Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Енергетичний зміст рівняння пластичності
Зміна форми тіла завжди починається з пружною деформаціэю. Зовнішні сили, прикладені до тіла, роблять певну роботу, зміщуючи атоми з положень стійкої рівноваги. Ця робота накопичується в металі у вигляді потенційної енергії, яка повертає атоми в вихідні положення після зняття навантаження. Розглянемо величину затрачуваної при пружній деформації енергії (роботи). Нехай одиничний об'єм, ребра якого дорівнюють одиниці довжини, знаходиться в напруженому стані. Сили, що діють на його грані, чисельно рівні головним нормальним напруженням (якщо розглядається головна система координат). Так, якщо F1 - площа грані 1, то сила вздовж осі 1 Q1=σ1F1=σ1x1x1=σ1. Робота сили Q1А1=0,5Q1Δl. Тут Δl - шлях, пройдений силою Q1, а коефіцієнт 0,5 прийнятий тому, що сила Q1 зростає від нуля до даного значення по прямій, і робота дорівнює площі трикутника 0АB на рис.26. Оскільки відносне подовження по осі 1 складає ε1=Δl/l0 =Δl/1, то чисельно ε1=Δl. Отже, робота переміщення межі 1 уздовж осі 1 чисельно дорівнює А1= 0,5σ1ε1. Аналогічний вираз отримаємо і для розрахунку роботи напружень по інших осях. У загальному випадку пружний потенціал (вся витрачена на деформацію робота) складає в тензорному вигляді А = 0,5ТσТε, (94) або в розгорнутому вигляді А = 0.5(σ1ε1 + σ2ε2 + σ3ε3). (95) Теоретично елементарний об'єм (або тіло) може витримувати будь-які гідростатичні (кульові) напруги, не змінюючи своєї форми, якщо девіатор напруг дорівнює нулю. Зміна форми настає тільки внаслідок дії девіаторной схеми напруг. Отже, для визначення енергії (роботи) формозміни потрібно з пружного потенціалу А відняти роботу, що витрачається на пружну зміну об’єму Аоб. Воно визначається добутком кульового тензора напружень на кульовий тензор деформацій Аоб = 0.5 Т°σТ°ε. (96) Вираження (96) у розвернутому вигляді Аоб = 0.5(σсрεср + σсрεср + σсрεср). (97) Висловимо компоненти деформацій у формулі (97) через компоненти напружень, використовуючи узагальнений закон пружності (78)
А = (1/2Е){σ1[σ1 – μ(σ2 + σ3)] + σ1[σ2 – μ(σ3 + σ1)] + σ1[σ3 – μ(σ1 + σ2)] } = = (1/2Е)[(σ12 + σ22 + σ32) - 2μ(σ12 + σ22 + σ32)]. Для визначення Аоб зауважимо, що εср = (1/3)(ε1 + ε2 + ε3) = а σср = (1/3)(σ1 + σ2 + σ3). Отже, Аоб = (3/2)(1/3Е)(1/3)(σ1 + σ2 + σ3)[(σ1 + σ2 + σ3) - 2μ(σ1 + σ2 + σ3)] = = (1/6Е) (σ1 + σ2 + σ3)[(σ1 + σ2 + σ3)2 - 2μ(σ1 + σ2 + σ3)2]. Питома потенційна енергія формозміни Аф визначиться як різниця повної роботи деформації А і роботи пружного зміни об’єму Аоб: Аф = А - Аоб = (1/2Е)[σ12 + σ22 + σ32 - 2μ(σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1)] – - (1/6E)[(σ1 + σ2 + σ3)2 - 2μ(σ1 + σ2 + σ3)2] = = (1/6E)(3σ12 + 3σ22 + 3σ32 - 6μσ1σ2 - 6μσ2σ3 - 6μσ3σ1 – - σ12 - σ22 - σ32 - 2σ1σ2 - 2σ2σ3 - 2σ3σ1 + 2μσ12 + 2μσ22 + 2μσ32 + + 4μσ1σ2 + 4μσ2σ3 + 4μσ3σ1 = = (1/6E)[(2σ12 + 2σ22 + 2σ32 - 2σ1σ2 - 2σ2σ3 - 2σ3σ1) + μ(2σ12 + 2σ22 + 2σ32 - -2σ1σ2 - 2σ2σ3 - 2σ3σ1)]. Отримуємо Аф = [(1 + μ)/6Е][(σ1 – σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2]. Для лінійного напруженого стану σ2=σ3=0, і робота формозміни для цього випадку Аф лин =[(1+μ)/6Е]σ12. При пластичній деформації σ1=σт і Афлин=[(1+μ)/6Е]σт2. Оскільки накопичена в тілі енергія не залежить від схеми напруженого стану, вона повинна бути однією і тією ж для забезпечення пластичної деформації, тобто Аф лин = Аф [(1 + μ)/6Е][(σ1 – σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2] = [(1 + μ)/6Е]σт2 Після скорочення на [(1+μ)/6Е] і добування кореня з лівої і правої частини маємо в лівій частині інтенсивність напружень (1/ )[(σ1 – σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2]0,5 = σт, тобто умова Губера-Мізеса (93). Отже, цю умову можна трактувати так: пластичний стан в точці тіла настає тоді, коли біля точки буде накопичено певну кількість потенційної енергії, постійне для даного металу (сплаву) у даних умовах деформації (ступеня і швидкості деформації і температури, мікроструктури) незалежно від схеми напруженого стану. Тому умова (93) відображає енергетичний зміст рівняння пластичності. Особливості деформації конкретного сплаву в кожному випадку характеризуються експериментально визначається величиною σт.
Частинні вираження рівняння Рівняння (93) є найбільш повним і коротким виразом рівняння пластичності. Його можна записати в декількох різних за формою, але однакових за змістом варіантах: в головних осях, звівши обидві частини в квадрат (σ1 – σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2 = 2σт2, (98) у довільній прямокутній системі координат (σx – σy)2 + (σy – σz)2 + (σz – σx)2 + 6(τxy2 + τyz2 + τzx2) = 2σт2, (99) у довільній циліндричній системі координат (σρ – σθ)2 + (σθ – σz)2 + (σz – σρ)2 + 6τzρ2 = 2σт2. (99, a) При вирішенні плоских і осесиметричних задач вид рівнянь (93) спрощується. При плоскому напруженому стані σу = 0, вісь у - головна, τxy = τyz = 0. Підставляючи ці значення в рівняння (99), отримуємо: (σx – 0)2 + (0 – σz)2 + (σz – σx)2 + 6(0 + 0 + τzx2) = 2σт2. σx2 + σz2 + σz2 – 2σzσx + σx2 + 6τzx2 = 2σт2. σx2 + σz2 – 2σzσx + 3τzx2 = 2σт2. (100) В головних осях σ12 + σ32 – 2σ3σ1 = 2σт2. (101) Для плоского деформованого стану маємо σy = (σx + σz) / 2, τxy = τyz = 0. Підставляючи ці значення в (99), маємо [σx – (σx + σz)/2]2 + [(σx + σz)/2 – σz]2 + (σz – σx)2 + 6τzx2 = 2σт2 Підставляючі ці значення в (99), Маємо (σx - σz)2 + 4τzx2 = (4/3)σт2. Позничимо σт/ = k, где k – оп і р пластич н ому зсуву (чи просто опір зсуву). Тоді (σx - σz)2 + 4τzx2 = 4k2. (102) в головних осях (σ1 – σ3)2 = 4k2, σ1 – σ3 = 2k. (103) Так як τmax = (σ1 – σ3)/2, то τmax = k. (104) Максимальне значення дотичного напруження не може перевищувати значення k, яке воно досягає при пластичному плині. Умова (104) є частинний вид рівняння пластичності. Як і σт, k - величина, постійна для даного сплаву і умов деформації. Розмірність k така ж, як у σт – МПа (Н/ мм2, кг/мм2). У циліндричній системі координат для осесиметричної задачі рівняння (99, а) зберігає свій вигляд (σρ – σθ)2 + (σθ – σz)2 + (σz – σρ)2 + 6τzρ2 = 2σт2. (105) У головних осях τzρ = 0, тому маємо (в індексах головних осей) (σ1 – σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2 = 2σт2. Рівняння аналогічно рівнянню (98). Якщо σρ = σθ, то в довільних осях маємо (σz – σρ)2 + 3τzρ2 = σт2 = 3k. (106) У головних осях σ1 – σ3 = k. (107)
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-08-16; просмотров: 53; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.8.216 (0.021 с.) |