Геометрическая алгебра Древней Греции

VII–V вв. до н. э. ознаменовались для Греции великими событиями: создание демократического государства, возникновение жанров трагедии и комедии, создание математики как абстрактной теоретической науки, основанной на системе доказательств.

В основу математических доказательств легли опыты Фалеса. Он создал метод доказательства. Фалес Милетский (ок. 625 – ок. 547 до н. э.) – древнегреческий философ, родоначальник античной философии. Доказательство служит для установления истинности того или иного математического предложения. Доказательства выявляют связи между математическими предложениями, позволяют установить, от каких посылок это предложение зависит, а также дают возможность классифицировать математические предложения. Некоторые теоремы могут иметь много различных доказательств, которые позволяют установить связи рассматриваемой теоремы с другими частями математики.

 Систематическое введение доказательств в математику стимулировало ее быстрое развитие. В Греции V–III вв. до н. э. были созданы первые математические теории:

1) система евклидовой геометрии;

2) элементарная теория чисел;

3) теория конических сечений;

4) первая теория действительных чисел;

5) элементы теории пределов.

Окончательное преобразование математической науки из рецептурной (Египет, Вавилон) в доказательную произошло в школе Пифагора. Около 530 г. до н. э. Пифагор приехал с острова Самос, своей родины, в Кротон (Южная Италия), где и основал пифагорейский союз.

К математическим наукам пифагорейцы относили арифметику, геометрию, астрономию, музыку (ноту можно связать с числом: высота звучания струны зависит от ее длины).

Геометрическая алгебра представляет собой часть античной математики, в которой было построено прямое исчисление отрезков и площадей.

Сложение отрезков осуществлялось геометрически – путем приставления одного к другому, вычитание – путем выкидывания из большего отрезка части, равной меньшему. Произведением двух отрезков назывался построенный на них прямоугольник. Исчисление, определенное в геометрической алгебре, было «ступенчатым». Первую ступень составляли отрезки, вторую – площади фигур (в основном рассматривались треугольники и прямоугольники), третью – объемы. С помощью «геометрической алгебры» стало возможным изучение общих свойств алгебраических операций, например a + b = b+ a, (a+ b)²= a ²+ b ²+2 ab и др.

В Древней Греции дифференцировалось обучение математике: молодые люди аристократического происхождения изучали математику как логическую систему, а ремесленники воспринимали математику лишь как сборник рецептов при решении стандартных вопросов их специальности. С этого времени берет свое начало и разделение математики на чистую и прикладную.

Буквенная алгебра

II–I вв. до н. э. были временем стремительного возвышения Рима. В 30-е годы до н. э. пало последнее из эллинистических государств – Египет и была основана Римская империя. Но греческая наука вновь оживает, Александрия остается научным и культурным центром древнего мира. Конец I – начало II в. н. э. называют греческимвозрождением:

§  в I в. в Александрии работал математик и инженер-изобретатель Герон, который первым открыл движущую силу пара;

§  в конце I в. математик и астроном Менелат создал системы геометрии и тригонометрии на сфере;

§  в II в. астроном и математик Клавдий Птолемей создал геоцентрическую модель Солнечной системы (просуществовала до XV–XVI вв).

Эти открытия вели к началам вычислительной математики, к расширению понятия числа. Эти тенденции проявились в творчестве величайшего алгебраиста древности Диофанта Александрийского. В работе «Арифметика» он расширил числовую область до поля рациональных чисел – появились отрицательные числа и правила знаков, ввел алгебраическую символику для обозначения вычитания и равенства. «Арифметика» явилась поворотным пунктом в развитии алгебры и теории чисел. Именно в этой книге алгебра обрела новый язык, гораздо более оперативный и удобный, чем язык геометрии – это и стало рождением буквенной алгебры. В VII–XV вв. научные исследования вели народы, населявшие Иран, Среднюю Азию, Малую Азию, Северную Африку. В VIII в. еке в багдадском доме мудрости работала целая коллегия переводчиков и комментаторов. Были переведены «Начала» Евклида, многие сочинения Архимеда, философские трактаты Аристотеля. Алгебра в это время уже воспринимается как самостоятельная наука – наука о решении уравнений. Однако ученые стран арабского Востока совершенно отказались от пользования буквенной символикой. Начиная с X–XII вв. из научных центров арабского Востока и Византии новые математические идеи стали проникать в Европу.

Первым крупным математиком Европы был Леонардо Пизанский (или Фибоначчи) (1180–1240). В 1209 г. Фибоначчи издал книгу «Liber abaci», в которой изложил десятичную позиционную систему и правила арифметических действий в ней, арифметику, геометрию и алгебру. В нейБ были приведены решения квадратных уравнений, рассматривались арифметическая и геометрическая прогрессии, исследован ряд Фибоначчи:

u_{n +1} = u_n + u_{n -1} : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Европейская алгебра XVI в. описала решение уравнений III и IV степени. Появились комплексные числа.

В 1591 году Франсуа Виет (1540–1603) ввел обозначения для произвольных постоянных величин. Благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами, и сами алгебраические выражения превратились в объекты, над которыми можно было производить те или иные действия. Появление формул позволило создать алгоритмы решения однотипных задач и сделало алгебру наиболее наглядной. Буквенные обозначения позволяют записать свойства действий над числами в сжатой форме, удобной для построения исчисления над буквенными выражениями. Буквенное исчисление тождественных преобразований, давшее возможность преобразовывать по определенным правилам буквенную запись результата действий, составляет аппарат классической алгебры. В 1585–1589 гг. Виет работает над большим трудом «Искусство анализа, или Новая алгебра». Книга не была закончена. Но в 1646 г. сочинения Виета были собраны учениками и изданы в Лейдене. Эти труды перевернули всю математику нового времени. Буквенное исчисление позволяет заменить часть мыслительных операций механическими вычислениями, правда, это стало возможным лишь в XX в., с появлением программируемых вычислительных устройств.

Контрольные вопросы

1.В чем отличие аксиомы от теоремы?

2.В чем заключается аксиоматический метод?

3.Приведите примеры непозиционных систем счисления.

4.Перечислите науки, которые Пифагор и его ученики относили к математическим наукам.

5.Кто стал основоположником буквенной алгебры?

6.Как связаны открытия буквенной алгебры и автоматизация вычислений?

7. В чем основное отличие принципа организации математики (как науки) Древнего Вавилона от математики Древней Греции?

8. Какие преимущества привнесла в математику буквенная алгебра, разработанная Франсуа Виетом?

9. Каков принцип деления математики на чистую и прикладную?