Основні проблеми чисельного розв ’ язання задач

При застосуванні чисельних методів розв’язки задач виявляються, як правило, наближеними. Пояснюється це в багатьох випадках тим, що точні методи їх розв’язання дотепер невідомі. Крім того, навіть при застосуванні точного методу задовольняються наближеним розв’язком, зокрема, з таких причин:

— точний розв’язок виявляється трудомістким; тоді як наближений при істотно меншому об'ємі обчислень виявляється цілком прийнятним за своїм характером;

— точність отриманого результату не відіграє істотної ролі, тому що в будь-якому разі заокруглюється до цілого числа (наприклад, при визначенні кількості механізмів, необхідних для виконання даного обсягу робіт).

Наближений розв’язок задачі повинен «не набагато відрізнятися» від точного розв’язку, інакше ним не можна скористатися з конкретною метою. Що означає термін «не набагато відрізняється» або, інакше кажучи, що варто розуміти під неточністю (наближеністю) розв’язку? Кожен чисельний метод дозволяє оцінювати ступінь неточності розв’язку, одержуваного цим методом. У курсі чисельних методів ступінь неточності розв’язку характеризується поняттям похибки розв’язку. Потрібно зазначити, що теорія похибок є одним із основних розділів обчислювальної математики. Очевидно, що відхилення наближеного результату від точного напряму залежить від коректності поставленої задачі та від наявних вхідних даних. Тому актуальним є дослідження збіжності наближеного розв’язку, що пропонує чисельний алгоритм, до точного розв’язку поставленої задачі.

Таким чином, основними проблемами чисельного розв’язання задач можна вважати:

-проблему оцінки похибки наближеного розв’язку;

-проблему коректності та обумовленості поставленої задачі;

-проблему збіжності наближеного методу до точного.

 

Класифікація похибок

При розв’язанні прикладних задач дуже важливо мати уявлення про точність отриманих результатів. Похибки, що можуть бути закладені в таких результатах, утворюються з багатьох причин.

Можна визначити чотири основні джерела похибок результату чисельного методу:

1) вхідні дані;

2) математична модель;

3) наближений метод;

4) округлення при розрахунках.

Проаналізуємо їх.

Похибки вхідних даних

Точні значення багатьох величин практично ніколи не можуть бути введені в процес обчислень, наприклад, ірраціональних величин , ,  та ін. У цих випадках неминучі похибки округлення.

При розв’язанні багатьох задач за вхідні беруться значення величин, отриманих з експерименту. З багатьох причин, у тому числі обмеженої точності вимірювальної апаратури і впливу різних випадкових чинників, експериментальні дані завжди мають похибки того або іншого порядку. Так, точність вимірювання температури, відстані, об'єму, ваги залежить від досконалості застосовуваних вимірювальних приладів. Похибки можуть бути у вхідних даних, отриманих теоретично. Природно, що вони впливають на результати розв’язку задачі, однак жодним чином їх усунути не можна. Тому похибки такого типу часто називають неусувними.

Похибки математичної моделі

Необхідно зазначити, що в більшості випадків фахівцю вдається підібрати для розв’язання задачі наближений метод, що дозволяє одержати цілком задовільні за ступенем точності результати. Однак розв'язувана задача є не тим реальним завданням, з яким фахівцю доводиться мати справу, а його спрощеною математичною моделлю. Так, при розрахунку авіаційного двигуна або несучої конструкції промислової споруди неможливо ввести до розгляду їх реальну надзвичайно складну форму, врахувати наявність усіх отворів, деталей сполучення і т.п. При визначенні оптимального складу персоналу універмагу, кас попереднього продажу залізничних квитків доводиться припускати, що покупці приходять через рівні проміжки часу, час обслуговування кожного з них однаковий і таке інше.

Розв’язок реальної задачі не збігається із результатом, отриманим при розгляді її математичної моделі навіть із застосуванням точних методів розв’язку, а похибки, що виникають при цьому, можна назвати похибками математичного моделювання.

Похибки наближеного методу

У випадку, коли розв’язати задачу точно неможливо, доводиться застосовувати різні наближені методи. Результати такого підходу завчасно містять похибки, характер яких залежить від використовуваного наближеного методу (похибки методу).

При застосуванні наближених методів розв’язання задач, наприклад ітераційних, точні значення шуканих величин можуть бути отримані тільки після виконання нескінченного числа етапів обчислень, що практично здійснити неможливо. Доводиться задовольнятися певним числом етапів і відповідними наближеними результатами із так званими залишковими похибками.