Критерии оптимизации приёма дискретных сообщений

 

I.Критерий идеального наблюдателя, или критерий Котельникова

Это критерий, по которому качество приёмника оценивают безусловной вероятностью правильного приёма сигнала.

Пусть на вход приёмника в течение тактового интервала 0-Т приходит некоторый элемент сигнала Z(t). Предположим, что приёмник принимает при этом решение, что передан символ . Вероятность того, это решение правильно, очевидно, равна условной вероятности того, что действительно передавался символ  при условии прихода реализации элемента сигнала Z(t), . Её называют обычно апостериорной вероятностью символа  (то есть вероятностью, определённой после опыта, заключающегося в наблюдении и анализе сигнала Z(t).)

Очевидно, что вероятность правильного приёма будет максимальной в такой решающей схеме, для которой апостериорная вероятность  максимальна. Другими словами, критерий идеального наблюдателя обеспечивается решающей схемой, построенной по правилу максимума апостериорной вероятности – решение о  принимается в том случае, если выполняется система из m-1 неравенств:

            (11.3)

Согласно известной формуле Бейеса для :

                                                (11.4)

где  – n-мерная плотность вероятности вектора Z,  – априорная вероятность передачи символа  (то есть та вероятность, которая имеет место до наблюдения и анализа, определяемая статистикой источника сообщения и правилом кодирования).

Подставив (11.4) в (11.3) и учитывая, что  – безусловная плотность вероятности, не являющаяся функцией i, можно записать правила решения для идеального наблюдателя в следующей форме:

 ,     (11.5)

где  – функция правдоподобия i -той гипотезы

Для построения решающей схемы по правилу (11.5) необходимо знать априорные вероятности символов , определяемые источником, а также свойства модулятора и канала, определяющие условные плотности вероятности.  – функции правдоподобия.

Недостатком критерия максимума апостериорной вероятности является тот факт, что он обеспечивает большую вероятность правильного приёма за счёт сокращения области маловероятных и расширения области приёма высоковероятных символов; в результате редко передаваемые символы передавались бы менее надёжно, а они несут больше информации.

II. Правило (11.5) можно записать иначе - решение о том, что передавался символ , должно приниматься, если для всех  выполняется m-1 неравенств:

                                                          (11.6)

Отношение в левой части этого неравенства называется отношением правдоподобия двух гипотез о том, что передавался символ . Его обозначают .

Для двоичной системы правило сводится к проверке

                                        (11.7)

Во многих случаях различные ошибки приводят к различным последствиям.

III. Учёт последствий ошибок различного рода (связанных с передачей различных символов приводит к обобщению критерия идеального наблюдателя, известного под названием критерия минимального среднего риска (или байесовского критерия). Если при передаче символа  принят символ , то при  имеет место ошибка.

Чтобы учесть неравноценность различных ошибок, будем с каждой парой символов  и  связывать некоторую численную величину, называемую «потерей», обозначив её Lij. Величина «потери» зависит от того какой символ  принят вместо переданного . Правильному приёму при этом приписывается нулевая потеря.

Так как при передаче символа  символ  появляется с определёнными вероятностями как реализации некоторой дискретной случайной величины, можно говорить об условном математическом ожидании величины «потери» при передаче конкретного символа . Назовём это условное математическое ожидание условным риском:

                       (11.8)

Интервал берётся по области  решающей схемы и представляет вероятность того, что сигнал Z(t) попал в эту область, если передавался символ . Усреднив условный риск  по всем символам , получим величину, называемую средним риском:

                         (11.9)

Критерий минимального среднего риска заключается в том, что оптимальной считается решающая схема, обеспечивающая наименьшее значение среднего риска . Приёмник, работающий по такому критерию называется байесовским. Из (11.9) видно, что при использовании этого критерия нужно помимо априорных вероятностей  передачи отдельных символов знать и величины потерь Lij. Заметим, что если считать все ошибки равноценными (), то критерий минимального среднего риска совпадает с критерием идеального наблюдателя, а байесовский приёмник совпадает с идеальным приёмником Котельникова.

IV Ситуация, в которой практически невозможно определить априорную вероятность передачи отдельных элементарных сообщений, а последствия ошибок разного рода неодинаковы, особенно типична для радиолокации, когда приёмник, анализируя принимаемое колебание Z(t) (отражённый сигнал плюс помеха), должен определить, имеется в данном направлении и на данном расстоянии объект наблюдения (цель) или нет. Последствия двух родов ошибок ложной тревоги и пропуска цели – неравноценны.

В этой и других сходных ситуациях чаще всего пользуются критерием приёма, известным под названием критерия Неймана Пирсона. Суть его заключается в том, что решающая схема считается оптимальной, если при заданной вероятности ложной тревоги  обеспечивается минимальная вероятность пропуска цели .

Введём в рассмотрение функции правдоподобия гипотезы об отсутствии цели w(Z/0) и о наличии цели w(Z/1).

Минимизация  при заданной величине  достигается, если решение о наличии цели принимается при выполнении неравенства.

                                                      (11.10)

Где  – пороговый уровень, определяемый заданной вероятностью ложной тревоги

 

В технике связи преимущественно применяют правило максимального правдоподобия. В том случае, когда все символы передаются равновероятно, правило максимального правдоподобия переходит в критерий идеального наблюдателя. Часто это правило решения применяют и при неизвестных или известных но не одинаковых априорных вероятностях символов. Правило максимального правдоподобия переходит в критерий минимума среднего риска, если положить .

 Существуют так же и другие критерии, например, критерий взвешенной вероятности ошибки, минимаксный критерий, при котором коэффициент потерь считается заданным и другие.

Выбор того или иного варианта критерия оптимальности называют стратегией. Стратегия определяется исходными данными при проектировании. Наиболее простая стратегия соответствует критерию максимального правдоподобия. Рассматриваемые задачи в статистической теории связи классифицируются как задачи распознавания и задачи обнаружения сигнала. Например, при амплитудной телеграфии (АТ) – передача с «пассивной паузой» - приёмное устройство выполняет функции обнаружителя. (Термин «обнаружение» первоначально возник в радиолокации). В случае частотной или фазовой телеграфии (ЧТ или ФТ) приёмное устройство работает по принципу распознавания.