Итак, модель постоянного роста

P_A=DIV₀(1+g)/(r-g)                                                                    (41)

Т.к. DIV₀(1+g)= DIV₁, выражение (41) может быть при необходимости заменено равносильным

P_A=DIV₁/(r-g)                                                                       (42)

ПРИМЕР. За прошедший год компания выплатила дивиденды в размере 5 д.е. Ожидаемые дивиденды будут расти на 8% в год в течение неопределенного срока. Ожидаемая доходность=12%. Рыночный курс акции составляет 160 д.е. определить ожидаемые дивиденды и справедливую стоимость акции и дать ей оценку.

DIV₀=5.

DIV₁=5(1+0,08)=5,4.

P_A=160 д.е., r=0,12.                                     

Инвестиционная стоимость

P_A=DIV₁/(r-g) = 5,4/(0,12-0,08)=135.

Акция переоценена, т.к. рыночный курс 160 д.е., а теоретически она составляет 135 д.е. Следовательно, ее надо продавать, т.к. в будущем курс акции будет падать.

Модель Гордона дает очень простую формулу, но имеет существенные ограничения:

- модель предполагает дисконтирование поступающих дивидендов вплоть до бесконечности, поэтому формула (41) очень чувствительна даже к небольшим изменениям исходных данных;

- r должно быть обязательно выше g, иначе цена акции станет неопределимой. При r > g темп прироста дивидендов может в какой-то момент превысить требуемую норму отдачи акции, чего не может быть.

- дивиденды должны выплачиваться регулярно, иначе модель Гордона неприменима;

- требование иеизменности величин r и g вплоть до бесконечности ограничивает структуру капитала фирмы: необходимо предполагать, что единственным источником финансирования фирмы являются ее собственные средства и отсутствуют иные внешние источники.

Вместе с тем, хотя модель Гордона ограничена таким количеством допущений, она очень распространена из-за своей простоты и наглядности.

Равенство (41) используется для вычисления доходности акций. Вместо P_а  подставляется фактический рыночный курс и получаем

Y = Div₀ (1+g) / P_a + g или Y = Div₁  / P_a + g                            (43)

Модель постоянного роста (Гордона), в свою очередь, является частным случаем модели переменного роста.

Модель переменного роста.

Главная особенность модели – это существование момента времени в будущем (обозначаемого Т), до которого дивиденды изменяются произвольно и после которого ожидается, что дивиденды будут расти постоянным темпом.

Для оценки акции необходимо

- прогнозировать величину дивидендов до периода Т;

- прогнозировать наступление момента Т.

- предугадать темп прироста дивидендов в дальнейшем.

Теоретическая цена акции в этом случае – современная стоимость прогнозируемого потока дивидендов, которая состоит из 2-х частей: до и после момента Т.

P_A = P_{T -} + P_{T +}.

P_T- - цена акции до периода Т;

P_T+ - цена акции после периода Т.

Стоимость потока дивидендов, выплачиваемых до периода Т включительно равна (исходя из общего вида ДДМ):

P_T-=

Заметим, что сумма не бесконечна, и «свернуть» ее невозможно.

  P_T+=[DIV_T+1/(r-g)]*1/(1+r)^T.

Первый сомножитель представляет собой модель постоянного роста, а второй является дополнительным дисконтированием к текущему моменту от момента Т.

P_T+можно рассматривать как единовременное вознаграждение, равноценное потоку дивидендов после периода Т, т.е. в момент Т P_{T +} эквивалентно потоку дивидендов (DIV_T+1, DIV_T+2 …).

Ожидаемые дивиденды после Т необходимо дисконтировать 2 раза:  сначала на момент Т и затем привести стоимость ожидаемых дивидендов после Т к начальному моменту (t=0) за время Т по ставке r.

Таким образом, модель переменного роста имеет следующий вид:   

P_A = P_{T -} + P_{T +} = +                             (44)

 

ПРИМЕРКомпания выплачивала дивиденды в размере 15 д.е. на 1 акцию. В следующем году ожидаемые дивиденды составят 18 д.е. на 1 акцию. Еще через год ожидаемые дивиденды составят 19 д.е. Начиная с этого момента по прогнозам ожидаемые дивиденды будут расти постоянным темпом 10% в год. Требуемая доходность 14%. Текущий курс акции = 431 д.е.

Определить: 1) темпы прироста дивидендов до момента Т;

2) ожидаемые дивиденды с момента Т, т.е. в третьем году;

3) внутреннюю стоимость акции и дать ей оценку.

DIV₀=15 д.е.;

DIV₁=18 д.е.;

DIV₂=19 д.е.,

g₃=10%,

Т=2,

r=14%,

P_рын=431 д.е.

1. g₁=(18-15)/15=0,2 или 20%.

g₂=(19-18)/18=0,05 или 5%.

2. DIV₃= DIV₂(1+ g₃)=19(1+0,1)=20,9.

3. P_A = 18/(1+0,14)¹ + +19/(1+0,14)²+20,9/(0,14-0,1)(1+0,14)²=432,46.

Текущий курс является справедливым, акции оценены приблизительно правильно, т.к. разница между теоретической и рыночной ценой невелика.

К сожалению, для вычисления доходности составить равенство, исходя из (26), не получится. Доходность по модели переменного роста устанавливается путем подбора подходящего значения Y, уравнивающего поток платежей с фактическим рыночным курсом.

Модель переменного роста может рассматривать более двух временных интервалов, важно, чтобы последним был бесконечный период с постоянным темпом роста дивидендов. В частности, имеет распространение трехэтапная модель дисконтирования дивидендов.

Общая идея ее такова: компании проходят три фазы развития аналогично понятию жизненного цикла продукта. В фазе роста доходы компании растут быстро, т.к. она производит новый продукт и расширяет свой рынок.

В переходной фазе темп роста доходов компании снижается до общего уровня роста экономики.

В фазе зрелости доходы растут с общим темпом роста экономики. Модель основана на предположении, что в каждой фазе действует соответствующая ставка g (т.е.темп роста). Данная модель является частным случаем модели переменного роста.

В целом все разновидности DDM основываются на прогнозе ожидаемых дивидендов и темпов их роста.

3. Модели дисконтирования денежных потоков (DCF)

Модель дисконтированного денежного потока (Discounted Cash Flow – DCF) является ключевым элементом методики оценки стоимости бизнеса, а также пакета акций фирмы.

Оценка стоимости бизнеса методом DCF основана на предположении о том, что потенциальный покупатель не заплатит за данное предприятие сумму, большую, чем текущая стоимость будущих доходов от бизнеса этого предприятия. Собственник, скорее всего, не продаст свой бизнес дешевле текущей стоимости прогнозируемых будущих доходов. В результате взаимодействия, стороны придут к соглашению о цене, равной текущей стоимости будущих доходов предприятия.

Оценка состоит из следующих этапов [5]:

* Выбор модели денежного потока.
* Определение длительности прогнозного периода.
* Ретроспективный анализ и прогноз валовой выручки.
* Прогноз и анализ расходов.
* Прогноз и анализ инвестиций.
* Расчет денежного потока для каждого прогнозного года.
* Определение ставки дисконта.
* Расчет величины стоимости в постпрогнозный период.
* Расчет текущих стоимостей будущих денежных потоков и стоимости в постпрогнозный период.
* Внесение итоговых поправок.

Выбор модели денежного потока зависит от того, необходимо различать собственный и заемный капитал или нет. Разница состоит в том, что проценты на обслуживание заемного капитала могут выделяться как расходы (в модели денежного потока для собственного капитала) или учитываться в составе потока доходов (в модели для всего инвестированного капитала), соответственно меняется величина чистой прибыли.

Длительность прогнозного периода в странах с развитой рыночной экономикой обычно составляет 5 – 10 лет, а в странах с переходной экономикой, в условиях нестабильности, допустимо сокращение прогнозного периода до 3 – 5 лет. Как правило, в качестве прогнозного берется период, продолжающийся до тех пор, пока темпы роста предприятия не стабилизируются (предполагается, что в постпрогнозный период имеет место стабильный темп роста).

Ретроспективный анализ и прогноз валовой выручки требует рассмотрения и учета целого ряда факторов, основные среди которых – это объемы производства и цены на продукцию, спрос на продукцию, ретроспективные темпы роста, темпы инфляции, перспективы капвложений, ситуация в отрасли, доля предприятия на рынке и общая ситуация в экономике. Прогноз валовой выручки должен быть логически совместим с ретроспективными показателями бизнеса предприятия.

Прогноз и анализ расходов. На данном этапе оценщик должен изучить структуру расходов предприятия, в особенности соотношение постоянных и переменных издержек, оценить инфляционные ожидания, исключить единовременные статьи расходов, которые не встретятся в будущем, определить амортизационные отчисления, рассчитать затраты на выплату процентов по заемным средствам, сравнить прогнозируемые расходы с соответствующими показателями у конкурентов или среднеотраслевыми.

Прогноз и анализ инвестиций включает три основных компонента: собственные оборотные средства («рабочий капитал»), капвложения, потребности в финансировании и осуществляется, соответственно, на основе прогноза отдельных компонентов собственных оборотных средств, на основе оцененного остающегося срока службы активов, на основе потребностей в финансировании существующих уровней задолженности и графиков погашения долгов.

Расчет денежного потока для каждого прогнозного года может производится двумя методами – косвенным и прямым. Косвенный метод анализирует движение денежных средств по направлениям деятельности. Прямой метод основан на анализе движения денежных средств по статьям прихода и расхода, т.е. по бухгалтерским счетам.

Определение ставки дисконта зависит от того, какой тип денежного потока используется в качестве базы. Для денежного потока для собственного капитала применяется ставка дисконта, равная требуемой собственником ставке отдачи на собственный капитал; для денежного потока для всего инвестированного капитала применяется ставка дисконта, равная сумме взвешенных ставок отдачи на собственный капитал и заемные средства, где в качестве весов выступают доли заемных и собственных средств в структуре капитала.

Для денежного потока для собственного капитала наиболее распространенными методами определения ставки дисконта являются метод кумулятивного построения и модель оценки капитальных активов. Для денежного потока для всего инвестированного капитала обычно используют модель средневзвешенной стоимости капитала.

При определении ставки дисконта кумулятивным методом за базу расчетов берется ставка дохода по безрисковым ценным бумагам, к которой прибавляется дополнительный доход, связанный с риском инвестирования в данный вид ценных бумаг. Затем вносятся поправки (в сторону увеличения или уменьшения) на действие количественных и качественных факторов риска, связанных со спецификой данной компании.

Расчет величины стоимости в постпрогнозный период производится в зависимости от перспектив развития бизнеса в постпрогнозный период, при этом используются следующие методы:

* метод расчета по ликвидационной стоимости (если в постпрогнозный период ожидается банкротство компании с последующей продажей активов);

* метод расчета по стоимости чистых активов (для стабильного бизнеса со значительными материальными активами);

* метод предполагаемой продажи (пересчет прогнозируемого денежного потока от продажи в текущую стоимость);

* метод Гордона (доход первого постпрогнозного года капитализируется в показатели стоимости с помощью коэффициента капитализациии, рассчитанного как разница между ставкой дисконта и долгосрочнными темпами роста).

Расчет текущих стоимостей будущих денежных потоков и стоимости в постпрогнозный период производится суммированием текущих стоимостей доходов, которые приносит объект в прогнозный период и текущей стоимости объекта в постпрогнозный период.

Внесение итоговых поправок - обычно, это поправки на нефункциональные активы (активы, которые не принимают участия в извлечении дохода) и на фактическую величину собственного оборотного капитала. Если оценивается неконтрольный пакет акций, то необходимо сделать скидку на отсутствие контроля.

Метод дисконтированных будущих денежных потоков используется, когда ожидается, что будущие уровни денежных потоков предприятия существенно отличаются от текущих, когда можно обоснованно определить будущие денежные потоки, прогнозируемые будущие денежные потоки являются положительными величинами для большинства прогнозных лет, и, ожидается, что денежный поток в последний год прогнозного периода будет значительной положительной величиной. Другими словами, этот метод более применим к приносящим доход предприятиям, имеющим определенную историю хозяйственной деятельности, с нестабильными потоками доходов и расходов.

Метод DCF в меньшей степени применим к оценке бизнеса предприятий, терпящих систематические убытки (хотя и отрицательная величина стоимости бизнеса может быть аргументом для принятия того или иного решения). Следует также соблюдать определенную осторожность в применении этого метода при оценке бизнеса новых предприятий, т.к. отсутствие ретроспективы прибылей затрудняет объективное прогнозирование будущих денежных потоков.

Метод DCF – весьма сложный и трудоемкий процесс, однако во всем мире он признан как наиболее теоретически обоснованный метод оценки бизнеса действующих предприятий. Главное достоинство метода заключается в том, что он единственный из известных методов оценки, который основан на перспективах развития рынка в целом и предприятия в частности, а это в наибольшей степени отвечает интересам инвесторов.

4.Модели оценки, базирующиеся на анализе мультипликаторов (коэффициентные)

Коэффициентные модели оценки стоимости акций  также основаны на методе капитализации дохода, но в качестве исходных данных используют финансовые коэффициенты, характеризующие деятельность компании. Метод коэффициентов может повысить точность оценки, полученной по DDM.

Из показателя EPS_t (чистая прибыль на одну обыкновенную акцию) и показателя P/E (цена акции/прибыль на акцию), который имеет место в аналогичном бизнесе, или в целом по отрасли, получают приблизительную. оценку инвестиционной стоимости:

PV _a ≈ EPS_t P/E _отр                                                                                    

Далее, через EPS_t выражается величина дивидендов:

Div_t = EPS_t (1 – RR_t)                                                                 (45)  

где RR_t – доля прибыли, реинвестируемой в производство.

Теперь используем простые формулы оценки стоимости акции: (37) записывается как

PV _a =                                                    (46)

EPS_t  увеличивается со временем, с темпом внутреннего роста компании

g = RR ROE                                                                       (47)

где ROE – доходность акционерного капитала (чистая прибыль за год/капитал, принадлежащий владельца обыкновенных акций). Рост EPS_t происходит в результате реализации доходных инвестиционных проектов, а также при выкупе акций (ведь будущая прибыль будет делиться между меньшим количеством собственников).

Исходя из (47)

EPS_t  = EPS₀ (1+ RR ROE)^t                                                      (48)

Если часть прибыли реинвестируется в производство (т.е. RR > 0), то подстановкой (48) в (45) получим

Div_t = EPS ₀ (1+ RR ROE) ^t (1 – RR_t)                                     (49)

Это означает, что на выплату дивиденда остается прибыль на одну акцию, но за вычетом реинвестированной.

Таким образом,
      PV _a =                          (50)  

 

Любая модель дисконтирования дивидендов может быть представлена в терминах финансовых коэффициентов.

Таким образом, оценка бизнеса предприятий (оценка стоимости пакетов акций, паев, долей в капитале компаний, а также имущественных комплексов) основана на предположении, что каждому предприятию присуща его “истинная внутренняя ценность” (“обоснованная рыночная стоимость”, “фундаментальная действительная ценность”, “экономически справедливая стоимость” и т.п. ), для усредненного (рыночного) покупателя, которая может быть вычислена на основе его финансовых характеристик, перспектив роста (замедления) развития как самого предприятия, так и его конкурентов, а также экономики страны в целом, материальных и нематериальных активов предприятий, рискованностью вложения денежных средств в данное предприятия, других показателей.

Потребность в профессиональной оценке рыночной стоимости акций российских предприятий существенно увеличилась за последние годы. Появились основания оценки, определенные действующим законодательством: реструктуризация, преобразование, слияние акционерных обществ, конвертация, консолидация, дробление акций, внесение в уставный капитал и т.д.

Заметим, однако, что получение точной оценки практически невозможно: во-первых, для разных целей и разных покупателей ценность предприятия может быть различна. Во-вторых, что более важно, результат оценки прямо зависит от качества доступных данных.

В России модели, с помощью которых оценщики пытаются выяснить “истинную ценность фирмы” классифицируются по трем категориям (подходам), которые официально утверждены в российских стандартах оценки:

1. Модели, основанные на предсказании будущего - доходный подход. Они соотносят ценность актива с текущей ценностью ожидаемых в будущем (предсказываемых) денежных потоков, приходящихся на данный актив, основной моделью этого типа является – оценка дисконтированных денежных потоков в различных модификациях (метод DCF).

Метод наиболее популярен, все дивидендные модели основаны на прогнозе денежных потоков предприятия. Однако, DCF весьма чувствителен к прогнозируемой стоимости выпускаемой продукции. В условиях российской нефтезависимой экономики, когда мировые цены на нефть влияют на цену большинства промышленных товаров, точность оценки существенно страдает.

В России “расчеты для “Энергетической стратегии до 2030 г.” устарели через год после ее принятия” (газета “Ведомости”, 28.08.2006, http://www.au92.ru/msg/20060928_62qyvym.html).

2.Модели, основанные на настоящем – сравнительный подход. Эти модели определяют ценность актива, в сравнении его со сходными активами, цена которых уже известна.

Оценка не представляет сложности, если акции активно торгуются на организованных площадках. Но большинство акций российских корпораций не котируются, или имеют место единичные сделки.

3.Модели, основанные на прошлом – затратный подход (модели оценки на основе активов). “Истинную ценность актива” измеряют на основе понесенных в прошлом затрат на создание составных частей актива, переведенных в текущие цены за вычетом обесценивания этих частей актива с течением времени либо на основе ликвидационной стоимости, получаемой посредством суммирования оцененной выручки от продажи активов, принадлежащих оцениваемой компании.

    В большинстве отраслей значительный износ основных фондов требует радикальной модернизации производства и, соответственно, инвестиций. Реальная рыночная стоимость активов существенно ниже, чем затраты, требуемые для их воссоздания.

Отдельной проблемой является оценка рыночной стоимости привилегированных акций. Дело в том, что рынок привилегированных акций в России имеет низкий уровень ликвидности: они мало покупаются и продаются. Кроме того, по степени риска вложений привилегированные акции занимают промежуточное положение между обыкновенными акциями и долговыми обязательствами акционерного общества. Следовательно, ставка привлечения капитала за счет выпуска привилегированных акций должна быть меньше ставки привлечения акционерного капитала за счет выпуска обыкновенных акций, но превышать уровень доходности выпущенных обществом облигаций (или ставку привлечения долгосрочного кредита).

Общепринятой рекомендацией является: при определении ставки дисконтирования в качестве затрат на привлечение капитала за счет выпуска привилегированных акций использовать норму их дивидендной доходности. Однако такой подход возможен только в случае оценки давно и устойчиво функционирующего предприятия, занявшего определенную нишу на традиционном и развитом рынке в условиях стабильной экономики. Примером могут служить энергоснабжающие компании (Utilities) в США или Англии, прибыли которых отличаются высокой предсказуемостью и их большая часть выплачивается в виде дивидендов акционерам. Но в тех случаях, когда компания находится на стадии роста, расширяет рынки сбыта, осуществляет инвестиции с целью дальнейшего развития или функционирует в нестабильных экономических условиях, данный способ приводит к явному занижению ставки дисконтирования.

При выборе подхода к оценке привилегированных акций необходимо учитывать, что структура предприятий, капиталов, а главное - собственников, определенная изначально приватизационными особенностями, у нас еще не вполне устоялась.

С обсуждением проблем применения различных методов оценки акций в России Вы можете познакомиться на http://old/appraiser.ru.

Использованная и рекомендуемая литература

1. Федеральный Закон об акционерных обществах (с изменениями на 30 декабря 2008 г.)

2. Лукасевич И.Я. Финансовый менеджмент: Учебник. – М.: ЭКСМО, 2007. – 768 с.

3. 4. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. Пер. с англ. - М.: Инфра-М, 1997. - 1024 с.

4. Фабоцци Ф.Дж. Управление инвестициями.- М.: Инфра-М, 2000. – 931 с.

5. http://old/appraiser.ru

Тема 4. Портфельная теория и модели оценки стоимости финансовых активов (4 часа)

1.Понятие инвестиционного портфеля, принципы и этапы его формирования,

инвестиционные характеристики портфелей

2.Эффективная диверсификация и оптимальный портфель

3. Модель ценообразования финансовых активов САРМ

4.Модель арбитражного ценообразования АРТ

1.Понятие инвестиционного портфеля, принципы и этапы его формирования,

инвестиционные характеристики портфелей

Основная цель портфельного инвестирования – придать совокупности финансовых активов такие инвестиционные характеристики, которые недостижимы для отдельно взятой ценной бумаги и возможны только при их комбинации. Соответственно, портфелем является не любой набор активов, а лишь сформированный в сознательно определенной пропорции для достижения конкретной цели инвестора. Пропорции, в которых представлены финансовые активы, называются структурой портфеля.

Три главных принципа формирования инвестиционных портфелей подразумевают:

- распределение капитала между несколькими активами (диверсификация);

- такое соотношение между высоконадежными и рискованными долями, чтобы возможные потери от рискованной доли с высокой вероятностью покрывались доходами от надежных активов (надежность);

- поддержание такой доли быстрореализуемых активов в портфеле, чтобы иметь возможность быстро реагировать на отдельные выгодные предложения, а также рассчитываться с клиентами, желающими вывести капитал из инвестиционных операций (ликвидность).

Выбор активов для портфельного инвестирования зависит от целей инвестора и его отношения к риску.

Цели консервативного инвестора – обеспечить безопасность вложений, такой инвестор предпочтет низкодоходные ценные бумаги с минимальным риском;

Инвесторы умеренного типа готовы идти на минимальный риск, приобретая кроме государственных облигаций долговые обязательства и акции крупных корпораций;

Агрессивный инвестор ориентирован на высокую доходность и готов вкладывать средства в рискованные активы, быстро менять структуру портфеля, проводя спекулятивную игру на курсах ценных бумаг. В портфеле такого инвестора - обыкновенные акции, фьючерсы и опционы.

Таким образом, цели инвестора определяют тип портфеля - его обобщенную инвестиционную характеристику с точки зрения доходности и риска. Типы и виды инвестиционных портфелей приведены в таблице.

 

                                                             Таблица 4

Тип/вид портфеля	Цель	Объекты инвестирования	Доходность и риск
Портфели роста	Прирост капитала за счет роста курса ценных бумаг. Получение дивидендов и процентов целью не ставится	Преимущественно акции
агрессивного роста	Максимизация прироста капитала	Акции молодых быстрорастущих компаний, с высокой степенью риска и быстрой оборачиваемостью активов, акции венчурных компаний	Доходность и риск высокие
Тип портфеля	Цель	Объекты инвестирования	Доходность и риск
консервативного роста	Невысокие, но устойчивые темпы прироста капитала	Акции хорошо известных, крупных и стабильных компаний – «голубых фишек»	Доходность и риск низкие
умеренного роста	Средний темп прироста	Сочетание надежных акций 1-го и 2-го эшелонов с рисковыми фондовыми инструменты с повышенным доходом, состав которых все время обновляется. Для страхования инвестиций от потерь в портфель включаются опционные контракты.	Сочетают свойства предыду-щих видов портфелей
Портфели дохода	Получение текущего дохода	Надежные ценные бумаги, курсовая стоимость которых растет медленно, а текущие выплаты высокие: корпоративные облигации,  акции с высокими дивидендами государственные долговые обязательства и др.	Уровень доходности соответствует уровню риска, приемлемо-го для инвестора
портфели денежного рынка	Гарантированное сохранение капитала	Денежная наличность и быстрореализуемые активы – краткосрочные ценные бумаги.	Доход средний, риск низкий
портфели регулярного дохода	Получение дохода в виде процентов и дивидендов при минимальном риске	Краткосрочные и долгосрочные долговые инструменты	Доход средний, риск низкий
конвертируемые портфели	Возможность переориентации капитала при изменении доходности	Конвертируемые акции и облигации	Доход средний, риск низкий
Портфели двойного назначения (роста+дохода)	Одновременное увеличение капитала при получении текущего дохода; сохранение капитала при падении курсов и снижении процентных выплат	Доходные обыкновенные и привилегированные акции, облигации. Одна часть портфеля приносит высокий текущий доход, другая обеспечивает прирост капитала. Потеря дохода в одной части портфеля может покрываться ростом доходности другой его части.	Доход и риск от низкого до умеренного
Специальные портфели	Конкретные цели отдельных инвесторов	Ценные бумаги предприятий определенной отрасли или региона, и т.д.

 

Качество портфеля определяется его инвестиционными характеристиками – риском и доходностью.

Поскольку портфель – это комбинация активов, ожидаемая доходность и риск портфеля должны зависеть от ожидаемой доходности и риска каждой ценной бумаги, входящей в портфель.

Доходность портфеля за определенный период является средневзвешенной доходностей его составляющих. В качестве весов используются относительные пропорции ценных бумаг, входящих в портфель.

R_p= w₁R₁ + w₂R₂ +…w_NR_N= Σw_iR_i,                                         (51)

где R_p – доходность портфеля за определенный период;

W_i – удельный вес i-ой ценной бумаги в портфеле;

R_i – доходность i-ой ценной бумаги;

N – количество видов ценных бумаг в портфеле.

Для управления портфелем необходимо знать ожидаемую доходность. Она определяется аналогично – как средневзвешенная сумма ожидаемых доходностей ценных бумаг, входящих в портфель. Для их определения необходимо располагать набором прогнозных доходностей и оценкой вероятности их осуществления. Тогда

E (R_i) = p ₁ r ₁ + p ₂ r ₂ +… p_N r_N = Σp_i r_i                                                      (52)

где р₁, р_2,… p_N – вероятность реализации доходности i-го актива;

r ₁, r _2,… r _N – возможное значение доходности для i-го актива;

N – количество прогнозов.

Таким образом, ожидаемая доходность актива определяется как сумма всех возможных значений доходности, умноженная на соответствующую вероятность их получения. Получаемые таким образом значения – результат усреднения.

Риск финансового актива – это мера возможных отклонений доходности от ожидаемого среднего значения. Традиционно риск измеряется стандартным (среднеквадратичным) отклонением:

σ _i =√ Var (R_i)                                                                                             (53)

где Var (R_i) – вариация (дисперсия) доходности i-го актива

Var(R_i) = p₁ [r₁ - E(R₁)]² + p₂ [r₂ - E(R₂)]² + … + p_n [r_n - E(R_n)]²           (54)

Логично предположить, что риск портфеля, как и доходность, зависит от вариаций составляющих его активов. Однако Г. Марковицем было доказано, что риск портфеля в значительной степени определяется согласованностью колебаний доходности его составляющих. Степень взаимосвязи выражается показателем ковариации - статистической мерой взаимодействия двух случайных переменных:

 = 1/n Σ(x_i – E(x))(y_i – E(y))                                                      (55)

Положительная ковариация означает, что доходности обоих активов изменяются в среднем в одном направлении.

Отрицательная ковариация показывает, что доходности обоих активов изменяются в противоположных направлениях, т.е. доходности имеют тенденцию компенсировать друг друга.

Относительно небольшое или нулевое значение ковариации показывает, что связь между доходностями этих ценных бумаг слаба либо отсутствует.  

Это одна из идей, лежащих в основе современной портфельной теории.

Так, вариация доходности портфеля их двух активов равна взвешенной сумме вариаций доходности двух активов и их ковариации.

Var(R_p)=w_x² var(R_x)² + w_y² var(R_y)² + 2 w_x w_y                                     (56)

где x и y – активы, составляющие портфель.

В общем случае риск портфеля рассчитывается как взвешенная сумма ковариаций всех пар активов в портфеле. Каждая ковариация взвешивается на произведение весов каждой пары соответствующих активов, а ковариация актива «с самим собой» совпадает с его вариацией (дисперсией).

 

                                             (57)

 Ковариация между двумя ценными бумагами может быть нормирована их стандартными отклонениями. Результатом нормирования является коэффициент корреляции

,                                                                                               (58)

изменяющийся в диапазоне от (-1) до 1.

Коэффициент корреляции, равный 1 означает полное совпадение направления изменения доходностей. Формирование портфеля приведет лишь к усреднению риска. При нулевой корреляции риск портфеля будет ниже, чем риск отдельных активов (это несложное доказательство приведено в [2],[3] и [4]).

Если коэффициент корреляции равен -1 (полное несовпадение) риск портфеля может быть сведен к нулю (попробуйте доказать самостоятельно). Чаще всего корреляция находится между 0 и 1. Включение в портфель активов с возможно более низкой корреляцией позволяет снизить его совокупный риск без потери доходности.

Такая диверсификация, учитывающая взаимосвязь доходности активов, называется «диверсификацией по Марковицу» или эффективной.

 

2.Эффективная диверсификация и оптимальный портфель

 

Начало современной теории инвестиционного портфеля было заложено в статьях американских экономистов Гарри Марковица (1952 г.), Уильяма Шарпа (1964 г.) и Джона Литтнера (1965 г.).

С появлением портфельной теории формирование портфеля с широкой отраслевой диверсификацией, основанное на техническом и фундаментальном анализе, стали называть «традиционным подходом». Современный подход, основанный на идеях Г. Марковица, связан с проблемой выбора эффективного портфеля, обеспечивающего при заданном уровне риска максимальную доходность.

Инвесторы выбирают инвестиционный портфель исходя из ожидаемой доходности и риска, а также с учетом отношения инвестора к доходности и риску, который описывается функцией полезности. В графической форме функцию полезности отражают кривые безразличия. По оси Х отмечается риск портфеля (σ_р), а по оси Y – ожидаемая доходность портфеля Е(R_р). Точки на кривых безразличия отражают значения риска и доходности для конкретного уровня полезности. Сочетания риска и дохода, расположенные на одной кривой, означают одинаковую полезность для инвестора. 

Наклон кривой безразличия отражает степень толерантности (терпимости) инвестора к риску. На рисунке 1 изображены кривые безразличия рационального инвестора, желающего за увеличение риска получать больший доход, и лишь при этом условии признающего портфели А и В равноценными.

Портфели, инвестиционные характеристики которых лежат на более высокой кривой I₁, всегда более предпочтительны (С лучше всех остальных), ведь девиз любого рационального инвестора – «больше доходность, меньше риск».

 

Рис.11. График кривых безразличия рационального инвестора [4]

 

Допущение рациональности выбора является основным в портфельной теории Марковица. Дополнительно допускается:

-все инвестиционные решения, связанные с формированием портфеля принимаются на конечный «период владения»;

- инвестиционный рынок является эффективным, т.е. все инвесторы имеют одинаковый доступ к информации, вся значимая информация находит отражение в текущих ценах активов;

- при формировании портфеля осуществляется отбор только рисковых финансовых активов;

 - транзакционные издержки и налоги, связанные с куплей и продажей ценных бумаг, в расчет не принимаются.

Как видно из рисунка 1, инвестору приходится рассматривать множество комбинаций. Даже из двух активов можно составить сто портфелей, изменяя пропорции на 1 процент. Множество допустимых портфелей поистине бесконечно. Согласно теореме Марковица об эффективном множестве, инвестор будет рассматривать лишь небольшую их часть.

Терема об эффективном множестве.

Инвестор выберет оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых:

а) обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска;

б) обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.

Таким