Приклад застосування матриці дії кутового дзеркала

Визначити кути відхилення вихідного променя та повороту зображення, що виникають при повороті пентапризми навколо осі, що співпадає з напрямом падаючого променя.

Вихідні дані:

· кут при ребрі пентапризми ;

· орт вектора падаючого променю ;

· орт вектора ребра призми ;

· орт вектора вертикалі простору предметів ;

· кут повороту пентапризми .

Необхідно визначити:

· напрям орта вектора променю, відбитого від пентапризми при її повороті на кут ;

· напрям орта вектора зображення вертикалі при повороті пентапризми на кут .

Рис.7.6. Пентапризма

На рис.7.6 зображена пентапризма у нерухомій системі координат xyz. З умови задачі, напрям падаючого променя, позначений ортом , співпадає з віссю 0Х. Головний розріз пентапризми перпендикулярний до осі 0Z, а отже, орт ребра спрямований вздовж осі 0Z. Вертикаль простору предметів  при спостереженні з сторони осі 0Z проектується в точку, а орт вертикалі співпадає знапрямом осі 0Z ().

Пентапризма являє собою кутове дзеркало, що складається з двох плоских дзеркал 1 і 2 з кутом при ребрі між ними . Для визначення напряму відбитого променя  та повороту площини зображення, що характеризується поворотом зображення вертикалі простору предметів при повороті пентапризми на кут , скористаємось відношеннями

;                                     (7.24)

.                                   (7.25)

де - орт вектора променя, що падає на пентапризму; - орт вектора вертикалі простору предметів; - матриця кутового дзеркала.

Після повороту пентапризми на кут  навколо осі 0X або орта  для орта ребра (рис.7.7) отримаємо

                        (7.26)

Для орта падаючого променя  і орта вертикалі  простору предметів, виходячи з умов задачі, маємо

; .

Рис.7.7. Поворот системи координат призми

Тоді для орта  відбитого променя з урахуванням (7.23)-(7.26) знайдемо

      (7.27)

На основі (7.27) запишемо векторний вираз для орта відбитого променя                              

                                      

Промінь що виходить обертається у площині Y0Z разом і синхронно з обертанням призми (див. рис.7.7).Розглянемо, як при цьому змінюється орієнтування вертикалі  простору предметів, а отже, і всього зображення. Після відбивання в пентапризмі при її нормальному положенні () для зображення вертикалі отримаємо

.             (7.28)

Це очевидний результат: при відбитті через пентапризму напрям, паралельний її ребру, залишається без змін. Після повороту призми на кут  для напряму зображення вертикалі знайдемо

.    (7.29)

По виразу (7.29) важко уявити напрям зображення вертикалі. Необхідно перейти до площини, ортогональній напряму відбитого променя – орту , тобто перетворити орт  в так звану променеву систему осей . Для цього необхідно помножити орт  на матрицю  повороту осей навколо осі 0X на кут  проти годинникової стрілки. Матриця перетворення координат має вигляд

.                                   (7.30)

Тоді для орта зображення вертикалі отримаємо .                 (7.31)

На основі (7.31) запишемо векторний вираз для орта зображення вертикалі:

.                        

Рис.7.8. Поворот зображення вертикалі

Орієнтація осей променевої системи координат, а також орта  показана на рис.7.8, з якого слідує, що при повороті пентапризми на кут  зображення вертикалі (орт ), а отже і будь-якого іншого напряму простору предметів, обертається відносно осі  променевої системи координат  за годинниковою стрілкою на той же кут .

Лекція № 26. Особливі напрямки в конструкції вузла кутового дзеркала

 

Для визначення орієнтації особливих напрямів КД введемо наступні очевидні допущення:

-при будь-якому паралельному зрушенні системи плоских дзеркал всі точки зображення зрушуються як єдине ціле, оскільки збільшення такої системи дорівнює одиниці;

- зсув однієї точки площини зображення може охарактеризувати зрушення всієї площини зображення;

-при віддзеркаленні від КД площина зображення обертається навколо ребра на кут ;

- орієнтація граней КД на напрям відбитого променя не впливає.

Розглянемо кутове дзеркало в системі координат XYZ (рис. 7.9). Положення дзеркала сповна визначається положенням його ребра Р₀.

Рис. 7.9. Кутове дзеркало, представлене в системі

координат xyz

Хай точка Т₀ простору предметів в номінальному положенні дзеркала збігається з проекцією його ребра Р₀. Передбачимо, що КД зрушилося вздовж осі   на величину . Тоді зображення точки Т₀ виявиться в положенні Т. З рис.7.9 виходить, що при цьому виникають децентрування величиною

                                       (7.32)

і розфокусування

          (7.33)

Передбачимо, що КД зміщується вздовж осі   на величину   (див. рис. 7.10).

Рис. 7.10.Кутове дзеркало

зміщується вздовж осі   на величину

При такому зрушенні, як випливає з рис.7.10 також виникають децентрування величиною

         (7.34)

і розфокусування величиною

.                                    (7.35)

На практиці мають місце одночасно обидві похибки  установки КД. Тоді сумарні децентрування і розфокусування рівні:

 (7.36)

(7.37)

Для забезпечення  і  рівними нулю, необхідно прирівняти співвідношення (7.36) і (7.37) до нуля. Але оскільки, нулю буде рівне вираження в дужках то отримаємо:

                    (7.38)

               (7.39)

Із співвідношення (7.38) визначимо орієнтацію першого особливого напряму КД при зрушенні ребра, вздовж якого відсутнє децентрування:

                                 (7.40)

Другий особливий напрям при знайдемо із співвідношення(7.39)

.                                          (7.41)

Ці напрями зорієнтовані так, як показано на рисунку 7.11:

Рис. 7.11.Особливі напрями кутового дзеркала

З розглянутого зробимо наступний висновок. При будь-яких зрушеннях, але при малих нахилах КД, в пучках променів, що сходяться, існують два особливі напрями. Другий особливий напрям збігається з бісектрисою кута між падаючим і відбитим проенями і характеризується тією властивістю, що зрушення ребра КД вздовж цього напряму не викликає розфокусування, а поворот ребра КД відносно цього напряму на малий кут не викликає нахилу площини зображення. Перший особливий напрям перпендикулярний до другого і характеризується тією властивістю, що зрушення ребра КД вздовж цього напряму не викликає децентрування зображення, а поворот ребра КД відносно цього напряму на малий кут не викликає повороту площини зображення.

Наявність цих напрямів необхідно враховувати при конструюванні вузлів з кутовими дзеркалами. Це дозволяє незалежно вирішувати завдання юстування оптичних приладів при збірці. На рис.7.12, як приклад, показана орієнтація особливих напрямів для призми БР-180.

 

 

 

Рис. 7.12. Орієнтація особливих напрямів для призми БР-180

На рис.7.13. показаний приклад знаходження особливих напрямів для пентапризми.

Рис. 7.13. Особливі напрями для пентапризми

Лекція № 27. Діючі пересування та оптимізація конструкції вузла кутового дзеркала

 

Переміщення кутового дзеркала, що діють, розглянемо на прикладі установки пентапризми в телескопічній системі, як це показано на рис.7.14. У систему входять об'єктив 1, пентапризма 2, шкала 3.

1

2

3

1

2

3

Рис. 7.14. Установка пентапризми в телескопічній системі

У системі координат пов'язаних з призмою переміщеннями, що діють, будуть зрушення ребра КД вздовж вісей X і,Y а також повороти ребра призми відносно тих же осей.

Зрушення ребра КД вздовж осі X на величину  (вздовж першого особливого напряму) викликає:

-розфокусування зображення в площині шкали величиною: 

.                                    (7.42)

-похибку розміру зображення вздовж осі y, рівну

                           (7.43),

де  – номінальний (розрахунковий) розмір зображення вздовж осі y; – відстань від об'єктиву до площини фокусування.

Зрушення ребра КД вздовж осі Y на величину   викликає

-децентрування зображення вздовж осі , рівне

.                                (7.44)

Поворот ребра КД відносно осі  на кут  викликає:

- нахил площини зображення на величину, яка дорівнює

.                      (7.45).

Поворот ребра КД відносно осі   на кут   є найбільш небезпечною помилкою, оскільки викликає:

-зрушення в площині зображення вздовж осі на величину

.                          (7.46).

-поворот площини зображення відносно осі, рівний

.                                     (7.47).

-розфокусування на осі

.                                 (7.48).

-розфокусування на краях зображення

.                     (7.49).

-зміну розміру зображення у напрямі осі

                 (7.50).

Приклад раціональної конструкції вузла кріплення призми БР-180 з врахуванням переміщень, що діють, представлений на рисунку 7.15. На рисунку показані:1 – призма БР-180; 2 – оправа, в яку вклеєна призма; 3 – кронштейн кріплення; 4 – базуюча деталь; 5 – кріпильний гвинт.

 

 

1

2

3

5

4

4

5

3

1

А

A

1

2

3

5

4

4

5

3

1

А

A

Рис. 7.15. Вузол кріплення призми БР-180

Переміщення, що діють, в показаній на рис.7.15 конструкції є переміщення призми вздовж осей Х і Y на величини   і  . Реалізуються ці переміщення переміщеннями кронштейна з призмою, а також переміщеннями і поворотами призми усередині оправи.

При конструюванні вузлів з призмами необхідно визначити габаритні розміри призм. Один з методів, який може бути застосований, це графоаналітичний метод Туригіна (див. рис. 7.16). Згідно цього методу будується конус одна підстава якого спирається на об'єктив, а інша на сітку.

 

Рис. 7.16. Графоаналітичний метод Туригина

На відстані а від сітки проводять вертикальну лінію, де

.                                   (7.51)

Визначають кут  із співвідношення

.                              (7.52)

Після цього визначають світловий діаметр на виході призми

.                               (7.53)

Розраховують кут   із співвідношення

,                                (7.54),

де n – показник заломлення матеріалу призми; k – коефіцієнт призми.

Вимірюють по кресленню відстань , а потім розраховують довжину ходу променя в призмі по формулі

                                      (7.55)

Світловий діаметр на вході призми визначають із співвідношення

.                                     (7.56)

Подовження вноситься призмою в хід променів рівне

 

.                                       (7.57)

Призму необхідно встановлювати на відстані S від об’єктива рівному

.                                   (7.58)

Поле зору будь-якої призми обмежене і залежить від показника заломлення і конструкції призми:

.                                     (7.59)

Наприклад, для призми Ар90 кут , для призми Бр180   .

Призми з парним числом віддзеркалень дають пряме зображення, а з непарним – перевернуте. Для кріплення призм використовують настановні гвинти, пружини, планки, косинкі, стійки, шпонки і т.і.

 

Лекція № 28. Приведення складних ДПС до простих еквівалентів

Якою б не була складною ДПС, в результаті спрощення в паралельному ході променів вона може бути приведена до простіших еквівалентів. Правила цього приведення наступні.

1. Система з трьома і більш непарними числами віддзеркалень (3,5,7.) може бути замінена еквівалентним плоским дзеркалом нормаль якого повернена на кут 180⁰+ ₂₁ по відношенню до нормалі третього дзеркала, де кут ₂₁ - двогранний кут між другим і першим дзеркалами (див. рис 7.16 і 7.17). Кут, відлічуваний за годинниковою стрілкою – від’ємнийний, а проти – додатній. Якщо кількість віддзеркалень перевищує 3, то це перетворення треба починати з кінця такої ДПС, рухаючись поступово до початку.

 

Рис. 7.17. Призма Аббе            Рис.7.18. Призма Шмідта

Для призми Аббе ₂₁=150⁰.Для призми Шмідта ₂₁=112⁰30¹

На рисунках 7.17 і 7.18 цифрами 1-3 позначені номери відзеркалювальних поверхонь.

ЗПС з числом віддзеркалень 4, 6, 8 і більше парних віддзеркалень, можуть бути замінені еквівалентним кутовим дзеркалом, кут при ребрі якого може бути визначений із співвідношення:

,               (7.60)

де ₁₂ і ₃₄ - двогранні кути при першій і другій парі дзеркал,  - кут між напрямами ребер.

Орієнтація ребра еквівалентного кутового дзеркала визначається із співвідношення:

, (7.61)

де Р₁₂ і Р₃₄ - вектора, що визначають положення ребер першої і другої пари дзеркал.

 Користуючись формулами (7.60) та (7.61), знайдемо еквіваленти деяких конкретних дзеркально-призмених систем, а саме   призмених обертальних систем Малафєєва-Порро 1-го та 2-го роду та двох систем, кожна з яких складена з пари пентапризм.

 

Рис.7.19. Дзеркальні призменні обертаючи системи Малафєєва-Порро 1-го роду (а) та 2-го роду(б) та  системи зроблені з двох однакових пентапризм з рівнозначними (в) та нерівнозначними (г) кутами, у паралельному ході променів.

На рис. 7.19а показані в одній проекції дві прямокутні призми

(  ) обертальної системи Малафєєва-Порро 1-го роду із взаємно перпендикулярними ребрами (  ), так що , . Підставляючи ці величини у формули (7.60) та (7.61), відразу знайдемо або , та

Таким чином, призмена обертальна система Малафєєва-Порро 1-го роду приводиться к прямокутному дзеркалу, ребро якого направлено по осі z.

На рис. 7.19, б приведена призмена обертальна система Малафєєва-Порро 2-го роду, яка складається з двох прямокутних призм типа АР-90 (призми 1 та 4) та прямокутної призми типа БР-180 с двома відбиттями на гранях 2 та 3. Головні розрізи призм 1 та 4 перпендикулярні головному розрізу призми подвійного відбиття 2 та 3. Користуватися цими даними для аналізу обертальної системи по формулам (7.61) та (7.62) безпосередньо не можливо, так як в дані формули входять кути  направлення ребер ,  та кут між ними, значення яких в розглянутому випадку невідомі та їх попередньо потрібно визначити. По формулі

                                      (7.62)

для кожної пари сумісних відображаючих граней знайдемо величину двуграних кутів  та  між ними та направлення ортів ребер  та  для чого на основі рис. 7.18 б напишемо

де N₁,N₂,N₃,N₄проекції нормалі до відповідних граней.

  Підставляючи ці орти в формулу (7.62), знайдемо  та .По формулі

                                                             (7.63)

 

 для орта ребра, створеного пересіченням граней 1 та 2, отримуємо:

Аналогічно для ребра між гранями 3 та 4 буде

Для кута   між ребрами буде .

 Тепер, підставляючи отримані величини у формули (7.61) та (7.62), знайдемо:

Таким чином, і ця призмена обертальна система еквівалентна прямокутному дзеркалу і взагалі будь  яка обертальна призмена система у паралельному ході променя еквівалентна по своїй дії прямокутному дзеркалу.

На рис. 7.19 в, г показані ще дві системи, складені з пар пентапризм. В першому випадку маємо . Підстановка у формули (7.61) та (7.62) дає  - кут еквівалентного кутового дзеркала, яке в два рази більше кута призм, складаючих дану систему. Далі напишемо  або . В нашому випадку Таким чином, дана система еквівалентна кутовому дзеркалу з подвійним двуграним кутом  і ребром, яке паралельне напрямку ребер обох систем вихідної призми. При куті  система еквівалентна прямокутному дзеркалу.

 В другому випадку буде . Підстановкою в ті ж формули (7.61) та (7.62) отримаємо  і далі:  - невизначеність. Це - дзеркальний ромб, в якому будь який напрямок в паралельному ході променів має властивості ребра кутового дзеркала: обертання навколо будь якої вісі і зміщення навколо її інваріантні.