Математическая часть решения

Анализ условия

В эксперименте участвуют три тела: холодная вода, теплая вода и кружка (см. рис. 1).

Рис. 1. Холодная вода, теплая вода и кружка

В процессе теплообмена между телами более горячее тело отдает тепло более холодному. Поэтому теплая вода однозначно будет отдавать тепло и остывать, а холодная – получать и нагреваться (см. рис. 2).

Рис. 2. Процесс теплообмена

А что с кружкой: она будет отдавать или получать тепло? В условии сказано, что в кружке уже находилась холодная вода. Значит, их начальные температуры равны и кружка будет нагреваться вместе с холодной водой, получая тепло.

В итоге температура изначально холодной, горячей воды и кружки выровняется, наступит тепловой баланс (см. рис. 3).

Рис. 3. Тепловой баланс

Теплообменом с окружающей средой, по условию, можно пренебречь, значит, переданное системе тепло равно 0.

Физическая часть решения

Запишем в виде уравнения, как передавалась теплота внутри рассматриваемой системы тел. Чтобы различать величины, относящиеся к разным телам, будем ставить соответствующие индексы: теплая вода отдаст тепла, холодная вода получит тепла, кружка получит тепла. Запишем:

Такое уравнение часто называют уравнением теплового баланса.

Запишем количество теплоты для теплой и холодной воды.

Теплая вода отдаст тепла:

Холодная вода получит тепла:

для кружки мы так не распишем: мы ничего не знаем ни о материале кружки, чтобы узнать удельную теплоемкость, ни о массе. В условии речь идет о теплоемкости кружки. Это величина, которую ввели для удобства. Удельную теплоемкость ввели как теплоту, которую нужно сообщить каждому килограмму вещества, чтобы нагреть его на 1 градус: . А просто теплоемкостью тела (не удельной) называют теплоту, которую нужно сообщить телу, чтобы нагреть его на один градус. Чаще всего теплоемкость обозначают большой буквой : . Иногда это удобно, как в случае с кружкой: нас не интересует материал и масса кружки, нам важно лишь, что она при нагревании на каждый градус поглощает столько-то джоулей теплоты. Закона физики здесь нет, величина введена для удобства и ее можно использовать при решении задач. Если разделить теплоемкость на массу, получим удельную теплоемкость:

– данная формула связывает эти величины.

Возвращаясь к задаче, теплоту, полученную кружкой, запишем через теплоемкость: .

Анализируем величины, входящие в записанные формулы.

Удельную теплоемкость воды можно найти по таблице: .

Массы теплой и холодной воды и не даны, но их можно узнать из объемов, они заданы. Помним, что плотность – это, по определению, масса единицы объема вещества, , поэтому:

Из таблицы: . В единицах измерения плотности видим , значит, и заданный объем нужно перевести в :

– это разность конечной и начальной температуры тела, поэтому:

Вычисления делать будем в математической части решения, здесь же мы убедились, что все необходимые нам величины у нас есть и все уравнения, описывающие процесс, выписаны.

Анализ условия

В теплообмене принимают участие 3 тела: лед, вода и пар, теплообменом с самим сосудом сказано пренебречь. Сосуд теплоизолированный, поэтому данная система тел не отдает и не получает тепло извне. Будем записывать уравнение теплового баланса.

Что происходит с телами системы? Сначала в сосуде находились вода со льдом. При нормальных условиях такое возможно только при температуре 0 . То есть начальные температуры льда и воды равны 0 (см. рис. 4).

Рис. 4. Начальная температура льда и воды

Пар имеет большую температуру, чем вода со льдом, поэтому лед с водой будет получать тепло, а пар – отдавать (см. рис. 5).

Рис. 5. Нагревание паром воды со льдом

Пар находится при 100 , то есть при температуре кипения. Значит, отдавая тепло, он будет конденсироваться, получится вода при температуре 100 . Затем эта вода будет охлаждаться.

Вода, в которой плавал лед, будет только нагреваться.

Лед сначала будет плавиться при 0 , затем полученная вода будет нагреваться (см. рис. 6).

Рис. 6. Процесс теплообмена

Решение задачи в общем виде

Пусть мы изначально не знаем, какое состояние вещества получится в конце. Как же решать задачу в таком случае? Для начала нужно нарисовать график состояния воды (см. рис. 7).

Рис. 7. График состояний воды

В нашей задаче сначала в сосуде находился лед с водой. По графику видно, что такое состояние возможно только при 0 (участок между точками B и C). Пар находился при 100 , это соответствует точке Е на графике (см. рис. 8).

Рис. 8. Вода находится в состоянии пара

Получение тепла соответствует движению точки вправо по графику, а отдача тепла – влево (см. рис. 9).

Рис. 9. Процесс получения и отдачи тепла

Теплообмен прекратится, когда тела достигнут одинаковой температуры. В общем случае возможны различные варианты. Конечное состояние находится:

1) на участке BC – тогда в сосуде будет лед с водой (см. рис. 10);

Рис. 10. Возможный вариант конечного состояния – лед с водой

2) на участке CD – в сосуде будет вода (см. рис. 11);

Рис. 11. Конечное состояние – вода

3) на участке DE – в сосуде будет пар с водой (см. рис. 12).

Рис. 12. Конечное состояние – пар с водой

В решенной нами задаче был случай 2 (см. рис. 11). Теперь рассмотрим задачу, в которой условия все те же, но масса льда равна не 0,1 кг, а 0,2 кг (см. рис. 13).

Рис. 13. Измененное условие задачи 2

Мы заранее не знаем, что получится в итоге, поэтому решаем задачу, как будто при достижении баланса в сосуде вода, как мы и решали до этого. Если подставить эти численные значения в конечную формулу для T, то значение получится отрицательным (см. рис. 14).

Рис. 14. Отрицательное значение температуры

Можете это проверить самостоятельно.

Может ли быть такое? Нет, температура должна быть в интервале от 0 до 100 (см. рис. 15).

Рис. 15. Температурный интервал от 0 до 100

Ответ получился некорректный: получается, что смесь воды и льда при нуле градусов получила теплоту от горячего пара и превратилась в воду холоднее нуля градусов. Конечная формула была нами получена в предположении, что в итоге в сосуде будет вода. Значит, это предположение неверно.

Температура получилась меньше возможной. Поэтому, предположим, что в сосуде получится лед с водой, то есть лед успеет растаять не весь (см. рис. 16).

Рис. 16. Предположение: лед растает не весь

В таком случае с телами будут происходить следующие процессы (см. рис. 17):

пар сконденсируется, полученная вода остынет до 0 . Лед будет таять, но растает только некоторая его часть. Тепловой баланс установится при 0 .

Рис. 17. Установление теплового баланса при 0

В этом случае:

Нам понятно, что конечная температура равна 0 , часть льда растает, вопрос только в том, какая именно часть: неизвестна. Найдем ее и убедимся, что ее значение будет корректным:

Масса растаявшей части льда меньше, чем исходная масса льда (). Результат корректный, значит, наше предположение верно и в итоге в сосуде будет лед с водой (см. рис. 16).

В общем случае для подобных задач на тепловой баланс лучше рисовать график состояний. Затем нужно сделать предположение, в каком конечном состоянии будет система. Если полученный ответ корректен, значит, предположение верно. Если некорректен – следует сделать другое предположение и проверить его.

 

Задача 3

При помощи газовой горелки с КПД 20% необходимо довести воду массой 0,4 кг до кипения и полностью испарить. Определите количество природного газа, которое необходимо для этого. Начальная температура воды 20 °С, условия нормальные.

Анализ условия

С помощью горелки нужно нагреть и испарить воду (см. рис. 18).

Рис. 18. Условие задачи 3

Речь идет о КПД горелки. Коэффициент полезного действия мы вводили как отношение полезной энергии к затраченной. Что считать полезной энергией? Полезная использованная энергия – это теплота, потраченная на нагревание и испарение воды, в этом польза горелки. Общая затраченная энергия – это количество теплоты, полученное при сгорании природного газа.

Анализ условия

Речь идет о влажности воздуха, будем применять формулы, с помощью которых мы описывали влажность.

Анализ условия

Какие процессы уписаны в условии? Температура воздуха понижается, относительная влажность повышается (см. рис. 20) – это мы подробно разбирали в уроке «Влажность».

Рис. 20. Температура понижается – относительная влажность повышается

Повышается, пока не достигнет 100% – в этот момент в воздухе содержится максимально возможная при данной температуре масса воды и начинает выпадать роса. При дальнейшем понижении температуры максимально возможное количество воды в воздухе еще уменьшается и «лишняя» вода выпадает в виде росы. Будем искать, используя понятие влажности, сколько воды было в воздухе и сколько осталось.

Список литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е издание, передел. – X.: Веста: издательство «Ранок», 2005. – 464 с.

2. А. В. Перышкин. Физика, 8 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2013. – 237 с.

Анализ условия

В эксперименте участвуют три тела: холодная вода, теплая вода и кружка (см. рис. 1).

Рис. 1. Холодная вода, теплая вода и кружка

В процессе теплообмена между телами более горячее тело отдает тепло более холодному. Поэтому теплая вода однозначно будет отдавать тепло и остывать, а холодная – получать и нагреваться (см. рис. 2).

Рис. 2. Процесс теплообмена

А что с кружкой: она будет отдавать или получать тепло? В условии сказано, что в кружке уже находилась холодная вода. Значит, их начальные температуры равны и кружка будет нагреваться вместе с холодной водой, получая тепло.

В итоге температура изначально холодной, горячей воды и кружки выровняется, наступит тепловой баланс (см. рис. 3).

Рис. 3. Тепловой баланс

Теплообменом с окружающей средой, по условию, можно пренебречь, значит, переданное системе тепло равно 0.

Физическая часть решения

Запишем в виде уравнения, как передавалась теплота внутри рассматриваемой системы тел. Чтобы различать величины, относящиеся к разным телам, будем ставить соответствующие индексы: теплая вода отдаст тепла, холодная вода получит тепла, кружка получит тепла. Запишем:

Такое уравнение часто называют уравнением теплового баланса.

Запишем количество теплоты для теплой и холодной воды.

Теплая вода отдаст тепла:

Холодная вода получит тепла:

для кружки мы так не распишем: мы ничего не знаем ни о материале кружки, чтобы узнать удельную теплоемкость, ни о массе. В условии речь идет о теплоемкости кружки. Это величина, которую ввели для удобства. Удельную теплоемкость ввели как теплоту, которую нужно сообщить каждому килограмму вещества, чтобы нагреть его на 1 градус: . А просто теплоемкостью тела (не удельной) называют теплоту, которую нужно сообщить телу, чтобы нагреть его на один градус. Чаще всего теплоемкость обозначают большой буквой : . Иногда это удобно, как в случае с кружкой: нас не интересует материал и масса кружки, нам важно лишь, что она при нагревании на каждый градус поглощает столько-то джоулей теплоты. Закона физики здесь нет, величина введена для удобства и ее можно использовать при решении задач. Если разделить теплоемкость на массу, получим удельную теплоемкость:

– данная формула связывает эти величины.

Возвращаясь к задаче, теплоту, полученную кружкой, запишем через теплоемкость: .

Анализируем величины, входящие в записанные формулы.

Удельную теплоемкость воды можно найти по таблице: .

Массы теплой и холодной воды и не даны, но их можно узнать из объемов, они заданы. Помним, что плотность – это, по определению, масса единицы объема вещества, , поэтому:

Из таблицы: . В единицах измерения плотности видим , значит, и заданный объем нужно перевести в :

– это разность конечной и начальной температуры тела, поэтому:

Вычисления делать будем в математической части решения, здесь же мы убедились, что все необходимые нам величины у нас есть и все уравнения, описывающие процесс, выписаны.

Математическая часть решения

Для удобства объяснения пронумеруем выписанные уравнения. Теперь осталось решить полученную систему уравнений и найти .

Подставим выражения 5–6 в уравнения 2–3:

Теперь подставим эти выражения в уравнение 1:

В полученном уравнении только одна неизвестная величина: . Выразим ее и найдем ее численное значение:

Ответ: теплоемкость кружки равна .

Задача 2

В теплоизолированном сосуде находится лед с водой. Масса льда 0,1 кг, масса воды 0,5 кг. В сосуд добавляют 20 граммов водяного пара при 100 . Определите температуру воды в сосуде после установления теплового равновесия. Обменом тепла с сосудом пренебречь, опыт происходит при нормальных условиях.

Анализ условия

В теплообмене принимают участие 3 тела: лед, вода и пар, теплообменом с самим сосудом сказано пренебречь. Сосуд теплоизолированный, поэтому данная система тел не отдает и не получает тепло извне. Будем записывать уравнение теплового баланса.

Что происходит с телами системы? Сначала в сосуде находились вода со льдом. При нормальных условиях такое возможно только при температуре 0 . То есть начальные температуры льда и воды равны 0 (см. рис. 4).

Рис. 4. Начальная температура льда и воды

Пар имеет большую температуру, чем вода со льдом, поэтому лед с водой будет получать тепло, а пар – отдавать (см. рис. 5).

Рис. 5. Нагревание паром воды со льдом

Пар находится при 100 , то есть при температуре кипения. Значит, отдавая тепло, он будет конденсироваться, получится вода при температуре 100 . Затем эта вода будет охлаждаться.

Вода, в которой плавал лед, будет только нагреваться.

Лед сначала будет плавиться при 0 , затем полученная вода будет нагреваться (см. рис. 6).

Рис. 6. Процесс теплообмена