Применения показательных функций

Показательные функции часто возникают в математических моделях природы и общества. Например, с их помощью моделируются рост популяции и радиоактивный распад.

Пример 1.  численность популяции бактерий через t часов.

Пример 2. Изотоп стронция ⁹⁰Sr является радиоактивным с периодом полураспада 28,79 лет. Таким образом, если начальная масса некоторого количества стронция-90 равна, например, 24 миллиграмма, то масса остающегося через t лет количества будет равна  мг. (⁹⁰Sr образуется при ядерных взрывах и выбросах с АЭС.)

3. Первый и второй замечательные пределы

Определение 2. Число e определяется так:

Если в определении числа е сделать замену t = 1/x, получим эквивалентное определение:

Два этих равенства называются первым замечательным пределом.

Теорема 1. (второй замечательный предел).

Доказательство: , причем эта аппроксимация тем точнее, чем длиже х к нулю. Следовательно,

И в пределе при  получим доказываемое равенство.

Производная экспоненты

Особая роль и исключительность функции ехр х обуславливается следующей теоремой.

Теорема 2 (производная экспоненты). Производная экспоненты равна ей самой, т. е. .

Доказательство: Используем определение производной и второй замечательный предел:

Следствие.

5. Логарифмические функции

Показательная функция  строго монотонно возрастает при а>1, и строго монотонно убывает при0 < а < 1. Значит, по теореме о существовании обратной функции, она имеет обратную при .

Определение 3. Функция, обратная к показательной функции  при  называется логарифмиеской функцией по сонованию а и обозначается т.е . Область определения  и множество значений .

                          

Рис. 2. Графики логарифмической функции

Графики логарифмической функции получаются из соответствующих графиков показательной функции зеркальным отражением относительно прямой у = х. Кривые  при любом  непрерывны и проходят через точку (0, 1).

При  имеем и . Таким образом, ось Оу является вертикальной асимптотой графика логарифма.

По определению обратной функции, тогда и только тогда, когда , где . Таким образом, логарифм числа х по основанию а есть показатель, в который надо возвести основание а, чтобы получить х. Законы сокращения при показательной и логарифмической функций выглядят так:  для всех , и  для всех  

Часто используются логарифмы по основанию 10. Они называются десятичными логарифмами и обозначаются lg x, т. е. . Еще более важны логарифмы по основанию е.

Натуральные логарифмы

Наиболее удобным основанием логарифма служит число е.

Определение 4. Логарифм числа  по основанию е обознается  и называется натуральным логарифмом, т. е. .

Например, ,

Теорема 3 (производная натурального логарифма).

Доказательство:

Запишем закон сокращения  и продифференцируем обе части по х. Получаем: , откуда

Следствие.

Пример 3. Найти

Решение:

Пример 4. Продифференцировать функцию .

Решение:

Пример 5. Найди производную

Решение: