III. Актуализация ранее изученного.

Вопросы для обсуждения:

1. Определение производной.

2. Производные элементарных функций.

3. Правила вычисления производных.

4. Дифференцирование сложной функции.

IV. Экономический смысл производной

Производительность труда.

Пусть известна функция , выражающая объём произведённой продукции и за время t. Тогда за время  величина произведённой продукции составит

Средняя производительность труда – это отношение количества произведённой продукции к затраченному времени, т.е.

Производительностью труда в момент времени t ₀ называется предел, к которому стремится z _ср при :

Предельные затраты.

Пусть q – объём произведённой продукции, С – её себестоимость (или издержки), зависящая от q, т.е. .

Средние затраты на единицу продукции (средняя себестоимость) определяются по формуле

Найдём  – приращение затрат на производство, связанное с увеличением объёма произведённой продукции на величину :

Отношение  есть среднее приращение затрат на производство, т.е. приращение затрат на единицу произведённой продукции. Тогда, если существует

То  называют предельными затратами на производство (себестоимостью). В экономических исследованиях предельные издержки называют маржинальными и обозначают через МС, т.е.

Предельный доход.

Пусть функция  отражает зависимость дохода R от объёма продукции q. Рассуждения, аналогичные предыдущим, приведут к формуле

Величина  определяет предельный доход, который называют маржинальным и обозначают через МС, т.е.

Задача: Объём продукции и, выпускаемой рабочим в течение рабочего дня, выражается функцией , где t – время, ч; причём . Необходимо вычислить производительность труда и скорость её изменения через 1 ч после начала и за 1 ч до окончания рабочего дня.

Решение:

Производительность труда  выражается формулой . Тогда

Производительность труда через 1 ч после начала работы

(у.е.)

Производительность труда за 1 ч до окончания работы

(у.е.)

Скорость изменения производительности труда

Значит, ,

 

V. Задачи на экстремум в экономике.

Алгоритм решения задачи

 на определение наибольшего или наименьшего значений:

I. Этап построения математической модели (этап формализации).

· выявляем оптимизируемую величину (прибыль, расходы на производство и т.п.). и обозначаем её у;

· одну из неизвестных величин (цену товара, величину спроса, объём производства и т.п.) считаем независимой переменной и обозначаем х. Устанавливаем реальные границы изменения х в соответствии с условием задачи;

· исходя из конкретных условий задачи, выражаем у через х и известные величины.