Закономірності вільного руху тіл у середовищі

Вільним називається падіння окремих ізольованих одна від одної частинок у необмеженому об’ємі середовища.

Швидкість вільного падіння тіл у середовищах визначається взаємодією сил:

- гравітаційної

F ₁ = πd ³ (δ – Δ) g / 6, Н,                                 (2.1)

 

- гідродинамічного опору

F ₂ = ψV ² d ² Δ, Н,                                    (2.2)

 

де d – еквівалентний діаметр кулі рівновеликої за об’ємом реальному тілу, м; δ – густина тіла, кг/м³; Δ – густина середовища, кг/м³; g – прискорення вільного падіння, м/с²; ψ – коефіцієнт гідродинамічного опору середовища рухомому тілу; V - швидкість тіла в середовищі, м/с.

Сила опору середовища рухомому в ньому тілу залежить від режиму руху – ламінарного або турбулентного. Режим руху характеризується безрозмірним параметром – числом Рейнольдса:

   Re = VdΔ / μ,                                          (2.3)

 

де μ – динамічний коефіцієнт в’язкості, Па • с.

Ламінарний режим обтікання відбувається при невеликих швидкостях руху (Re <1) частинок малої крупності (d < 0,1 мм). У цьому випадку сила в’язкісного опору середовища обумовлюється силами тертя і описується законом Стокса:

F ₂ ^• = 3 πμVd.                                           (2.4)

 

Якщо динамічний коефіцієнт в'язкості μ представити з використанням формули (2.3), то рівняння (2.4) можна перетворити в такий спосіб:

 

F ₂ ^• = 3 πV ² d ² Δ / Re.                                (2.5)

 

Турбулентний режим обтікання характерний для високих швидкостей руху (Re >1000) великих частинок (d > 2 мм). Турбулентне обтікання супроводжується утворенням вихорів за рухомим тілом, інерційний опір середовища рухомому тілу описується законом Ньютона-Ріттінгера:

 

F ₂ ^•• = πV ² d ² Δ / 16.                                       (2.6)

Тіло випробовує одночасно вплив двох опорів, але в різному ступені. При параметрах Рейнольдса Re <1 переважає дія сил в'язкості, при параметрах Рейнольдса Re >1000 переважає дія сил інерції.

Для проміжної області значень параметра Рейнольдса 1 ≤ Re ≤ 1000, що відповідають швидкостям руху частинок крупністю 0,1 ≤ d ≤ 2 мм, Аллен запропонував визначати опір тілу за формулою:

 

F ₂ ^••• = 5 πV ² d ² Δ/ (8 ).                                  (2.7)

 

При цьому коефіцієнт гідродинамічного опору середовища залежно від режиму руху приймає значення:

 

  ψ = π / 16 – рух у турбулентній області;                                 (2.8)

ψ = 5 π / (8 ) – рух у проміжній області;                           (2.9)

ψ = 3 π / Re – рух у ламінарній області.                                   (2.10)

 

У результаті узагальнення експериментальних даних Релеєм була отримана діаграма ψ = f (Re) для різних режимів руху кулястих тіл у різних середовищах (рис. 2.1), але для практичних цілей застосувати діаграму Релея досить складно.

 

 

Аналітичний вираз для визначення швидкості руху тіла в середовищі з урахуванням основних сил – гравітаційної (2.1) і опору (2.2), може бути отриманий з рівняння:

           .                    (2.12)

 

При m = πd³δ/6 прискорення падаючого в середовищі тіла складає:

 

 , м/с².                     (2.13)

Спочатку (протягом часу t₀) тіло рухається в середовищі прискорено:

 

t ₀ = 2,5 V ₀ / g ₀, с,                         (2.14)

 

де V ₀ – кінцева швидкість руху тіла, м/с; g₀ – початкове прискорення, м/с²:

 

, м/с².                             (2.15)

За час t₀ тіло проходить шлях L ₀:

 

L ₀ = 1,8 V ₀ ² / g ₀, м.                               (2.16)

Після закінчення проміжку часу t₀ настає рівновага сил, прискорення тіла дорівнює нулю і тіло рухається рівномірно зі швидкістю V₀ = const, що називається кінцевою швидкістю вільного падіння:

  , м/с.                    (2.17)

 

З урахуванням коефіцієнта опору ψ (2.8) – (2.10) можуть бути отримані вирази для визначення швидкості руху тіл у різних режимах.

 

2.2. КІНЦЕВА ШВИДКІСТЬ ЗА МЕТОДАМИ ЛЯЩЕНКА І ФОМЕНКА

 

П.В. Лященко розробив універсальний метод визначення кінцевої швидкості руху тіл будь-якої крупності, густини і форми в різних режимах. На основі діаграми Релея побудована в логарифмічних координатах діаграма Re²ψ= f(Re) (рис. 2.2).

 

Визначення кінцевої швидкості полягає в тому, що при відомих параметрах частинки і середовища розраховується параметр Re²ψ:

 

  Re ² ψ = πd ³ (δ – Δ) gΔ / (6 μ ²).                            (2.18)

Потім за діаграмою (рис. 2.2) знаходять значення Re, після чого з використанням формули (2.3) визначають кінцеву швидкість:

 

V ₀ = Reμ / dΔ.                                        (2.19)

 

За методом Т.Г. Фоменка кінцеві швидкості падіння частинок у середовищі визначають з використанням параметра Архімеда:

 

Ar = d ³ (δ - Δ) gΔ / μ ².                             (2.20)

Потім за діаграмою ψ = f(Ar) (рис. 2.3) або за формулою (2.21) знаходять значення коефіцієнта опору ψ і розраховують кінцеву швидкість падіння частинки (2.22):

;                                  (2.21)

 

 , м/с.                               (2.22)

 

 

При груповому русі мінеральних частинок різної густини і крупності завжди існує деяка кількість частинок, що мають однакові швидкості руху в середовищі. Частинки, що при різній густині і крупності мають однакову кінцеву швидкість падіння в одному і тому ж середовищі, називаються рівнопадаючими, а відношення їхніх діаметрів – коефіцієнтом рівнопадання е:

e = d ₁ / d ₂ = Re ₁ / Re ₂                              (2.23)

 

де індекс «1» відноситься до частинок меншої густини, індекс «2» – до частинок більшої густини. Використання співвідношення  рівнозначно співвідношенню , тому що числа Рейнольдса   і  (2.3) відрізняються лише розмірами частинок.

 З умови рівності кінцевих швидкостей руху частинок коефіцієнт рівнопадання може бути обчислений з використанням густини частинок і середовища:

 

e = [(δ ₂ - Δ) / (δ ₁ - Δ)] ⁿ .                       (2.24)

де n – показник степені, що залежить від режиму руху частинок; при русі в турбулентній області n = 1, у перехідній n = 2/3, у ламінарній n = 0,5.

За методом П.В. Лященка коефіцієнт рівнопадання визначають з використанням параметра ψ/Re. Для частинки меншої густини параметр ψ/Re визначають за формулою:

ψ ₁ / Re ₁ = πg (δ ₁ - Δ) μ / (6 V ₀ ³ Δ ²).                      (2.25)

 

Потім по діаграмі Re = f(ψ/Re) (рис. 2.2) знаходять число Рейнольдса для частинки меншої густини – Re₁, з використанням якого визначають параметр ψ/Re для частинки більшої густини:

ψ ₂ / Re ₂ = ψ ₁ (δ ₂ - Δ) / [ Re ₁ (δ ₁ - Δ)],       (2.26)

 

знаходять по діаграмі число Рейнольдса Re₂ і визначають коефіцієнт рівнопадання по співвідношенню між числами Рейнольдса за формулою (2.23).

За методом Т.Г.Форменка для частинки меншої густини розраховують відношення:

ψ₁³/ Ar ₁ = 64 μ ² (δ ₁ - Δ)² g ² / (27 V ₀ ⁶ Δ ⁴),            (2.27)

        

за цим відношенням по діаграмі (рис. 2.4) знаходять значення Ar₁.

     Для частинки більшої густини параметр ψ₂³/Ar₂ визначають з використанням раніше обчисленого Ar₁:

 

ψ ₂ ³ / Ar ₂ = ψ ₁ ³ (δ ₂ - Δ)² / [ Ar ₁ (δ ₁ - Δ)²]      (2.28)

і по діаграмі Ar = f(ψ³/Ar) знаходять параметр Ar₂. Для визначення діаметрів рівнопадаючих частинок параметри Ar₁ і Ar₂ підставляють у формулу:

 

 .                             (2.29)

 

Коефіцієнт рівнопадання визначається за формулою (2.23) як співвідношення діаметрів рівнопадаючих частинок.