Необходимое условие экстремума

Если х₀ – точка экстремума функции, то либо , либо не существует производной в этой точке (такие точки называют стационарными).

Замечание. Это условие является необходимым, но не достаточным условием экстремума. Может быть так, что в точке х₀  (рис. 3а) или не существует  (рис. 3б), и в этой точке функция не имеет экстремума.

Достаточные условия экстремума

Пусть функция  дифференцируема на интервалах (а; х₀) и (х₀; b) и х₀ – стационарная точка. Тогда:

1. Если при переходе через точку х₀ производная  меняет знак с «–» на «+», то х₀ – точка минимума функции.

2. Если при переходе через точку х₀ производная меняет знак с «+» на «–», то х₀ – точка максимума функции.

Результаты исследования обычно заносятся в таблицу.

 

 

Задание для самостоятельного выполнения

 

Известен закон прямолинейного движения точки x = x(t); t ͼ [ 0; 10 ]

Найти:

1) Среднюю скорость движения на указанном отрезке времени

2) Скорость и ускорение в момент времени t₀

3) Моменты остановки, продолжает ли точка после момента остановки движение в том же или противоположном направлении

4) Наибольшую скорость движения на указанном отрезке времени (можно построить график скорости)

5) Сделать вывод

 

Варианты (каждый выбирает вариант – ваша фамилия в журнале)

 

1. X (t) = t² – 3t, t₀ = 4

2. X (t) = t³  + 2t, t₀ = 1

3. X (t) = 2t³ – t²  , t₀ = 2

4. X (t) = t⁴  - ½t² + 1, t₀ = 0,5

5. X (t) = 2t³ – 2,5t² + 3t + 1, t₀ = 1

6. X (t) = (3- t). (t – t² ), t₀ = 2

7. X (t) = (t + 2)(t² – t + 5), t₀ = 4

8. X(t) = (t -1)³ , t₀ = 3

9. X (t) = t⁴  + t³ + t²  + 4t, t₀ = 0,5

10. X(t) = t⁴ / 4 + t³ / 3 + 3t² / 2 + 2t, t₀ = 1

11. X(t) = (6t – 2) / (6t + 2), t₀ =1

 

Подсказки:

· Каков физический смысл производной перемещения? (это – скорость)

· Можно ли найти производную скорости? Используется ли эта величина в физике? Как она называется? (да; ускорение)

· Мгновенная скорость равна 0. Что можно сказать о движении тела в этот момент? (это – остановка тела)

· Каков физический смысл следующих высказываний: производная = 0 в точке t₀ (тело останавливается) при переходе через точку t₀ производная меняет знак? (направление движения меняется на противоположное)

Образец выполнения работы

1. X (t) = t³  - 2t² + 1, t₀ = 2  средняя скорость движения точки v _ср. = Δх / Δt

Δх = х (10) – х (0) = 1000 – 2 ^. 1000 + 1 – 1 = 1200; Δt = 10 – 0 = 10

v _ср. = 1200: 10 = 120

2. v = х¹ (t) = (t³ – 2t² + 1)¹ = 3t² – 4t

v(2) = 3 ^. 4 – 4 ^. 2 = 4

 

3. v(t) = 0,    3t² – 4t =0, t(3t – 4) = 0, t₁ = 0, t₂ = 4/3

 

 Знак производной меняется, т.е. тело движется в противоположном направлении.

 

4. Начертим схематически график скорости v(t) = 3t² – 4t, t ͼ [ 0; 10 ]

t	0	1	4/3	2	3	10
v	0	-1	0	4	15	260

 

Наибольшая скорость достигается в точке t = 10    v(10) = 3 ^. 10² – 4 ^. 10 = 260

 

5. Вывод

ü В чём состоит механический (физический) смысл производной? Он заключается в том, что…..(производная x¹ (t) выражает скорость протекания процесса в момент времени t или что величина, показывающая мгновенную скорость изменения в данной точке)

ü Вспомните геометрический смысл производной….(значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке, т.е.

 k = tg@ = y¹ (x)