ранг матриці. Мінори та алгебраїчні доповнення Елементарні перетворення матриць. Обернена матриця.

Означення 10

Мінором r-го порядку матриці А розмірів m x n називається визначник r-го порядку, утворений з елементів матриці А, що залишились після викреслення в ній m-r рядків і n-r стовпців (r  m, r n).

Означення 11

Натуральне число r називається рангом матриці А, якщо воно задовольняє такі вимоги:

1. Матриця А має мінор r-го порядку, відмінний від нуля;

2. Усякий мінор (r+1)-го і більш високого порядку (якщо такі існують) дорівнює нулю.

Означення 1 2

Елементарними перетвореннями матриці називають такі операції:

1. Перестановка (транспозиція) двох рядків або стовпців;

2. Додавання до всіх елементів рядка (стовпця) відповідних елементів другого рядка (стовпця), помножених на деяке число.

Матриці, здобуті одна з іншої за допомогою скінченого числа елементарних перетворень, називаються еквівалентними.

Теорема 1