Характеристики систем автоматического регулирования

Типовые воздействия

Наиболее естественным состоянием системы регулирования является неустановившийся динамический режим, т.е. режим перехода от одного состояния к другому. Входные воздействия в реальных условиях работы системы могут быть самыми разнообразными.

Можно выделить три вида типовых воздействий на САР и ее элементы:

1. Гармонические колебания.

2. Единичный скачок.

3. Единичный импульс.

При действии на входе звена синусоидального воздействия

X(t) = X_m×Sinwt ® X_m×e^jw^t                                                              (1.3.1)

на выходе линейной системы получаем также синусоидальные колебания

Y(t) = Y_m×Sin(wt+j) ® Y_m×e^j(wt+j),                                                   (1.3.2)

где X_m и Y_m - амплитуды входных и выходных сигналов;
w = 2pf - круговая частота колебаний;
f - частота колебаний;
j - фаза колебаний.

Единичным скачком называют входное воздействие

X(t) = A× 1 (t).                                                                                   (1.3.3)

При нормировании получаем единичное воздействие (рис.1.3.1)

X₁(t) = 1 (t),                                                                                     (1.3.4)

где X₁(t) =0 при t£0 и X₁(t) =1 при t>0.

Реакцию на единичное ступенчатое воздействие называют переходной функцией:

Y(t) = F₁[ 1 (t)].                                                                                 (1.3.5)

Рис.1.3.1. Типовые воздействия на САУ:
а - единичный скачок; б - единичный импульс

Единичное импульсное (ударное) воздействие или дельта-функция является производной от единичной ступенчатой функции и представляет собой импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности в момент t=0, т.е. (рис.1.3.1,б)

X₂(t)=d(t)=1'(t),                                                                               (1.3.6)

где X₂(t) = 0 при t¹0; X₂(t) = ¥ при t=0.

Основное свойство дельта-функции состоит в том, что она имеет единичную площадь

.                                                                                     (1.3.7)

Единичную импульсную функцию можно представить как сумму действующих на вход звена со смещением во времени на t двух ступенчатых воздействий функций A× 1 (t) и A× 1 (t-t), у которых амплитуда увеличивается до ¥ одновременно с уменьшением t до 0 при сохранении

At=1.                                                                                              (1.3.8)

Реакцию звена или системы на единичное импульсное воздействие называют функцией веса

w(t) = F₂(d(t)).                                                                                 (1.3.9)

Переходная характеристика

Переходной характеристикой h(t) называется временной сигнал на выходе звена (системы) при подаче на его вход сигнала в виде единичного скачка X₁(t)= 1 (t) (рис.1.3.2).

По Лапласу (1.2.12)

.                                         (1.3.10)

Рис.1.3.2. Переходная характеристика звена САУ

Так как Y(P)=W(P)X(P), то

.                                                                  (1.3.11)

Найдем оригинал h(t) по Лапласу

,                                                                      (1.3.12)

где l^-1 - знак преобразования из изображения по Лапласу к оригиналу.

По Карсону (1.2.14) имеет в общем виде

Kf(t) = Plf(t).

Тогда

,                                              (1.3.13)

а нахождение оригинала h(t) по Карсону

,                                                                        (1.3.14)

где K^-1 - знак преобразования из изображения по Карсону к оригиналу.

Весовая (импульсная) характеристика будет связана с переходной соотношением

.                                                                      (1.3.15)

Частотные характеристики

Если на вход звена или линейной системы, состоящей из ряда последовательно соединенных звеньев, в разомкнутом состоянии подать гармоническое воздействие постоянной амплитуды X_m и частоты w, то после затухания переходного процесса на выходе установится гармоническое изменение выходной величины с той же частотой, которую имеет входная величина, но с амплитудой Y_m и с отставанием по фазе на угол j (рис.1.3.3).

Рис.1.3.3. Гармоническое воздействие на САУ

Частотные характеристики звена (системы) показывают, как изменяются амплитуда и фаза выходного сигнала при прохождении через САУ или звено.

К комплексной частотной характеристике, дающей представление о динамических свойствах звена, можно перейти от передаточной функции путем замены оператора Р в операторных полиномах ее числителя С(Р) и знаменателя В(Р) на мнимое число jw (оператор Фурье):

,                                                                            (1.3.16)

где e^jwt = Coswt+jSinwt - единичный вектор гармонического колебания (рис.1.3.4).

Рис.1.3.4. Гармонические колебания

Частотная характеристика звена или системы является комплексным выражением, содержащим модуль и аргумент:

W(jw)=A(w)e^jj(w), A(w)= ½W(jw)½ и j(w)=argW(jw).                   (1.3.17)

При изменении частоты от 0 до ¥ модуль комплексного выражения изменяется и определяет амплитудно-частотную характеристику A(w), а зависимость аргумента от частоты определяет фазочастотную характеристику j(w).

Для записи частотной функции используют обычно три формы: алгебраическую (1.3.16), показательную (1.3.17) и тригонометрическую.

Так как в комплексном выражении можно выделить вещественную и мнимую составляющие

W(jw) = U(w)+jV(w),                                                                    (1.3.18)

где U(w) - вещественная (активная) составляющая;
V(w) - мнимая (реактивная) составляющая,

то представляет интерес вещественная частотная характеристика (ВЧХ)

U(w) = A(w)Cosj(w)                                                                     (1.3.19)

и мнимая частотная характеристика (МЧХ)

V(w) = A(w)Sinj(w),                                                                     (1.3.20)

где ;
.

При совмещении на одном графике вещественной частотной характеристики и мнимой частотной получаем амплитудно-фазовую характеристику АФХ (рис.1.3.5).

Рис.1.3.5. Частотные характеристики:
а - амплитудно-фазовая частотная (АФЧХ);
б - амплитудно-частотная (АЧХ);
в - фазо-частотная (ФЧХ)