Спонтанное и вынужденное излучение, поглощение.

 

Для описания явления спонтанного излучения (рис. 5.1а) рассмотрим два энергетических состояния, 1 и 2, некоторого атома или молекулы данного вещества, с энергиями соответственно Е₁ и Е₂ (Е₁ < Е₂). С точки зрения последующего рассмотрения это может быть любая пара из неограниченного набора состояний, характерных для данного атома. Удобно, однако, принять состояние 1 за основное. Предположим, что первоначально атом находится в состоянии 2. Поскольку Е₂> Е₁, то атом будет стремиться перейти в состояние 1. В результате такого перехода атом должен выделить энергию, равную разности (Е₂ – Е₁), называемой иногда энергией перехода. Когда эта энергия выделяется в виде электромагнитной волны, процесс называют спонтанным излучением.

 

Рис. 5.1. Схематическая иллюстрация трёх процессов: (а) спонтанного излучения, (б) вынужденного излучения, (в) поглощения.

 

При этом частота v₀ излученной волны выражается хорошо известным соотношением:

v₀ = (Е₂ – Е₁)/h,                                                                               (5.1)

 

в котором h — постоянная Планка. Таким образом, спонтанное излучение характеризуется испусканием фотона с энергией hv₀ = (Е₂ – Е₁) при переходе атома из состояния 2 в состояние 1 (рис 5.1а). Отметим, что излучение фотона является для атома только одним из двух возможных способов перейти из одного состояния в другое. Такой переход может произойти также и без излучения фотона. В этом случае энергия перехода (Е₂ – Е₁) выделяется в иной, отличной от электромагнитного излучения, форме (например, избыток энергии может перейти в кинетическую или внутреннюю энергию окружающих атомов или молекул). Такой процесс называют безызлучательным переходом, или безызлучателъной состоянии 2, и дезактивацией. Предположим теперь, что атом первоначально находится в

при этом на среду падает электромагнитная волна с частотой v = v₀, равной частоте волны, которая испускалась бы при спонтанном переходе 2→1 (рис.5.1,б). Поскольку частоты этих двух волн одинаковы, оказывается, что существует конечная вероятность того, что падающая волна вызовет переход атома из состояния 2 в состояние 1. В этом случае энергия (Е₂ – Е₁) выделится в виде электромагнитного излучения, которое добавится к падающему. В этом и заключается явление вынужденного излучения, иногда называемого также индуцированным излучением. Между процессами спонтанного и вынужденного излучения существует принципиальное различие. В случае спонтанного излучения различные атомы испускают электромагнитные волны, никак не связанные по фазе друг с другом. Более того, каждая из этих волн может быть испущена в любом направлении. В случае же вынужденного излучения, поскольку этот процесс вызывается падающей электромагнитной волной, волна, испущенная любым из атомов, добавляется к падающей, имея одинаковую с ней фазу и распространяясь в том же направлении.

Предположим теперь, что атом первоначально находится в состоянии 1 (рис. 5.1, в). Если это состояние — основное, то атом будет оставаться в нем до тех пор, пока не появится какое-либо действующее на него внешнее возмущение. Пусть на среду падает электромагнитная волна с частотой v= v₀. В этом случае существует конечная вероятность того, что атом перейдет в верхнее состояние 2. Энергия (Е₂ – Е₁), которая потребуется атому, чтобы осуществить этот переход, будет при этом заимствована из энергии падающей электромагнитной волны. В этом заключается процесс поглощения.

Для того чтобы ввести определения вероятностей описанных процессов излучения и поглощения, обозначим через N_i число атомов (или молекул) в единице объема, которые в момент времени t находятся в данном состоянии i. Далее величину N_i будем называть населенностью состояния (или соответствующего уровня) i.

В случае спонтанного излучения определить вероятность перехода можно исходя из утверждения, что скорость уменьшения населенности верхнего состояния (dN₂/dt)_sp должна быть пропорциональна населенности N₂.

Следовательно, можно записать:

 

,                                                                            (5.2)

 

где знак минус означает, что населенность уменьшается со временем. Введенный таким образом коэффициент А является положительной константой, называемой вероятностью спонтанного излучения для перехода, либо вероятностью спонтанного излучательного перехода (в единицу времени), или коэффициентом Эйнштейна А (выражение для А было впервые получено Эйнштейном из термодинамических соображений). Величину t_sp = 1/А называют временем жизни при спонтанном излучении, или излучательным временем жизни для перехода. Аналогичным образом выражение для скорости уменьшения населенности верхнего состояния за счет безызлучательной дезактивации можно, вообще говоря, записать в виде

 

 ,                                                                               (5.3)

 

где  называют безызлучательным временем жизни для перехода. Отметим, что в случае спонтанного излучения значение величины А (а также величины ) определяется только свойствами конкретно взятого перехода. Напротив, при безызлучательном переходе  зависит не только от свойств перехода, но и от параметров окружающей атом среды.

Перейдем, по аналогии, к вероятностям вынужденных процессов (излучения или поглощения). Для вынужденного излучения можно записать: 

 

,                                                                       (5.4)

 

где (dN₂/dt)_st — скорость переходов 2→1 за счет вынужденного излучения, а W₂₁ — вероятность вынужденного излучения для перехода, или вероятность вынужденного излучательного перехода (в единицу времени). Как и коэффициент А, определяемый соотношением (6.2), коэффициент W₂₁ также имеет размерность (время)^-1. Однако, в отличие от А, величина W₂₁ зависит не только от характеристик конкретного перехода, но и от интенсивности падающей электромагнитной волны. Точнее, для плоской волны можно записать:

 

W₂₁ = σ₂₁F,                                                                                      (5.5)

 

где F — плотность потока фотонов в падающей волне, a σ₂₁ — величина, имеющая размерность площади (ее называют поперечным сечением, или, кратко, сечением вынужденного излучения для перехода, либо сечением вынужденного излучательного перехода) и зависящая от характеристик данного перехода.

По аналогии с (6.4) можно определить вероятность поглощения излучения для перехода, или вероятность вынужденного перехода с поглощением излучения (в единицу времени) W₁₂, используя соотношение

 

,                                                                         (5.6)

 

где (dN₁/dt)_a — скорость переходов 1→2 за счет поглощения, a N₁ –населенность состояния 1. Величину W₁₂ можно выразить соотношением, по виду подобным соотношению (5.5):

W₁₂ = σ₁₂F,                                                                                     (5.7)

где σ₁₂ — некоторая характерная величина с размерностью площади (называемая сечением поглощения для перехода), которая зависит только от свойств рассматриваемого перехода.

Таким образом, вынужденные процессы можно охарактеризовать сечениями вынужденного излучения σ₂₁ и поглощения σ₁₂. Еще в начале XX века Эйнштейн показал, что для невырожденных состояний справедливо равенство W₂₁ = W₁₂ и, следовательно, σ₂₁ = σ₁₂. Если же состояния 1 и 2 соответственно g₁- и g₂-кратно вырождены, то выполняется соотношение

 

g₂ W₂₁ = g₁W₁₂                                                                                                                                (5.8)

откуда следует, что

g₂ σ₂₁ = g₁ σ₁₂                                                                                                                                     (5.9)

 

Отметим, что элементарные акты процессов спонтанного излучения, вынужденного излучения и поглощения могут быть следующим образом описаны на основе представления об излучении и поглощении отдельных фотонов (см. рис. 5.1): (а) в процессе спонтанного излучения атом переходит из состояния 2 в состояние 1, при этом испускается один фотон; (б) в процессе вынужденного излучения один падающий фотон вызывает переход 2 → 1, в результате которого имеются уже два фотона — падающий и испущенный; (в) в процессе поглощения один падающий фотон просто исчезает, вызывая переход 1 → 2. Таким образом, в каждом акте вынужденного излучения происходит рождение, а в каждом акте поглощения — уничтожение одного фотона.

 

Принцип работы лазера.

 

Рис. 5.2 Малое изменение плотности потока фотонов dF в плоской

 

электромагнитной волне при прохождении через тонкий слой вещества толщиной dz

 

Рассмотрим два произвольных энергетических состояния 1 и 2 некоторого вещества и обозначим соответственно через N₁ и N₂ их населенности. Если в данном веществе вдоль оси z распространяется плоская электромагнитная волна с плотностью потока фотонов F (рис.5.2), то малое изменение плотности потока dF в тонком слое толщиной dz (заштрихованная область на рис.5.2) будет обусловлено как процессами вынужденного излучения, так и поглощения. Пусть через S обозначена площадь поперечного сечения пучка. Разность между числами фотонов, покидающих выделенный объем и поступающих в него в единицу времени, будет при этом равна SdF. Поскольку в каждом акте вынужденного излучения рождается, а в каждом акте поглощения уничтожается один фотон, то величина SdF должна равняться разнице между числом актов вынужденного излучения и поглощения, произошедших в рассматриваемом объеме в единицу времени. Используя соотношения (6.4) и (6.6), можно записать: SdF = (W₂₁N₂ – W₁₂N₁)(Sdz), где Sdz — объем заштрихованной области. Отметим, что при выводе этого соотношения не учитывались спонтанные излучательные и безызлучательные переходы, поскольку последние не приводят к рождению новых фотонов, а спонтанно испущенные фотоны не дают вклада в падающую плоскую волну.

Здесь и ниже будем полагать, для простоты, что рассматриваемые состояния либо невырождены, либо имеют одинаковую кратность вырождения (т. е. g₁ = g₂). Из приведенного выше соотношения с помощью (5.5) и (5.7) получаем

 

dF = σF[N₂ – N₁] dz.                                                                        (5.10)

 

Здесь введено обозначение σ₂₁ = σ₁₂ = σ, а параметр σ будет далее называться поперечным сечением перехода.

Из соотношения (5.10) следует, что в случае N₂ > N₁ среда ведет себя как усиливающая (т. е. dF/dz > 0), а в случае N₂ < N₁ — как поглощающая. Известно, что при тепловом равновесии населенности состояний описываются статистикой Больцмана. Так, если  и — равновесные населенности двух состояний, то

 

 ,                                                                       (5.11)

 

где k — постоянная Больцмана, а Т — абсолютная температура среды. Таким образом, видно, что в случае теплового равновесия <  Согласно (6.10) среда при этом должна поглощать излучение на частоте v₀. Именно это и происходит при обычных условиях. Однако если каким-то образом реализуются неравновесные условия, при которых N₂ > N_l, то среда будет вести себя как усилитель. В этих случаях говорят, что в среде существует инверсия населенностей. Имеется в виду, что разность населенностей N₂ – N₁ противоположна по знаку той, которая существует при тепловом равновесии  – 0. Среду, в которой создается инверсия населенностей, называют активной средой.

Если частота перехода v₀ = (Е₂ – Е₁)/h попадает в СВЧ-диапазон, то усилитель такого типа называют мазерным (англ. maser), что является акронимом английского названия соответствующего процесса: Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation — усиление микроволн за счет вынужденного испускания излучения. Если же частота перехода находится в оптическом диапазоне, то усилитель называют лазерным. Соответствующий акроним (англ. laser) получен из предыдущего заменой слова Microwave в названии на Light (свет).

Для того чтобы усилитель превратить в генератор, необходимо дополнить его подходящей положительной обратной связью. В СВЧ-диапазоне это достигается тем, что активную среду помещают в объемный резонатор, имеющий резонанс на частоте v₀. В случае лазерного генератора положительную обратную связь обычно обеспечивают путем размещения активной среды между двумя зеркалами с высоким коэффициентом отражения (например, между плоскопараллельными зеркалами, как показано на рис.5.3).

 

Рис. 5.3. Схематическое изображение лазера

 

При этом плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в среде вдоль направления нормали к плоскостям зеркал, будет поочередно отражаться от них обратно и усиливаться при каждом проходе через активную среду. Если одно их двух зеркал (например, зеркало 2) сделано частично прозрачным, то за этим зеркалом можно получить пучок выходящего из генератора излучения.

Важно понимать, что для работы как мазерных, так и лазерных генераторов требуется выполнение определенного, так называемого порогового, условия. Так, лазерный генератор начинает излучать тогда, когда усиление в активной среде компенсирует потери в нем (например, потери за счет частичного выхода излучения из резонатора через зеркало). Согласно соотношению (6.10) усиление за один проход в активной среде (т. е. отношение плотностей потока фотонов на выходе и на входе) составляет {σ[N₂ – N₁]l}, где l — длина активной среды. Обозначим теперь энергетические коэффициенты отражения зеркал (рис. 5.3) соответственно через R₁ и R₂, а внутренние потери за один проход внутри резонатора лазера — через L_i. Если F —это плотность потока фотонов в резонаторе, отраженных в данный момент времени от зеркала 1 и движущихся в направлении зеркала 2, то плотность потока фотонов F’ отраженных от зеркала 1 после одного полного прохода резонатора, будет составлять

 

F' = F_exp{σ[N₂ – N₁]l}х (1 - L_i)R₂ х exp{σ[N₂ – N₁]l}х (1 – L_i)R_i  (5.12)

 

На пороге генерации должно выполняться условие F = F' и, следовательно, соотношение R₁R₂(l - L_i)²ехр{2σ(N₂ - N₁)l} = 1. Из него следует, что порог генерации достигается тогда, когда инверсия населенностей N = (N₂ – N₁) возрастает до величины, называемой критической, или пороговой, инверсией населенностей, и равной

 

N_c = -[InR₁R₂ + 21n(l - L_i)]/2σl.                                                      (5.13)

 

Соотношение (6.13) можно упростить, вводя обозначения

 

γ₁= -InR₁ = -ln(1 – Т₁),                                                                    (5.14 а)

 

γ2 = -1nR₂ = ln(1-R2),                                                                     (5.14 б)

 

γ_i = -ln(l-L_i),                                                                                    (5.14 в)

 

где Т₁иТ₂ — энергетические коэффициенты пропускания зеркал (для упрощения поглощением в зеркалах пренебрегается). Подстановка соотношений (5.14) в (5.13) дает

 

Nc = γ/σl,                                                                                         (5.15)

Где

γ = [2 γ_i +(γ₁ + γ₂)]/2,                                                                      (5.16)

 

Заметим, что величину γ_i, определенную соотношением (5.13 в), можно назвать внутренними логарифмическими потерями. Действительно, если L_i 1, что обычно выполняется, то γ_i = L_i. Аналогично, поскольку как Т₁ так и Т₂ характеризуют потери за счет выхода излучения из резонатора, то величины γ₁ и γ₂, определяемые соотношениями (5.13 а-б), можно назвать (логарифмическими) потерями на зеркалах резонатора. Таким образом, величину 2 γ_i + (γ₁ + γ₂), стоящую в числителе выражения (5.12), будем называть (логарифмическими) потерями за один полный обход резонатора, а вдвое меньшую величину γ из соотношения (5.15) — (логарифмическими) потерями за один проход резонатора.

При достижении пороговой инверсии населенностей из спонтанного излучения развивается генерация. Действительно, фотоны, спонтанно испущенные вдоль оси резонатора, инициируют процесс усиления излучения. Этот механизм и лежит в основе работы лазерного генератора, который обычно называют просто лазером. Заметим, что, согласно смыслу акронима «лазер», его следует применять только по отношению к генераторам видимого излучения. Однако то же самое название широко используется для обозначения любого устройства, испускающего вынужденное излучение, — будь то в дальнем или ближнем ИК-, УФ- или даже в рентгеновском диапазонах. Чтобы уточнить тип испускаемого лазером излучения, говорят, соответственно, о лазерах инфракрасного, видимого, ультрафиолетового или рентгеновского диапазонов.

 

Свойства лазерных пучков

 

Лазерное излучение характеризуется чрезвычайно высокой степенью

монохроматичности, когерентности, направленности и яркости. К этим свойствам можно добавить пятое, а именно — малую длительность лазерных импульсов, которая непосредственно связана с возможностями генерации сверхкоротких импульсов света. Это свойство менее фундаментально, но тем не менее оно является весьма важным. Рассмотрим теперь перечисленные свойства более подробно.

 

Монохроматичность особенно важна для процессов лазерных измерений, локации, связи, навигации, а также лазерной химии, разделения изотопов, медицины, биологии и т.п., кроме того, для создания оптических систем. Она характеризуется способностью лазеров излучать в узком диапазоне длин волн и определяется соотношением 

 

M_xp = Δν /ν₀                                                                                       (5.17)

 

где Δν — спектральная ширина контура излучения лазера, ν₀ — центральная частота контура.

Практические значения M_xp составляют от 10^–2 (эксимерный лазер) до 10^–7 (He–Ne–лазер), при этом в лабораториях достигнуты значения MX ~ 10^–14. Т.о., Mxp лазеров значительно превышает M_xp других спектральных источников.

На понятии монохроматичности основаны определения спектральной яркости лазеров:

 ,                                                                                      (5.18)

 

где Q /Δν — спектральная плотность энергии, Q — плотность энергии лазера, ΔΩ — величина телесного угла расходимости излучения. Очевидно, что спектральная яркость лазеров значительно превышает спектральную яркость всех других источников (включая Солнце) и т.п.

 

Когерентность.

 

В первом приближении, для любой электромагнитной волны можно ввести две независимых характеристики когерентности, а именно: пространственную когерентность и временную когерентность. Для того чтобы определить понятие пространственной когерентности, рассмотрим две точки Р₁ и Р₂, выбранные таким образом, что в момент времени t = 0 они находятся на одном и том же волновом фронте некоторой на одном и том же волновом фронте некоторой электромагнитной волны, и пусть E₁(t) и E₂(t) — соответствующие напряженности электрического поля в этих точках. По определению, в момент времени t=О разность фаз напряженностей электрического поля в этих точках равна нулю. Если эта разность фаз остается равной нулю в любой момент времени t > 0, то говорят, что между этими двумя точками имеется полная когерентность. Если такая когерентность существует между любыми парами точек волнового фронта, то говорят, что данная волна характеризуется полной пространственной коге­рентностью. В реальности, для любой точки Р₁ все точки Р₂, фаза напря­женности поля в которых достаточно коррелирована с фазой в точке Р₁ рас­полагаются внутри некоторой конечной области вокруг этой точки Р₁. В этом случае говорят, что волна характеризуется частичной пространственной когерентностью, причем для любой точки Р можно определенным образом ввести площадь когерентности S_с(P).

Для того чтобы определить понятие временной когерентности, рассмотрим напряженности электрического поля электромагнитной волны в данной точке Р в моменты времени t и t +τ. Если при данной задержке τ разность фаз напряженностей поля остается постоянной в любой момент времени t, то говорят о существовании временной когерентности на интервале времени τ. Если это условие сохраняется при любом значении τ, то говорят, что волна характеризуется полной временной когерентностью. Классически электромагнитной волной с полной временной когерентностью является такая, напряженность электрического (и магнитного) поля которой может быть представлена синусоидой вида Е = E₀sin (ωt + φ), где как амплитуда Е₀, так и фа­за φ не зависят от времени. В этом случае разность фаз в моменты времени

t и t+τ, равная Δφ=[ω(t+τ)+φ-(ωt+φ)]=ωτ, действительно не зависит от времени. Если же разность фаз напряженностей поля остает­ся постоянной (в среднем) при таких задерж­ках т, что 0<τ<τ₀, то говорят о частичной временной когерентности волны, с харак­терным временем когерентности τ₀. Пример электромагнитной волны с временем коге­рентности, равным (примерно) τ₀, приведен на рис.5.4.

 

Рис. 5.4. Пример электромагнитной волны с временем когерентности порядка τ₀

 

  Эта волна представляет собой сину­соидальное электрическое поле со скачкооб­разными изменениями фазы через промежутки времени т₀. В этом случае при τ < τ₀ разность фаз напряженностей поля остается постоянной, т.е. рав­ной ωτ, для всех моментов времени t, кроме тех, для которых в интервале между моментами времени t и t + τ происходит скачок фазы. Напротив, если τ > τ₀, то произвольный скачок фазы в интервале между моментами време­ни t и t + τ происходит всегда, так что получаемая разность фаз будет случай­ной величиной, изменяющейся в интервале от 0 до 2π.

Можно заметить, что волна, изображенная на рис.5.4, не является монохроматической. Действительно, если применить к соответствующему сигна­лу преобразование Фурье, то можно показать, что спектральная ширина этого сигнала будет составлять Δv 1 /τ₀. Таким образом, по крайней мере, в рассмотренном случае, время когерентности равно τ_с 1 /Δv, а представление о временной когерентности, как видно, напрямую связано с понятием монороматичности.

Важно отметить, что временная и пространственная когерентности не связаны друг с другом. Действительно, можно привести примеры волн с полой пространственной и только частич­ной временной когерентностью (и нао­борот). Например, предположим, что волна, изображенная на рис. 5.4, пред­ставляет собой (с точностью до ампли­туды) напряженность электрического поля в рассмотренных выше точках Р₁ и Р₂. Поскольку пространственная когерентность характеризуется разно­стью фаз напряженностей в двух точ­ках в одно и то же время, то, как легко видеть, эта разность фаз всегда равна нулю.

Таким образом, пространствен­ная когерентность между точками Р₁ и Р₂ будет полной, хотя волны, проходящие через каждую из точек, имеют лишь частичную временную когерентность. В качестве второго примера до­пустим, что волны, проходящие через точки Р₁ и Р₂, имеют все тот же вид, представленный на рис. 6.4, но при этом моменты фазовых скачков и их величины абсолютно некоррелированы. Эта ситуация продемонстрирована на рис.5.5, где построена зависимость от времени фаз φ₁(t) и φ₂(t) двух волн. Поскольку по-прежнему степень пространственной когерентности определяется разностью фаз напряженностей в двух точках в одно и то же время, то из рис. 5.5 нетрудно заметить, что эта разность является случайной величиной.

 

φ1(t)

τ0

τ0

τ0

τ0

φ2(t)

Рис. 5.5. Возможное поведение во времени фаз φ₁(t) и φ₂(t) электромагнитных волн в двух точках Р₁ и Р₂, пространственная когерентность между которыми полностью отсутствует

 

когерентно­сти между двумя рассматриваемыми точками, хотя волны и характеризуются частичной временной когерентностью.

Направленность.

Это свойство является простым следствием того, что активную среду помещают в резонатор. Например, в случае плоскопараллельного резонатора, изображенного на рис. 5.3, только волны, распространяющиеся в направлении, перпендикулярном к плоскостям зеркал (или очень близком к нему), будут оставаться в резонаторе. Для более глубокого понимания свойств направленности лазерного излучения (или, в общем случае, произвольной электромагнитной волны) удобно отдельно рассмотреть случаи волн с полной и частичной пространственной когерентностью.

Рассмотрим вначале волну с полной пространственной когерентностью. Даже в этом случае пучок с конечной апертурой будет неизбежно расходиться вследствие дифракции. Эту ситуацию можно представить себе с помощью рис.6.6, на котором изображена волна с однородным поперечным распределением интенсивности и плоским волновым фронтом, падающая на экран S с круговым отверстием диаметром D. Согласно принципу Гюйгенса волно­вой фронт пучка в некоторой плоскости Р за экраном можно представить как результат суперпозиции элементарных волн (вэйвлетов), испущенных из каждой точки отверстия. Видно, что из-за конечности диаметра отверстия D пучок должен иметь конечную расходимость. Для того чтобы определить величину угла дифракции 0_d, рассмотрим вначале более простой случай, по­казанный на рис.5.6 б, где отверстие представляет собой щель, с шириной D в плоскости рисунка и бесконечной длиной в направлении, перпендикуляр­ном к этой плоскости. Предположим также, что щель равномерно освещена.

 

 

Рис. 5.6. Физическое объяснение расходимости плоской, пространственно-когерентной, электромагнитной волны вследствие дифракции (а) на экране S с круговым отверстием диаметра D, (б) на экране S с бесконечно длинной щелью шириной D

 

Из рисунка нетрудно заметить, что интерференция элементарных волн, ис­пущенных из точек в плоскости щели, приводит к нулевой интенсивности в направлении, определяемом таким углом 0, для которого выполняется усло­вие kl = π. Здесь k — это постоянная распространения волны в пространстве, связанная с длиной волны излучения λ соотношением k = 2π/λ, а l — длина отрезка ВС.

Действительно, в этом случае вклады в волну в направлении Θ от вэйвлетов, испущенных из точек А и B, будут противоположны по фазе и, таким образом, будут гасить друг друга. То же самое будет происходить с вэйвлетами, испущенными из точек A₁ и В₁ на рисунке, и т. д. Поскольку l=(D/2)sinΘ (D/2)Θ, то, полагая, что угол дифракции пучка Θ_d равен уг­лу Θ, из соотношения kl = π сразу получаем, что Θ_d = λ/D.

В более сложных случаях величину угла Θ_d можно рассчитать из теории дифракции, если заданы форма отверстия и поперечное распределение интенсивности волны. Обычно получают соотношение

 

Θ_d = βλ/D,                                                                                        (5.19)

 

где множитель β — это числовой коэффициент порядка единицы, точное значение которого зависит от формы отверстия и вида распределения интенсивности излучения в его плоскости. Действительно, было показано, что в рассмотренном выше случае бесконечной щели β = 1. Пучок, угол расходимости которого может быть выражен соотношением (6.19), в котором β 1, называют дифракционно-ограниченным.

Если пучок имеет только частичную пространственную когерентность, то его расходимость будет больше минимальной величины, обусловленной дифракцией. Действительно, для любой точки Р' волнового фронта принцип Гюйгенса (рис.5.6) может быть применен только к точкам, лежащим в пределах площади когерентности S_c вблизи Р'. В соответствии с соотношением (6.19) угол расходимости пучка можно при этом записать в виде

 

Θ= βλ[S_c]^1/2,                                                                                     (5.20)

 

где, как и прежде, β — числовой коэффициент порядка единицы, точное значение которого зависит от того, каким образом определяются как угол расходимости Θ, так и площадь когерентности S_c.

Теперь можно показать, что поскольку волны, испущенные из каждой области когерентности, некоррелированы, т. е. некогерентны, друг с другом, на достаточно больших расстояниях (в так называемой дальней зоне) необходимо суммировать не напряженности, а интенсивности полей. Для того чтобы обсудить это обстоятельство, обратимся к простой ситуации, изображенной на рис.5.7, в которой предполагается, что волна представляет собой два когерентных пучка от соседствующих источников, с диаметром попереч­ного сечения D_c каждый, причем эти пучки абсолютно не когерентны друг с другом.

Для большей определенности положим D_c = 100 мкм и λ = 1 мкм. В со­ответствии с соотношением (5.19) имеем Θ_d 10^-2 рад, так что на расстоянии, например, L=100 м диаметр поперечного сечения пучка,исходящего из пер­вой области когерентности, будет равен D D_с+2Θ_d L 2Θ_d L=2м. В той же плоскости диаметр поперечного сечения пучка, исходящего из второй облас­ти когерентности, будет также равен D, при этом сечения будут сдвинуты на пренебрежимо малую величину, равную D_c.

     Мгновенное значение интенсивности электромагнитного поля в произвольной точке Р рассматриваемой плоскости может быть представлено как I(P)α[(E₁(t) + E₂(t)]², где E₁(t) и E₂(t) — напряженности электрических полей, наведенных в точке Р двумя областями когерентности. Полагая, что амплитуды полей постоянны во вре­мени, перепишем это выражение в виде

 

I(P) = C[E₁₀sin (ωt + φ₁) + E₂₀sin (ωt + φ₂)]²,                                 (5.21)

 

где С — некоторая константа, Е₁₀ и Е₂₀ — амплитуды напряженности электрических полей, а φ₁ = φ₁(t) и φ₂ = φ₂(t) — соответствующие фазы (см., например, рис. 5.7). Интенсивность, измеряемая любым реальным детектором,

 

Рис. 5.7. Поперечные профили пучков излучения от двух пространственно-некогерентных источников с диаметром поперечного сечения D_c на большом расстоянии L от источников

 

будет определяться величиной (1(Р)), которая представляет собой усреднен­ную за несколько периодов колебаний интенсивность 1(Р). Тогда получаем, что эта средняя величина равна

 

.

 

Заметим, что два фазовых члена, φ₁(t) и φ₂(t), могут быть представлены соот­ветственно в виде φ₁(t) = ψ₁(t) + kL₁ и φ₂(t) =ψ₂(t) + kL₂, где ψ₁ и ψ₂— фазы напряженностей в рассматриваемых областях когерентности, a L₁ и L₂ — расстояния от этих областей до точки Р. Поскольку, однако, напряженности электрического поля в двух областях когерентности некоррелированы, то фазы ψ₁ и ψ₂ также некоррелированы. Таким образом, разность фаз, φ₂(t) – φ₁(t) будет величиной, случайно изменяющейся во времени, так что среднее значение , стоящее в полученном выражении, будет рав­но нулю. При этом получаем:

 

 , т.е.                   (6.22)

 

где – соответственно интенсивности электромаг­нитных волн, пришедших в точку Р из двух областей когерентности.

Согласно приведенному рассмотрению, в любой точке необходимо суммировать интенсивности излучений, полученных из двух областей когерент­ности. Отсюда следует, что на больших расстояниях суммарный пучок будет иметь такие же поперечные размеры, что и пучок, приходящий из одной зоны когерентности.

Таким образом, имеем: D=2Θ_dL=2β(λ/D_c)L. Следовательно, угол расходимости пучка составляет Θ=D/2L=β(λ/D_c), т. е. равен величине (5.20), если считать диаметр D_c равным квадратному корню из площади когерент­ности S_c.

В заключение общего описания свойств направленности электромагнитных волн следует указать, что при обеспечении определенных условий рабо­ты лазера выходящий из него пучок можно сделать полностью пространст­венно когерентным и, следовательно, дифракционно-ограниченным.

 

Яркость

 

Определим яркость данного источника электромагнитных волн как мощность излучения, испускаемого с единицы поверхности источника в единич­ный телесный угол. Точнее, рассмотрим элемент dS площади поверхности источника в точке О (рис.5.8, а). Мощность dP, излучаемую элементом поверх­ности dS в телесный угол dΩ вблизи направления ОО', можно выразить в виде

dP = BcosΘdSdΩ,                                                                            (5.23)

где Θ — угол между направлением ОО' и нормалью к поверхности n.Отметим, что множитель cosΘ возникает из-за того, что физически важной величиной для мощности излучения в направлении ОО' является проекция элемента dS на плоскость, перепендикулярную направлению ОО', т. е. cosΘdS. Величи­ну B, определенную с помощью соотношения (5.23), называют яркостью источника в точке О в направлении ОО'. Эта величина зависит, вообще гово­ря, от полярных координат Θ и φ направления ОО' и от положения точки О.

Рассмотрим теперь лазерный пучок мощностью Р с поперечным сечени­ем в виде круга