Взаимосвязь амплитуд гармонических составляющих ИССФ

И исходной ПППИ

Пусть сформирован ИССФ с одной подавленной спектральной зоной, причем это может быть любая спектральная зона, в том числе и нулевая. Для формирования такого сигнала используется одна пара дополнительных ПППИ.

Обозначим через Ао _k амплитуду k -й спектральной составляющей исходной ПППИ, а через φ _k – ее фазу. Запишем выражение для комплексных спектральных коэффициентов исходной ПППИ в виде

SPo _k = .                                    (12.2)

Спектр дополнительной ПППИ, импульсы которой смещены влево на интервал τ ₁ относительно импульсов исходной ПППИ, в соответствии с теоремой запаздывания представим в виде

                   SPL_k = К ₁ SPo_k ,         (12.3)

где К ₁ – масштабный коэффициент дополнительной ПППИ, определяемый в результате решения уравнения (12.1) относительно К ₁;

, k = 0, 1, 2,….

Соответственно, спектр дополнительной ПППИ, импульсы которой смещены вправо на интервал τ ₁ относительно импульсов исходной ПППИ, описывается выражением

                   SPR_k = К ₁ SPo_k ,             (12.4)

В силу линейности преобразования Фурье спектр ИССФ, образованного совокупностью импульсов исходной ПППИ и двух дополнительных ПППИ, можно определить, суммируя выражения (12.2) – (12.4).

              SPISSF1_k = SPo_k+SPL_k+SPR_k.                              (12.5)

После подстановки в (12.5) соответствующих значений из (12.2) – (12.4) и преобразования получим

SPISSF1_k= .                     (12.6)

Заменим сумму комплексных экспонент в соответствии с формулой Эйлера

     SPISSF1_k = .                                          (12.7)

Выражение (12.7) устанавливает связь комплексных амплитуд спектральных составляющих ИССФ с амплитудами одноименных спектральных составляющих исходной ПППИ для случая, когда в спектре ИССФ подавлена одна любая спектральная зона.

В общем случае при формировании ИССФ с участием n пар дополнительных ПППИ выражение, связывающее спектр ИССФ и спектр исходной ПППИ, имеет вид

              SPISSFn_k = .                         (12.8)

На основании (12.8) связь значений амплитуд спектральных составляющих ИССФ с амплитудами спектральных составляющих исходной ПППИ можно представить в виде

                        .                       (12.9)

При равенстве нулю амплитуды k -й спектральной составляющей ИССФ выражение (12.9).

На основании (12.9) и получено приведенное выше условие (12.1) подавления n спектральных зон ИССФ в виде

                           .                        

Подавление симметричных спектральных составляющих

Амплитуда k -й спектральной составляющей ИССФ в соответствии с (12.9) может быть равна нулю, если выполняются условия: при K_i> 0cos ω_kτ_i< 0 или при K_i < 0cos ω_kτ_i> 0.

Косинус может иметь одно и то же значение при двух значениях аргумента: α и – α.

Выразим ω_k  через период дискретизации:

              , k =1, 2,…,.

Тогда  и . Значения переменной k, при которых Ao_k обращается в ноль, и счет гармонических составляющих, отличных от нуля, начинается как бы заново, имеют период , поэтому  и , где  – целое число. Так как cos(2πC–α) = cosα, то при равенстве нулю амплитуды k -й спектральной составляющей ИССФ равна также нулю амплитуда -й спектральной составляющей.

Таким образом, если сдвиг τ _i импульсов дополнительных ПППИ относительно импульса исходной ПППИ кратен длительности импульсов τ, то кроме k -й гармонической составляющей в каждом лепестке спектра периодического ИССФ будут подавлены составляющие, расположенные симметрично относительно частот, кратных частоте опроса, имеющих значения m/τ, m =1, 2, … Номера этих составляющих определяются выражением

                                 .                                          (12.10)

В случае подавления первых n спектральных составляющих, в соответствии с вышеизложенным, происходит также подавление n составляющих, лежащих слева от частот m/τ, m =1,2,…, и n составляющих, лежащих справа от этих частот. Таким образом, в каждом спектральном лепестке будет подавлено

                                          q = 2n                                              (12.11) спектральных зон.