Тема. Векторы в пространстве.

Тема. Векторы в пространстве.

Координаты и модуль вектора.

Действия с векторами

 

 

ВОПРОСЫ ТЕМЫ:

Понятие вектора, виды векторов, действия с векторами.

Понятие прямоугольного базиса в пространстве.

Координаты точки и вектора в пространстве.

Модуль вектора.

Действия с векторами в координатной форме

В пространстве.

Решение задач.

6. Домашнее задание.

Вопрос 1. Понятие вектора, виды векторов,

действия с векторами

Вспомним известные вам сведения о векторах.

Впервые понятие вектора появилось в работах немецкого математика 19 века Г.Грассмана и ирландского математика У.Гамильтона; затем его использовали в своих открытиях многие ученые. Современная символика для обозначения вектора была введена в 1853 году французским математиком О. Коши. Применение векторов играет важнейшую роль в современной математике, химии, биологии, экономике и в других науках.

 

 

 

Параллельный перенос Введём на плоскости декартовы координаты xОу. Преобразование некоторой фигуры F, при котором произвольная ее точка А (х; у) переходит в другую точку А (х+a; y+b), где а и b постоянные, называется параллельным переносом. Параллельный перенос – это движение. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.
ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Величины, которые характеризуются, не только числом, но еще и направлением, называются векторными величинами или просто векторами. Векторами являются, например, скорость, ускорение, сила. Геометрически векторы изображаются направленными отрезками. Направленный отрезок называется вектором. Вектор характеризуется следующими элементами: 1) начальной точкой (точкой приложения); 2) направлением; 3) длиной («модулем вектора»).   Если начало вектора – точка А,     конец вектора – точка В, то вектор обозначается  или . От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один, используя параллельный перенос. Нулевой вектор – точка в пространстве. Начало и конец нулевого вектора совпадают. Нулевой вектор не имеет длины и направления. Обозначается: .   Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора . Обозначается .	Векторы
ВИДЫ ВЕКТОРОВ (в зависимости от соотношения друг с другом по направлению, положению в пространстве и величине) 1. Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. АВСD – параллелограмм,
2. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. 2.1. Если векторы   и   коллинеарны и их лучи сонаправлены, то векторы   и   называются сонаправленными. Обозначаются . 2.2. Если векторы   и   коллинеарны, а их лучи не являются сонаправленными, то векторы   и   называются противоположно правленными. Обозначаются .   3. Нулевой вектор условились считать сонаправленным с любым вектором.	коллинеарные векторы:

Свойства сложения векторов

Для любых векторов  заданных в пространстве, справедливы равенства

	Переместительный закон
	Сочетательный закон

2) Вычитание векторов

Под разностью векторов  и  понимают вектор = - такой,

что + = .

В параллелограмме – это другая диагональ СД

3) Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора  на число k называется

такой вектор , длина которого равна, , причем

векторы  и  – сонаправлены при  и

противоположно направлены при k < 0.

В пространстве

Теорема: Любой вектор  на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых неколлинеарных векторов ,  и : Числа x, y и z называются координатами вектора  в данном базисе. В этом случае пишут:

 

Угол между двумя векторами

Углом между двумя направлениями в пространстве называется величина наименьшего угла между любыми лучами этих направлений с общим началом.

Угол между лучами  обозначается .

По определению: угол между двумя направлениями находится в промежутке [0°; 180°].

 

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов.

Таблица видов, обозначений

В пространстве

 

 

Рис.1

 

На Рис.1 представлена прямоугольная система координат в пространстве.

Как вам уже известно, прямые х, у, z называются координатными осями:

х – ось абсцисс,      у – ось ординат,    z – ось аппликат.

Точка пересечения О – начало координат.

Плоскости ху, хz, уz – координатные плоскости.

Точка О разбивает каждую из этих осей на две полуоси, одна из которых положительная, а другая – отрицательная (рис. 1).

 

Плоскость, проходящая через прямые х и у, называют плоскостью ху, две другие плоскости соответственно хz и уz.

Рис. 2

 

На каждой из координатных осей выберем единичный вектор с началом в точке  и концом в точке с координатой .

Обозначим:

 – единичный вектор оси ;

 – единичный вектор оси ;

 – единичный вектор оси .

Тройка взаимно перпендикулярных, единичных векторов ( i, j, k ), отложенных от начала координат точки О и по направлению совпадающих с координатными осями, называются ортами и образуют декартов прямоугольный ортогональный базис в пространстве (Рис.2).

 

 

Вопрос 3. Координаты точки и вектора в пространстве.

Модуль вектора

 

Для определения положения точки в пространстве будем использовать декартовы прямоугольные координаты.

Положение каждой точки М пространства определяется тремя вещественными числами. Этими числами являются:

1) проекция точки М на ось ОХ; обозначают х;

2) проекция точки М на ось ОУ; обозначают у.

3) проекция точки М на ось О Z; обозначают z.

Рис. 3

Упорядоченная тройка чисел  называется прямоугольными (декартовыми) координатами точки  пространства  и обозначается .

Каждой точке  пространства  соответствует единственная упорядоченная тройка чисел  и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел  соответствует единственная точка  пространства .

Координатные оси ,  и  делят пространство  на восемь октантов. Каждая точка , не принадлежащая координатным осям, содержится в одной из восьми октантов. Обозначение этих октант и знаки координат точки таблице:

Октант	Знаки	Октант	Знаки

 

Положение точки в пространстве можно описать с помощью радиус-вектора

Радиус-вектор  – это вектор, проведенный из начала координат в точку, где находится точка (рис. 3.). Радиус-вектор можно разложить на составляющие:

где  – единичные векторы (орты), x, y, z – координаты точки.

Рис. 4

Любая точка М (x; y; z) в пространстве имеет 3 координаты.

Координаты вектора выражаются через координаты его начала А(х₁; у₁; z₁)  и   конца  В(х₂; у₂; z₂):

{х₂ – х₁ у₂ – у₁, z₂ – z₁}.

 

Радиус-вектором называют вектор, проведённый из начала координат в произвольную точку пространства.

Радиус-вектор имеет координаты точки, в которую он проведён.

r ={х; у; z}

 

Правило 1.

Для определения координат вектора АВ нужно от координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

Модуль вектора

 

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Длина вектора в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

 

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора |а| = {a_x; a_y} можно найти, воспользовавшись следующей формулой:

|а| = √a_x² + a_y²

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора

|а| = {a_x; a_y; a_z} можно найти, воспользовавшись следующей формулой:

|а| = √a_x² + a_y² + a_z²

Примеры задач на вычисление длины вектора

 

1. Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Пример 1. Найти длину вектора |а| = {2; 4}.

Решение:   |а| = √2² + 4² = √4 + 16 = √20 = 2√5.

Пример 2. Найти длину вектора |а| = {3; -4}.

Решение: |а| = √3² + (-4)² = √9 + 16 = √25 = 5.

 

2. Примеры вычисления длины вектора для пространственных задач

Пример 3. Найти длину вектора |а| = {2; 4; 4}.

Решение: |а| = √2² + 4² + 4² = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Пример 4. Найти длину вектора |а| = {-1; 0; -3}.

Решение: |а|   = √(-1)² + 0² + (-3)² = √1 + 0 + 9 = √10.

 

Вопрос 4. Действия с векторами

Задача 1.1

 

Задача 1.2

Задача 3

 

Задача 4

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Задание 1

Задание 2

Задание 3:

Тема. Векторы в пространстве.