Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

                                2.1 Векторная форма

                                2.2 Координатная форма

                                     2.3 Естественная форма

3. Основные задачи динамики материальной точки.

                                     3.1 Вторая основная (обратная) задача для свободной

                                           материальной точки.

                                3.2 Первая основная (прямая) задача для свободной

                                     материальной точки.

 

ЛИТЕРАТУРА:

1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1971, ч 1 –2.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М: Высшая школа 1986.

3. Прусов В.М. Наголюк Л.О. Динамика – С.: СНУЯЭ и П, 2007.

4. Прусов В.М. Практические занятия по динамике С.:СВВМИУ 1985

5. Яблонский А.А Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. М.: Высшая школа, 1985,   

 

                                                                      

                                                             

                                                                     СТ. ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

                                                                                /КОРНЕЕВА Н.К./

 

 

ЛЕКЦИЯ № 15

 

ТЕМА: Законы динамики. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

Напоминаю, что объектом изучения статики являлось абсолютно твердое тело, находящееся в состоянии равновесия.

В кинематике мы изучали движение материальных объектов с геометрической точки зрения без учета масс и действующих на них сил.

Но не рассматривали, почему, то или иное тело так движется.

А теперь мы приступаем к изучению динамики, будем рассматривать движение, но уже с учетом действующих сил.

Динамика последний раздел курса теоретической механики. В этом разделе

Решаются самые общие задачи движения материального объекта.

Как и в кинематике, динамику подразделяют на два больших раздела:

- динамику материальной точки;

- динамику системы материальных точек и материального тела.

Начнем мы с изучения движения материальной точки, а затем уже перейдем к системе МТ.

Формулировка.

Динамика ― раздел теоретической механики, в котором движение изучается в зависимости от действующих сил и начального состояния.

В динамике будут решаться уравнения второго порядка и основные действия, которые необходимо будет выполнять - интегрирование

 

1. Основные законы динамики.

В основе динамики лежат известные вам законы Ньютона и изложенные им на латинском языке в трактате"Математические начала натуральной философии" (1687).

Сочинение Ньютона переведено на русский язык академиком А.Н.Крыловым (Известия морской академии, 1915; перепечатано в Собрании трудов акад. А.Н.Крылова, т. VII изд. АН СССР, 1936)

Портрет висит на стене.

Данные законы вам уже известны и из курса физики школьного, и институтского.

Законы Ньютона справедливы для тела, которое представляет собой свободную материальную точку.

Дифференциальные уравнения движения материальной

 точки.

 

 

Для того, чтобы описать движение материального объекта находящегося под действием сил, необходимо составлять дифференциальные уравнения, а потом их решать.

Решение дифференциальных уравнений называется интегрированием дифференциальных уравнений.

 

Как известно из кинематики, движение точки математически можно описать тремя способами:

· векторным,

· координатным

· естественным.

Соответственно, из второго закона Ньютона следуют дифференциальные уравнения движения материальной точки

· ввекторной,

· в координатной 

· в естественной

формах.

Векторная форма

Рассмотрим свободную материальную точку   массы , движущуюся под действием системы сил относительно инерциальной системы отсчёта (рисунок 1.1).

Исходным уравнением является основной закон динамики:

 

.       (1)

Изображаем координатную систему Оxyz – это инерциальная система отсчета, принято называть движение по отношению к инерциальной системе отсчета абсолютным движением.

Изобразим точку М и силу .

Если посмотреть на первое уравнение, то чем отличается вектор силы от вектора ускорения в скалярной величине?

Скаляром массы.

Значит в этом случае сила и ускорение направлено по одной прямой.

 

Если воспользоваться формулой

где радиус – вектор точки, то уравнение (1) принимает вид

                                                             (7)

Уравнение    (7) называется дифференциальным уравнениемдвижениясвободной материальной точки в векторной форме.

Для несвободной точки в правой части появится, кроме активной силы реакция.

Записываем.

Для несвободной точки уравнение (6) записывается:

 

 

                                    (8)

Где

 - равнодействующая всех активных сил

- равнодействующая всех реакций связи

Уравнение (8) называется дифференциальным уравнением движениянесвободной материальной точки в векторной форме.

 

2.2  Координатная форма

Проецируя векторное равенство (7)   на координатные оси, получаем скалярные уравнения

= F_x

 = F _у

= F_z

где

=

=

                                               =

поэтому

                                                                     (9)

Уравнения (9) называютсядифференциальнымиуравнениями свободной материальнойточки в координатной форме (декартовых координатах).

Очевидно, дифференциальные уравнения движения несвободной точкив декартовых координатах имеют вид

                                                        (10)

Уравнения (9) называютсядифференциальнымиуравнениями не свободной материальнойточки в координатной форме (декартовых координатах).

Существуют диф. уравнения первого, второго и др. порядков, зависят эти уравнения от старшей производной.

2.3  Естественная форма

Для записи диф. уравнений в естественной форме необходимо вспомнить кинематику.

Если траектория АВ точки М известна, то изображаем:

- траекторию движения точки, 

- начало отсчета

- точку на траектории.

Затем изображаем естественную систему координат, для этого проводим касательную Направление касательной определяем ортом , затем изображаем главную нормаль и бинормаль, характеризуемые соответственно ортами  

Плоскость образованную касательной и главной нормалью называют соприкасающейся плоскостью.

Теперь будем проецировать основное уравнение (1) на естественные оси.

 

Для свободной материальной точки

                           

                                                   (11)

или

 

                              

                                                           (12)

так как

 

 

Из последнего уравнения (11) видно, что траектория, описываемая точкой под действием силы , такова, что соприкасающаяся плоскость всегда содержит в себе эту силу.

 

Уравнения (11) называются дифференциальными уравнениями движениясвободной материальной точки вестественной форме.

 

По аналогии легко записать дифференциальные уравнения движениянесвободной точки в естественной форме

                                                             (13)

Замечание:

Реакция  зависит от:

1) типа связей, наложенных на точку;

2) активной силы , вызывающей движение точки: реакция может появиться только при наличии активной силы;

3) движения самой точки.

Поэтому реакция  заранее неизвестна.

 

Пример.

 Рассмотрим движение груза M, подвешенного к нижнему концу гибкой нерастяжимой нити длиною  

 

 

 

Уравнения (13) в данном случае имеют вид

    

Откуда получаем

то есть реакция зависит от силы тяжести P, а также от положения точки на траектории, характеризуемого углом , и её скорости  в рассматриваемый момент времени.

 

Адача

Материальная точка массой m движется согласно уравнениям

постоянные).

Определить силу, вызывающую заданное движение точки. (модуль и направление)

Решение.

Воспользуемся следующими уравнениями:

Определим вид траектории.

В кинематике мы рассматривали подобную задачу? Да.

Траекторией точки является эллипс

 

 

 

 

Находим проекции ускореий на координатные оси.

,

т.к

то данные уравнеия можно записать в другом виде

Отличие уравнений состоит в том, что в превом случае мы видим в чему равны производные в любой момент времени, а во втором случае в любом положении точки.

Следовательно проекции силы на оси координат будут равны:

,

или

Откуда

таким образом

где

- модуль радиуса вектора.

 

Сила действующая на точку,   – переменная, пропорциональная первой степени растояния до точки О начала координат.

Определим как она направленна.

Силу  предстовляем в виде:

 

 = F_X  + F_У

Подставляем

 в данную формулу и получаем

= - mk²(x  + у )

так как

 

Итак

Чем отличается вектор силы от радиуса вектора?

Знаком и скаляром.

Сила  в любом положении точки на эллипсе направлена в противоположную сторону вектора , то есть  

Таким образом, действующая на точку сила пропорциональна расстоянию точки от центра O, и её линия действия в любой момент движения проходит через неподвижный центр O.

Такая сила называется центральной силой. (она линейная,т.к. пропорциональна первй степени радиуса вектора)

Первая задача динамики сточки зрения математики простая, т.к. решается с помощью операции дифференцирования.

Естественный способ задания движения точки (дополнительно)

Пусть дано:

 масса точки;

траектория точки (следовательно, и её радиус кривизны );

уравнение движения точки в естественной форме (закон движения по траектории).

Определить: модуль и направление силы .

По уравнению движения точки вычисляем скорость, касательное и нормальное ускорения точки:

Далее из уравнения (1.10) находим проекции силы на естественные оси координат

Наконец,

Итак, первая основная задача динамики свободной точки решается весьма просто при помощи операции дифференцирования.

Несмотря на свою простоту, эта задача сыграла важную роль в науке. 

Опираясь на три эмпирических закона Кеплера  (1571 ― 1630) ― немецкий математик и астроном, кинематически определяющих движение планет вокруг Солнца, Ньютон исследовал вопрос о том, какие силы действуют на планеты.

В результате решения этой первой задачи динамики Ньютон пришёл к открытию закона всемирного тяготения.

Первая задача динамики несовободной точки:

В случае несвободной точки в первой задаче динамики необходимо по заданной массе, активной силе, определить реакцию связей 

 

Формулировка.

Вторая основная (обратная) задача.

 Считая известными массу точки, активную силу и начальное состояние точки, определить движение этой точки.

Под начальным состоянием точки понимают ее начальное положение и скорость в этом положении.

Следует иметь в виду, что под действующей на точку силой понимают равнодействующую только тех сил, которые действуют с начального момента времени. Силы же, действовавшие до начального момента времени, учитываются посредством задания начального положения точки и её начальной скорости.

Покажем, как решается эта задача, если способ задания движения координатный.

В общем случае проекции силы  зависят от функций времени, координат и проекций скорости точки

                   (14)

Запишем дифференциальные уравнения движения точки в координатной форме, Будем считать, что они нам заданы.

                          (15)

Итак, задача определения движения точки, т.е. нахождение x,у, z от t, сводится к интегрированию трех дифференциальных уравнений второго порядка

Общее решение этих уравнений будет содержать шесть произвольных постоянных.

                  (16)

Итак мы получили шесть уравнений, которые имеют шесть неопределенных постоянных. Если задана сила она определяет не одно движение

Как видим ДУ движения точки при заданной силе , определяет не одно движение, а целый класс движений.

Возникает вопрос, почему так получается, ДУ известно, силы действующие известны и тем не менее определяем бесчисленное множество решений.

Рассмотрим пример, а потом я вам поясню как это получается, с точки зрения физики.

Пусть материальная точка – это мел.

Если это мел падает вниз под действием силы тяжести – это одно движение, Если при падении мела вниз с определенной высоты сообщить ему скорость, то он будет падать по параболе.

Можно бросить мел вверх сообщив ему ускорение, тогда он движется под углом к горизонту.

 

Во всех трех задачах сила действует одна и та же, а движения тем не менее происходят разные.

Выходит движения зависят не только от действующей силы, но и от того,где точка была в начале движения и какая у него при этом была скорость, т.е. от начального состояния.

Почему? Как это объяснить?

Сила определяет только ускорение, а скорость и положение точки на траектории определяют не только действующие силы, но и начальные положения и начальная скорость.

Таким образом, для того, чтобы задача была вполне определенной необходимо присоединить к этим уравнениям начальные условия

Чтобы получить вполне определенный закон движения точки к ДУ необходимо присоединить начальные условия.

Сколько этих условий будет?

Шесть, определяющие положение точки в начальный момент времени и скорость.

при

                           (17)

Здесь начальные координаты;

проекции начальной скорости точки.

Что же мы должны делать при решении конкретной задачи. Уравнения (15) проинтегрировать, т.е. построить какое-то частное решение, которое бы удовлетворяло бы этим уравнениям и подставить начальные условия.

 С точки зрения математики такая задача называется задачей Коши.

Следовательно данная задача механики сводиться к известной задачи Каши из теории ДУ (О.Коши (1780-1857) – выдающийся французский математик.)

Для того, чтобы сформулировать вторую задачу динамики что необходимо знать?

Массу, силу, а необходимо найти закон движения и неизвестную реакцию.

Сформулируем вторую задачу динамики для несвободной точки.

В случае несвободной материальной точки, во второй основной задаче динамики, требуется по заданным массе, активной силе, начальному положению и начальной скорости точки определить движение точки и реакцию связей.

Какая задача более сложная для свободной, или не свободной?

Эта задача для несвободной материальной точки принципиально отличается от подобной задачи для свободной материальной точки.

При решении второй основной задачи динамики для свободной точки главное правильно составить дифференциальные уравнения движения, после чего их всегда можно проинтегрировать точно или приближёнными способами, известными из теории дифференциальных уравнений.

Для несвободной точки, мы не можем приступить непосредственно к интегрированию ДУ.

Дело в том, что в эти уравнения входят шесть неизвестных: три координаты x, y, z точки и три проекции N_x, N_y, N_z силы реакции , которая зависит не только от вида связи и активной силы , но и от самого движения точки. Поэтому прежде всего нужно каким бы то ни было способом исключить эту реакцию и только после этого можно приступить к интегрированию дифференциальных уравнений, уже не содержащих неизвестную реакцию, а затем по найденным уравнениям движения

можно легко найти N_x, N_y, N_z

РС

При решении задач все силы можно разделить на силы зависящие от положения, скорости и времени.

Примерами сил, зависящих от положения точки, являются упругая сила пружины, силы всемирного тяготения, кулоновы силы взаимодействия между зарядами.

К силам, зависящим от скорости, относятся силы сопротивления различных сред.

Сила, вызывающая колебания неуравновешенного мотора на упругом основании, служит примером силы, являющейся периодической функцией времени. К этому же классу сил относятся гидродинамические силы, действующие на винт корабля.

 

Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

                                2.1 Векторная форма

                                2.2 Координатная форма

                                     2.3 Естественная форма

3. Основные задачи динамики материальной точки.

                                     3.1 Вторая основная (обратная) задача для свободной

                                           материальной точки.

                                3.2 Первая основная (прямая) задача для свободной

                                     материальной точки.

 

ЛИТЕРАТУРА:

1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1971, ч 1 –2.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М: Высшая школа 1986.

3. Прусов В.М. Наголюк Л.О. Динамика – С.: СНУЯЭ и П, 2007.

4. Прусов В.М. Практические занятия по динамике С.:СВВМИУ 1985

5. Яблонский А.А Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. М.: Высшая школа, 1985,   

 

                                                                      

                                                             

                                                                     СТ. ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

                                                                                /КОРНЕЕВА Н.К./

 

 

ЛЕКЦИЯ № 15