Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Інтенсивність дотичних напружень і узагальнен а напруга
Вище було зазначено, що деформація здійснюється під дією дотичних напружень. Величина τокт є усередненою характеристикою всіх дотичних напружень для даного напруженого стану. Вона дорівнює середньому квадратичному значенню дотичних напружень, обчисленому на поверхні сфери, навколо елементарного об'єму. Позитивну скалярну величину, чисельно рівну октаедричному дотичному напруженню, називають інтенсивністю дотичних напружень і позначають τи (іноді її позначають Т). У головній системі координат Τи = (1/3) [(σ1 – σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2]0,5. (42) У довільній системі координат Τи = (1/3)[(σx – σy)2 + (σy – σz)2 + (σz – σx)2 + 6(τxy2 + τyz2 + τzx2)]0,5. (43) Іноді інтенсивність дотичних напружень визначають за висловом, що відрізняється від (42) чисельним множником τи = () [(σ1 – σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2]0,5. (44) Якщо перед радикалом варто множник, величину називають узагальненою напругою або інтенсивністю напруг σi У головній системі координат σи = ()[(σ1 – σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2]0,5. (45) У довільній системі координат σи = ()[(σx – σy)2 + (σy – σz)2 +(σz – σx)2 + 6(τxy2 + τyz2 + τzx2]0,5. (45,а) Значення σі і τі - позитивні інваріантні скалярні величини, що дозволяють одним числом характеризувати будь-напружений стан, тому вони мають велике значення в теорії пластичності. Нагадаємо, що обидві ці величини пропорційні дотичній октаедричній напрузі і або рівні йому, або відрізняються числовими множниками. Ці множники вибираються таким чином, щоб спростити запис отриманих надалі результатів.
Діаграми Мора. Діаграми напруг за О.Мором дозволяють у графічному вигляді представити на площині всю сукупність напруг, що діють на будь-яких площадках (напружений стан точки). Обгрунтуємо їх будову, використовуючи такі формальні перетворення у головних осях. Сума квадратів нормального і дотичного напруг дають повну напругу на площадку σ2 + τ2 = σ12а12 + σ22а22 + σ32а32. (а) Нормальное напруження на площадці σ = σ1а12 + σ2а22 + σ3а32. (б)
Обидві частини рівняння (а) помножимо на (σ2 + σ3) і почленно віднімемо з рівняння (б). До лівої і правої частини отриманого рівняння додамо ліву і праву частини рівняння для напрямних косинусів 1 = а12 + а12 + а12 , (1) Попередньо помноживши обидві частини рівняння (а) на σ2σ3. Отримаємо: σ2 + τ2 - σ(σ2 + σ3) + σ2σ3 = σ12а12 + σ22а22 + σ32а32 – - (σ2 + σ3)(σ1а12 + σ2а22 + σ3а32) + σ2σ3(а12 + а12 + а12) (в) Додаючи до обох частин рівності (у)[(σ2+σ3)/2]2, після простих перетворень отримаємо [σ – (σ2 +σ3)/2]2 + τ2 = [(σ2 - σ3)/2]2 + а12(σ1 - σ3) (σ1 – σ2). (46, а) Розглянемо ці перетворення. Сума квадратів нормального і дотичного напружень на похилій площадці дає квадрат повної напруги σ2 + τ2 = σ12а12 + σ22а22 + σ32а32 (а) Возмем рівняння для розрахунку нормального напруження на похилій площадці (16) σ = σ1а12 + σ2а22 + σ3а32 та помножимо його на (σ2 + σ3); отримане рівняння (б) σ(σ2 + σ3) = σ1а12(σ2 + σ3) + σ2а22(σ2 + σ3) + σ3а32(σ2 + σ3) (б) почленно віднімемо з рівняння (а) σ2 + τ2 - σ(σ2 + σ3) = σ12а12 + σ22а22 + σ32а32 – σ1а12(σ2 σ3) + σ2а22(σ2 + σ3) + σ3а32(σ2 + σ3). (в) Повернемося до рівняння (5) 1 = а12+ а22+ а32. Помножимо його на σ2σ3 і почленно додамо до рівняння (в) σ2 + τ2 - σ(σ2 + σ3) + σ2σ3= σ12а12 + σ22а22 + σ32а32 – σ1а12(σ2σ3) - - σ2а22(σ2 + σ3) - σ3а32(σ2 + σ3) + σ2σ3(а12+ а22+ а32). (г) До обох частин рівняння (г) додамо складова [(σ2+σ3)/2]2, після деяких перестановок доданків отримуємо σ2 - σ(σ2 + σ3) + σ2σ3 + [(σ2 + σ3)/2]2 + τ2 = σ12а12 + σ22а22 + σ32а32 – σ1а12(σ2 + σ3) - - σ2а22(σ2 + σ3) - σ3а32(σ2 + σ3) + σ2σ3(а12+ а22+ а32) + [(σ2 + σ3)/2]2.
Після розкриття дужок, і перенесення σ2σ3 в праву частину маємо σ2 - σ(σ2 + σ3) + [(σ2 + σ3)/2]2 + τ2 = - σ2σ3 + σ12а12 + σ22а22 + σ32а32 - – σ1σ2а12 – σ1σ3а12 – σ22а22 – σ2σ3а22 - σ2σ3а32- σ32а32 + σ2σ3а12 + σ2σ3а22 + σ2σ3а32 + – + [(σ2 + σ3)/2]2. Три перших доданків лівій частині представляють собою квадрат різниці [σ - (σ2 + σ3)/2]2, права частина після перетворень дорівнює σ12а12 – σ1σ2а12 – σ1σ3а12 + σ2σ3а12 + [(σ2 - σ3)/2]2 = [(σ2 - σ3)/2]2 + а12(σ1 - σ3) (σ1 – σ2), остаточно [σ - (σ2 + σ3)/2]2 + τ2 = [(σ2 - σ3)/2]2 + а12(σ1 - σ3) (σ1 – σ2), тобто отримали рівняння (46, а). Після аналогічних перетворень отримаємо ще два рівняння [σ – (σ3 +σ1)/2]2 + τ2 = [(σ3 – σ1)/2]2 + а22(σ2 – σ1) (σ2 – σ3). (46, б) [σ – (σ1 +σ2)/2]2 + τ2 = [(σ1 – σ2)/2]2 + а32(σ3 – σ2) (σ3 – σ1). (3,46, в) З аналітичної геометрії відомо рівняння кола (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2. Порівняння його з рівняннями (46) показує, що вони також описують кола, центри яких розташовані на осі абсцис і відстоять від початку координат на (σ +σ3)/2, (σ +σ3)/2, (σ +σ3)/2 відповідно для рівнянь (46,а), (46,б), (46,в). Праві частини цих рівнянь, що представляють собою квадрат радіусу кола, містять змінне значення одного з направляючих косинусів. Тому рівняння (46) описують сімейства концентричних кіл. Визначимо напрями зміни розмірів цих кіл. У випадку, якщо спрямовує косинус (окремо) дорівнює нулю, радіуси кіл, описаних рівняннями (46) дорівнюють полуразность відповідних головних напруг: R1=(σ2–σ3)/2, R2=(σ1–σ3)/2, R3=(σ1–σ2)/2. У рівняннях (а) і (в) співмножники направляючого косинуса мають однакові знаки (нагадаємо умова індексації головних напруг: σ1≥σ2≥σ3), в рівнянні (б) - протилежні. Отже, радіуси кіл (а) і (в) при збільшенні значень напрямних косинусів будуть збільшуватися, а радіуси кіл (б) зменшуватися. Проводячи окружності по рівняннях (46) в координатах σ-τ при нульових значеннях напрямних косинусів, отримуємо діаграму Мора (Рис.12). Радіуси кіл чисельно рівні головним дотичним напруженням. Їх центри відстоять від осі τ на відстанях (σ2+σ3)/2, (σ3+σ1)/2, (σ1+σ2)/2. У залежності від знаків головних напружень діаграма може мати різні положення щодо осі τ. Пари кореспондуються значення σ і τ лежать або на самих колах, або всередині заштрихованого криволінійного трикутника, обмежених проведеними колами (наприклад, для точки Р). Поза цього трикутника напружень немає. При необхідності шляхом геометричних побудов можна визначити нормальне і дотичне напруження на похилій площадці за заданими кутах нахилу або вирішити зворотну задачу. На рис. 3.12 вказані також кути нахилу α і значення напрямних косинусів для характерних точок діаграми Мора. Рис. 3.12. Диаграмма Мора Лекція 4 Деформований стан точки. Компоненти деформації. Тензор мал ої деформації. Деформації в околицях матеріальної точки. Швидкість деформації. Схеми дії напруг і деформацій
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-08-16; просмотров: 60; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.116.63.5 (0.012 с.) |