Тема: Основные задачи теории систем. Классификация систем

КУРС ЛЕКЦИЙ

 

по дисциплине «Теория информационных процессов и систем»

для студентов специальности 230201

«Информационные системы и технологии»

 

 

Воронеж 2009

Лекция № 1-2

Тема: Основные задачи теории систем. Классификация систем

Учебные вопросы:

1. Введение.

2. История возникновения и развития системных представлений.

3. Системность как всеобщее свойство материи.

4. Множественность моделей систем.

5. Предмет и задачи теории информационных процессов и систем.

 

 

1.1. Введение

 

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной форме не использовались бы системы, получившие название информационных. Целью разработки и применения информационной системы (ИС) любого уровня сложности яв­ляется создание высококачественной системы, отвечающей потребностям заказчика, т. е. конкретной организации и ее подразделений. Реалии сего­дняшнего дня таковы, что создаваемые информационные системы представляют собой сложные комплексы с многоуровневой иерархией и заметной динамикой в развитии, имеющие тенденцию к росту и интегра­ции как с другими аналогичными системами, так и с глобальными информационными системами.

В информатике понятие "система" широко распространено и имеет множество смысловых значений. Чаще всего оно используется применительно к набору технических средств и программ. Системой может называться аппаратная часть компьютера. Системой может также считаться множество программ для решения конкретных прикладных задач, дополненных процедурами ведения документации и управления расчетами.

Добавление к понятию "система" слова "информационная" отражает цель ее создания и функционирования. Информационные системы обеспечивают сбор, хранение, обработку, поиск, выдачу информации, необходимой в процессе принятия решений задач из любой области. Они помогают анализировать проблемы и создавать новые продукты, это взаимосвязанная совокупность средств, методов и персонала, обеспечивающих достижение поставленной цели.

Исходя из этого, вполне разумным и жизненно необходимым представляется требование о достаточно жестком управлении процессом разработки ИС. Более того, сама разработка должна подчиняться строгой дисциплине, включать стандартные процедуры и завершаться подготовкой нормативных документов. Рекомендуется использовать методы, регламентирующие уровень сложности технических решений.

В этой связи необходима теоретическая проработка вопросов математического описания функционирования информационных систем.

Предмет и задачи теории информационных процессов

  и систем

Специализированная обработка.

Конкретные задачи, которые должны решаться информационной системой, зависят от той прикладной области, для которой предназначена система. Области применения информационных приложений разнообразны: банковское дело, страхование, медицина, транспорт, образование и т. д., очевидно, что, например, конкретные задачи, решаемые банковскими информационными системами, отличаются от задач, для решения которых создаются медицинские информационные системы.

Хранение информации.

Можно выделить некоторое количество задач, не зависящих от специфики прикладной области. Естественно, такие задачи связаны с общими чертами информационных систем, рассмотренными в предыдущем разделе. Прежде всего, кажется бесспорным мнение о том, что наиболее существенной составляющей является информация, которая долго накапливается и утрата которой зачастую невосполнима. Конечно, уровень надежности и продолжительность хранения информации во многом определяются конкретными требованиями корпорации к информационной системе.

Адаптивность и развитие.

Следующей задачей, которую должно выполнять большинство информационных систем, - это хранение данных, обладающих разными структурами. Трудно представить себе более или менее развитую информационную систему, которая работает с одним однородным файлом данных. Более того, разумным требованием к информационной системе является то, чтобы она могла развиваться. Могут появиться новые функции, для выполнения которых требуются дополнительные данные с новой структурой. При этом вся накопленная ранее информация должна сохраняться.

Основными задачами теории информационных систем являются:

– описание структуры системы на основе функциональных характеристик (структурный или морфологический анализ);

– определение функций системы, заданной в соответствии с ее структурным описанием (функциональный анализ).

Эти виды анализа являются составными частями системного анализа.

Часто задачу структурного и функционального анализов заменяют задачей идентификации систем – задача определения структуры или параметров системы по результатам измерений или наблюдений.

Если определяются параметры системы – параметрическая идентификация, если структура системы – структурная идентификация.

 

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Основные функции информационной системы.

2. Что такое информационный барьер? Какие информационные барьеры вы знаете?

3. Основные направления системных исследований.

4. Какие стадии проектирования больших систем существуют, что они из себя представляют.

5. Что такое система, элемент, подсистема?

6. Дайте определение структуры системы, эмерджентности.

7. Что представляет собой гетерогенность, многомерность.

8. В чем проявляется многокритериальность.

9. Как определить понятие большая система.

10.  Что такое системный подход?

11.  Что такое системный анализ?

12.  Какая разница между структурным и функциональным подходами.

13.  Что представляет собой теория подобия.

14.  Назовите основные классы видов моделирования.

15.  Основные задачи теории информационных систем.

 

Лекция № 3

Открытые и закрытые системы

Понятие открытой системы ввел Л. фон Берталанфи. Основные отличительные черты открытых систем - способность обмениваться с внешней средой энергией и информацией. Закрытые (замкнутые) системы изолированы от внешней среды (с точностью принятой в модели).    

Лекция № 4

Методы описания систем

 

Методы описания систем классифицируются в порядке возрастания формализованности – от качественных методов, с которыми в основном и связан был первоначально системный анализ, до количественного системного моделирования с применением ЭВМ. Разделение методов на качественные и количественные носит, условный характер.

n В качественных методах основное внимание уделяется организации постановки задачи, новому этапу ее формализации, формированию вариантов, выбору подхода к оценке вариантов, использованию опыта человека, его предпочтений, которые не всегда могут быть выражены в количественных оценках.

n Количественные методы связаны с анализом вариантов, с их количественными характеристиками корректности, точности и т. п. Для постановки задачи эти методы не имеют средств, почти полностью оставляя осуществление этого этапа за человеком.

Между этими крайними классами методов системного анализа имеются методы, которые стремятся охватить оба этапа – этап постановки задачи, разработки вариантов и этап оценки и количественного анализа вариантов,– но делают это с привлечением разных исходных концепций и терминологии, с разной степенью формализованности. Среди них: кибернетический подход к разработке адаптивных систем управления, проектирования и принятия решений (который исходит из развития основных идей классической теории автоматического регулирования и управления и теории адаптивных систем применительно к организационным системам); информационно-гносеологический подход к моделированию систем (основанный на общности процессов отражения, познания в системах различной физической природы); системно-структурный подход; метод ситуационного моделирования; метод имитационного динамического моделирования.

Информационных систем

Учебные вопросы:

1. Управление как процесс.

2. Система управления.

3. Этапы управления сложной системой.

4. Представление систем в виде «черного ящика».

 

 

4.1. Управление как процесс

 

Кибернетический подход к описанию систем состоит в том, что всякое целенаправленное поведение рассматривается как управление. Управление – в широком, кибернетическом смысле – это обобщение приемов и методов, накопленных разными науками об управлении искусственными объектами и живыми организмами. Язык управления – это использование понятий «объект», «среда», «обратная связь», «алгоритм» и т.д.

Под управлением будем понимать процесс организации такого целенаправленного воздействия на некоторую часть среды, называемую объектом управления, в результате которого удовлетворяются потребности субъекта, взаимодействующего с этим объектом.

 

Анализ управления заставляет выделить тройку – среду, объект и субъект, внутри которой разыгрывается процесс управления (рис. 4.1). В данном случае субъект ощущает на себе воздействие среды Х и объекта У. Если состояние среды Х он изменить не может, то состоянием объекта У он может управлять с помощью специально организованного воздействия U. Это и есть управление.

Состояние объекта Y влияет на состояние потребностей субъекта. Потребности субъекта  где  - состояние i-й потребности субъекта, которая выражается неотрицательным числом, характеризующим насущность, актуальность этой потребности. Свое поведение субъект строит так, чтобы минимизировать насущность своих потребностей, т. е. решает задачу многокритериальной оптимизации:

 

                                                         (4.1)

 

где R – ресурсы субъекта. Эта зависимость выражает неизвестную, но существующую связь потребностей с состоянием среды Х и поведением U субъекта.

Пусть  - решение задачи (4.1), т. е. оптимальное поведение субъекта, минимизирующее его потребности А. Способ решения задачи (4.1), позволяющий определить , называется алгоритмом управления

 

                                                                 (4.2)

 

где j - алгоритм, позволяющий синтезировать управление по состоянию среды Х и потребностей А_t. Потребности субъекта изменяются не только под влиянием среды или объекта, но и самостоятельно, отражая жизнедеятельность субъекта, что отмечается индексом t.

Алгоритм управления j, которым располагает субъект, и определяет эффективность его функционирования в данной среде. Алгоритм имеет рекуррентный характер:

 

 

т. е. позволяет на каждом шаге улучшать управление. Например, в смысле

 

,

 

т. е. уменьшения уровня своих потребностей.

Процесс управления как организация целенаправленного воздействия на объект может реализовываться как на интуитивном, так и на осознанном уровне. Первый используют животные, второй – человек. Осознанное удовлетворение потребностей заставляет декомпозировать алгоритм управления и вводить промежуточную стадию – формулировку цели управления, т. е. действовать по двухэтапной схеме:

 

 

На первом этапе определяется цель управления , причем задача решается на интуитивном уровне:

 

,

 

где j₁ – алгоритм синтеза цели Z* по потребностям А_t и состоянию среды X. На втором этапе определяется управление , реализация которого обеспечивает достижение цели Z*, сформированной на первой стадии, что и приводит к удовлетворению потребностей субъекта. Именно на этой стадии может быть использована вся мощь формального аппарата, с помощью которого по цели Z* синтезируется управление

 

 

где j₂ – алгоритм управления. Этот алгоритм и есть предмет изучения кибернетики как науки.

Таким образом, разделение процесса управления на два этапа отражает известные стороны науки – неформальный, интуитивный, экспертный и формальный, алгоритмизуемый алгоритм. Если первая пока полностью принадлежит человеку, то вторая является объектом приложения формальных подходов.

 

 

Ряс. 4.2. Взаимодействие         Рис. 4.3. Структурная схема

элементов системы управления.            системы управления.

 

Естественно, что эти различные функции выполняются разными структурными элементами. Первую функцию f₁, выполняет субъект, а вторую f₂ - управляющее устройство (УУ). На рис. 4.2 показано взаимодействие этих элементов. Штриховой линией выделена система управления (СУ), выполняющая функцию реализации целей управления U*, формируемых субъектом.

Система управления

 

Система управления сложный объект управления. Структурная схема СУ приведена на рис. 4.3. Здесь D_x и D_y – датчики, измеряющие состояние среды и объекта соответственно. Результаты измерений Х'=D_x(Х) и У'=D_y(У) образуют исходную информацию J = {X', У'} для УУ, которое на этой основе вырабатывает команду управления U, являющуюся лишь информацией о том, в какое положение должны быть приведены управляемые входы объекта. Следовательно, управление U есть результат работы алгоритма

.

 

Как видно, управление в широком смысле образуется четверкой

 

{ .}

 

В качестве примера рассмотрим основные понятия управления в технических и организационных системах.

Управление – целенаправленная организация того или иного процесса, протекающего в системе. В общем случае процесс управления состоит из следующих четырех элементов:

n получение информации о задачах управления (Z*),

n получение информации о результатах управления (т. е. о поведении объекта управления У’);

n анализ полученной информации и выработка решения (J = {х'. У'}),

n исполнение решения U т. е. осуществление управляющих воздействий U').

Процесс управления – это информационный процесс (рис. 4.4), заключающийся в сборе информации о ходе процесса, передаче ее в пункты накопления и переработки, анализе поступающей, накопленной и справочной информации, принятии решения на основе выполненного анализа, выработке соответствующего управляющего воздействия и доведении его до объекта управления. Каждая фаза процесса управления протекает во взаимодействии с окружающей средой при воздействии различного рода помех. Цели, принципы и границы управления зависят от сущности решаемой задачи.

Система управления – совокупность взаимодействующих между собой объекта управления и органа управления, деятельность которых направлена заданной цели управления (рис. 4.5).

 

 

В СУ решаются четыре основные задачи управления: стабилизация, выполнение программы, слежение, оптимизация.

 

Задачами стабилизации системы являются задачи поддержания ее выходных величин вблизи некоторых неизменных заданных значений, несмотря на действие помех. Например, стабилизация напряжения U и частоты f тока в сети вне зависимости от изменения потребления энергии.

Задача выполнения программы возникает в случаях, когда заданные значения управляемых величин изменяются во времени заранее известным образом.

В системах оптимального управления требуется наилучшим образом выполнить поставленную перед системой задачу при заданных реальных условиях и ограничениях. Понятие оптимальности должно быть конкретизировано для каждого отдельного случая.

Прежде чем принимать решение о создании СУ, необходимо рассмотреть все его этапы, независимо от того, с помощью каких технических средств они будут реализованы. Такой алгоритмический анализ управления является основой для принятия решения о создании СУ и степени ее автоматизации. При этом анализе следует обязательно учитывать фактор сложности объекта управления:

n отсутствие математического описания системы;

n стохастичность поведения;

n негативность к управлению;

n не стационарность, дрейф характеристик;

n невоспроизводимость экспериментов (развивающаяся система все время как бы перестает быть сама собой, что предъявляет специальные требования к синтезу и коррекции модели объекта управления).

Особенности сложной системы часто приводят к тому, что цель управления таким объектом в полной мере никогда не достигается, как бы совершенно ни было управление.

Системы управления делятся на два больших класса: системы автоматического управления (САУ) и автоматизированные системы управления (АСУ). В САУ управление объектом или системой осуществляется без непосредственного участия человека автоматическими устройствами. Это замкнутые системы. Основные функции САУ: автоматический контроль и измерения, автоматическая сигнализация, автоматическая защита, автоматические пуск и остановка различных двигателей и приводов, автоматическое поддержание заданных режимов работы оборудования, автоматическое регулирование. В отличие от САУ в АСУ в контур управления включен человек, на которого возлагаются функции принятия наиболее важных решений и ответственности за принятые решения. Под АСУ обычно понимают человеко-машинные системы, использующие современные экономико-математические методы, средства электронно-вычислительной техники (ЭВТ) и связи, а также новые организационные принципы для отыскания и реализации на практике наиболее эффективного управления объектом(системой).

Лекция № 5

Автомат Мили

Xi	zk
	z0	z1	...	zk
переходы
x1	j (z0,x1)	j (z1,x1)	...	j (zk,x1)
x2	j (z0,x2)	j (z1,x2)	...	j (zk,x2)
...	...	...	...	...
xi	j (z0,xi)	j (z1,xi)	...	j (zk,xi)
выходы
x1	y (z0,x1)	y (z1,x1)	...	y (zk,x1)
x2	y (z0,x2)	y (z1,x2)	...	y (zk,x2)
...	...	...	...	...
xi	y (z0,xi)	y (z1,xi)	...	y (zk,xi)

Графовый способ задания автоматов (на основе направленных графов)

Граф задается следующим образом: вершины графа представляют внутренние состояния z, ребра – переходы из одного состояния в другое z_i - > z_j при воздействии входного сигнала, x_k – дуга на графе. Для задания функции выходов дуги графа отмечают соответствующим выходным сигналом.

1. Для автомата Мили – дуга маркируется входным сигналом x_k, которое вызвало переход из состояния z_i в состояние z_j. Сюда же ставится значение выходного сигнала y= y (z_j,x_k).

2. Для автомата Мура – дуга x_k дополняется выходным сигналом y= y (z_j,x_k) при z_i - > z_j.

Матричный способ задания автоматов

Матричный способ является наиболее общим способом описания автомата. Матрица соединения автомата – квадратная матрица С_ij=||c_ij||, строки которой соответствуют исходным состояниям системы, а столбцы - состояниям переходов. Элемент матрицы c_ij=x_k/y_s, где x_k – входной сигнал, вызывающий переход z_i - > z_j, y_s – значение выходного сигнала, выдаваемое на этом переходе. Для автомата Мура элемент c_ij равен множеству входных сигналов при переходе z_i - > z_j, а выход описывается вектором, i -я компонента которого – это выходной сигнал. C=||C_ij||, строки – исходные состояния, столбцы – состояния перехода.

Элемент C_ij=x_k/y_s, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца (автомат Мили) – входной сигнал x_k, вызывающий переход из состояния z_i ® z_j и выходной сигнал y_s.

Для автомата Мили матрица соединений:

 

                             (5.4)

 

Если z_i ® z_j происходит под действием нескольких воздействий, то элемент матрицы C_ij – множество пар "вход – выход" для этого перехода, соединенных знаком дизъюнкции.

Для F –аппарата Мура C_ij – множество входных воздействий при переходе (z_i, z_j), а выход описывается вектором выходов

 

,                                          (5.5)

 

где i -я компонента – выходной сигнал, отмечающий состояние z_i.

Для детерминированных автоматов выполняется условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного воздействия не может перейти более чем в одно состояние, то есть для графического задания: в графе автомата из любой вершины не могут выходить два и более ребра, отмеченные одним и тем же входным сигналом. Аналогично в матрице соединений в каждой строке любое входное воздействие не должно встречаться более одного раза.

Рассмотрим таблицу переходов и граф асинхронного конечного автомата. Для F -автомата состояние z_R – устойчивое, если для любого входа x_i Î X, для которого j (z_R, x_i)=z_R, имеет место Y (z_R, x_i)=y_R. Таким образом, F -автомат называется асинхронным, если каждое его состояние z_R Î Z устойчиво.

На практике автомат всегда является асинхронным, а устойчивость его обеспечивается, например, введением сигналов синхронизации.

1. Автомат Мили:

– табличный способ задания:

 

xi	zk
	z0	z1	z2
Переходы
x1	z2	z0	z0
x2	z0	z2	z1
выходы
x1	y1	y1	y2
x2	y1	y2	y1

 

– графовый способ задания:

 

 

 

 

 

– матричный способ задания:

		z0	z1	z2
	z0	x2/y1	–	x1/y1
C1 =	z1	x1/y1	–	x2/y2
	z2	x1/y2	x2/y1

2. Автомат Мура:

– табличный способ задания:

 

	y
xi	y1	y1	y3	y2	y3
	z0	z1	z2	z3	z4
x1	z1	z4	z4	z2	z2
x2	z3	z1	z1	z0	z0

 

– матричный способ задания:

 

		z0	z1	z2	z3	z4
	z0	–	x1	–	x2	–			y0
	z1	–	x2	–	–	x1			y1
C =	z2	–	x2	–	–	x1		y =	y2
	z3	x2	–	x1	–	–			y3
	z4	x2	–	x1	–	–			y4

 

– графовый способ задания:

 

 

Лекция № 6

Основные понятия Марковских процессов

 

Функционирование различных систем представляет собой последовательность переходов из одного состояния в другое. Если состояние системы меняется во времени случайным образом, то последовательность состояний может рассматриваться как случайный процесс.

Система называется системой с дискретными состояниями, если множество ее состояний конечно, а переходы из одного состояния в другое осуществляется скачком.

Процесс перехода называется цепью.

Определение цепи Маркова

Имеется некоторая физическая система, имеющая конечное число к всех возможных фазовых состояний . Пусть в зависимости от вмешательства случая система шаг за шагом (в моменты времени t₀<t₁<t₂…) скачкообразно меняет свое фазовое состояние, то есть имеют место переходы Q₀ ® Q₁ ® …, где Q_n=Q(t_n) – состояние системы через n шагов, а Q₀=Q(t₀) – начальное состояние системы.

 

,              (6.1)

 

где  - одно из возможных пространств состояний .

Вероятность перехода на m-шаге (условная вероятность):

 

.           (6.2)

 

Таким образом, для вычисления совместных вероятностей Р(Q₀,..,Q_n) необходимо задать начальное состояние системы и указать физический механизм осуществления смены состояний, позволяющий вычислить вероятности перехода .

1. Частный (вырожденный) случай цепи Маркова. Смена всех состояний происходит независимо, то есть вероятность какого-либо состояния на m-м шаге не зависит от того, в каких состояниях находилась система в предыдущие моменты времени.

 – последовательность независимых испытаний.

2. Вероятность фазового состояния параметра Q_n в момент времени t_n зависит лишь от того, в каком состоянии находилась система в непосредственно предшествующий ему момент времени t_n-1, и не зависит от того, в каких состояниях находилась система в более ранние моменты времени t₀,…,t_n-2.

 

.                    (6.3)

 

3. Цепь Маркова порядка , если вероятность нового состояния зависит только от m состояний системы, непосредственно ему предшествующих:

 

.                       (6.4)

 

Время пребывания системы в некотором состоянии может быть либо дискретным, либо непрерывным. В зависимости от этого различают системы с дискретным или непрерывным временем.

Простейшей вероятностной характеристикой случайного процесса служит набор вероятностей состояний P₁(t), P₂(t),... P_n(t), где P_i(t) – вероятность перехода системы в состояние S_i в момент времени t. Условие нормировки P₁+P₂+...+P_n=1.

Если в процессе функционирования система оказывается в состоянии S_i, то вероятность перехода ее в состояние S_j в общем случае зависит не только от состояния S_i, но и от предыдущего состояния.

Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским (процессом без последействия), если для любого момента времени t₀ вероятность состояния системы в будущем (при t>t₀) зависит только от состояния в настоящем (при t=t₀) и не зависит от того, как и каким образом, система пришла в данное состояние (т.е. не зависит от предыстории).

 

Потоки событий

 

Переход системы в некоторое состояние является событием.

Последовательность переходов системы в состояние S_i представляет собой поток событий.

Поток событий называется ординарным, если событие в нем происходит по одиночке.

Интервалы времени t₁, t₂,... t_n ординарного потока могут быть одинаковыми или различными, дискретными или непрерывными, случайными или неслучайными.

Если интервалы времени t₁, t₂,... t_n – неслучайные величины, то поток называется регулярным или детерминированным, и этот поток описывается путем задания значений T₁,T₂,... T_n.

Если T₁,T₂,... T_n являются случайными, то поток называется случайным и он характеризуется законом распределения величин T₁,T₂,... T_n.

На практике часто встречаются системы, в которых T_i – непрерывная случайная величина. В этих случаях система может быть описана плотностью вероятности f(t ₁, t ₂,... t _n), где t _i – конкретное значение случайной величины T_i.

Поток называется стационарным, если его вероятностные характеристики не изменяются во времени, т.е. вероятность попадания того или иного числа событий m на участок оси времени t ¢ + t зависит только от длины участка t и не зависит от того, где на оси времени выбран участок.

Интенсивность (плотность) потока событий (средняя величина событий в единицу времени) является постоянной.

Если интервал времени t_i является равномерной случайной величиной, то такой поток называется потоком с последействием и его состояние находится в вероятностной зависимости от предыдущего состояния.

Если случайные величины t_i независимые, то такой поток называется потоком с ограниченным последействием и плотность вероятности этого потока равна произведению плотностей вероятности:

 

f (t ₁, t ₂,... t _n) = f ₁ (t ₁) f ₂ (t ₂)... f_n (t _n)                         (6.5)

 

Поток с ограниченным последействием может быть стационарным и однородным во времени. В этом случае все интервалы между смежными событиями имеют одинаковый закон распределения:

 

f_i (t _i) = f (t _i)                                           (6.6)

Потоком без последействия называется случайный поток, если для любых непересекающихся участков времени число событий попадающих на один из них не зависит от того, сколько событий попало на другие участки.

 

Пуассоновский поток

Потоки случайных событий называются пуассоновскими, если число событий потока m, попадающих на любой участок t, распределен по закону Пуассона

 

P_m= e^-a,                                           (6.7)

 

где а – среднее число событий, находящихся на участке t.

Пуассоновский поток является стационарным, если плотность событий l постоянна, тогда среднее число событий равно l t, иначе поток будет нестационарным.

Случайный поток событий, который обладает свойством стационарности, ординарности и не имеет последействия, называется простейшим и является стационарным пуассоновским потоком.

Просеянные потоки

Процесс переходов системы с дискретным временем функционирования может рассматриваться как воздействие дискретного потока событий, которое характеризуется тем, что в моменты времени t₁, t₂,..., t_n события происходят с вероятностью P _i. Функция распределения такого потока:

 

                              (6.8)

 

Просеяние потока событий S₁, S₂,... S_n, которые наступают в определенные моменты времени с вероятностями p₁, p₂,... p_n, означает преобразование этих вероятностей в , ,..., . Если поток является стационарным, то эти вероятности равны: = =...=1-p.

При этом p является константой просеивания, которая определяется либо воздействием какого-либо дестабилизирующего фактора, либо определяется исключением каких-либо событий из множества состояний системы.

Примерами потоков с ограниченным последействием являются потоки Эрланга. Они образуются закономерным просеиванием простейшего потока, при этом под закономерным просеиванием понимается процедура, в результате которой происходит исключение нескольких последующих событий в исходном потоке. Если у простейшего потока исключается каждое нечетное событие, то оставшиеся события образуют поток Эрланга II порядка. Промежуток времени между соседними событиями в таком потоке представляет собой сумму независимых случайных величин и , распределенных по показательному закону ( = + ).