Системы массового обслуживания

Системы массового обслуживания (СМО) с отказами

В системах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. Имеется каналов обслуживания, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживании имеет интенсивность (величина, обратная среднему времени обслуживания ).

Вероятность простоя каналов обслуживания

Требование, поступающее в систему, получает отказ в том случае, когда все узлы обслуживания заняты. Вероятность отказа исчисляется по формуле

Относительная пропускная способность, т.е. вероятность того, что заявка будет обслужена, исчисляется по формуле

Абсолютная пропускная способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, составляет

Среднее число занятых каналов

Доля каналов, занятых обслуживанием, составляет

СМО с неограниченным ожиданием В СМО с неограниченным ожиданием заявка, нашедшая все каналы занятыми, становится в очередь, на которую не наложено ограничений ни по длине очереди, ни по времени ожидания. В силу неограниченности очереди каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому , . Для СМО с неограниченной очередью накладывается ограничение . Если это условие нарушено, то очередь растет до бесконечности, наступает явление «взрыва».

· Вероятность простоя каналов:

· Вероятность занятости обслуживанием к каналов:

· Вероятность занятости обслуживанием всех каналов при отсутствии очереди:

· Вероятность наличия очереди есть вероятность того, что число требований в системе больше числа каналов:

· Вероятность для заявки попасть в очередь есть вероятность занятости всех каналов, эта вероятность равна сумме вероятностей наличия очереди и занятости всех каналов при отсутствии очереди:

· Среднее число занятых обслуживанием каналов:

· Доля каналов, занятых обслуживанием:

· Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

· Среднее число заявок в системе:

· Среднее время ожидания заявки в очереди:

· Среднее время пребывания заявки в системе:

СМО с ожиданием и ограниченной очередью

В системах с ожиданием количество заявок, стоящих в очереди, ограничено числом , т.е. заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее заявок. Если число заявок в очереди равно , то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему не обслуженной.

Системы с ограниченной очередью являются обобщением двух рассмотренных ранее СМО: при = 0 получаем СМО с отказами, при СМО с ожиданием.

Вероятность простоя каналов обслуживания

Вероятность отказа в обслуживании равна вероятности того, что в очереди уже стоят заявок:

Относительная пропускная способность есть величина, дополняющая вероятность отказа до 1, т.е. вероятность обслуживания

Абсолютная пропускная способность определяется равенством

Среднее число занятых каналов

Средняя длина очереди, т.е. среднее число заявок в очереди

Среднее время ожидания обслуживания в очереди

Среднее число заявок в СМО

Среднее время пребывания заявки в СМО

Замкнутые СМО В замкнутой СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных требований. Пока потенциальное требование не реализовалось в качестве требования на обслуживание, считается, что оно находится в блоке задержки. В момент реализации требование поступает в саму систему. Пусть — число каналов обслуживания, — число потенциальных заявок, — интенсивность потока заявок каждого потенциального требования, — интенсивность обслуживания,

Вероятность простоя системы определяется формулой

Финальные вероятности состояний системы

Среднее число занятых каналов:

Абсолютная пропускная способность системы:

Среднее число заявок в системе

Пример задачи №35

На вход одноканальной СМО с отказами поступает поток вызовов с интенсивностью вызовов в минуту. Средняя продолжительность обслуживания мин. Найти абсолютную и относительную пропускную способность СМО, вероятность отказа, среднее число занятых каналов.

Решение. В условии задачи

вероятность простоя определяем по формуле (8.1).

т.е. вероятность отказа

тогда относительная пропускная способность, или вероятность для заявки быть обслуженной, равна

Абсолютная пропускная способность

Среднее число занятых каналов

Пример задачи №36

Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок отказывает с интенсивностью = 0,5 отказа в час, среднее время ремонта = 0,8 ч. Определить пропускную способность системы.

Эта задача рассматривает замкнутую СМО,

Вероятность простоя рабочего определяем по формуле (8.27):

вероятность занятости рабочего

Если рабочий занят, он налаживает станков в единицу времени, пропускная способность системы

станка в час.