Вычисление первого и второго замечательных пределов

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

для выполнения практических работ

по дисциплине «Математика»

 

Для специальностей:

42.02.01 Реклама

 

Пермь 2014

Методические рекомендации для выполнения практических работ по дисциплине «Математика» предназначены для студентов специальности 42.02.01 «Реклама».

 

Рассмотрено на заседании ЦМК преподавателей общеобразовательных дисциплин

Председатель ЦМК Дозморов В.А.

 

 

Утверждено научно-методическим советом ПТПТД

Зам. директора по НМР Рогова М.Н.

 

Составитель:Калинина Наталья Сергеевна, преподаватель математики КГАПОУ Пермского техникума профессиональных технологий и дизайна

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические рекомендации на выполнение практических работ по дисциплине «Математика» предназначены для обучающихся по основной профессиональной образовательной программе 42.02.01 «Реклама».

Практические работы направлены на экспериментальное подтверждение теоретических положений и формирование учебных, профессиональных практических умений, общих и профессиональных компетенций обучающихся и составляют важную часть их профессиональной подготовки.

Практические занятия способствуют интеграции мыслительной и практической деятельности обучающихся, развитию коммуникативных способностей, профессиональной самостоятельности и мобильности.

В процессе практического занятия обучающиеся выполняют практическую работу под руководством преподавателя в соответствии с изучаемым содержанием учебного материала рабочих учебных программ по дисциплине. Данные методические рекомендации ориентированы на то, что в учебном процессе практические занятия являются основными видами учебных занятий, а практические работы выступают в качестве предметно-содержательной составляющей учебного занятия.

Целями проведения практических занятий являются:

обобщение, систематизацию, углубление, закрепление полученных теоретических знаний по конкретным темам дисциплины «Математика»;

формирование умений применять полученные знания на практике, реализацию единства интеллектуальной и практической деятельности;

выработку при решении поставленных задач таких профессионально значимых качеств, как самостоятельность, ответственность, точность, творческая инициатива.

Каждая практическая работа состоит их двух частей: задания для подготовки к работе и задания для ее выполнения. Поэтому перед занятием студент должен повторить пройденный материал, используя конспекты лекций, и рекомендуемую литературу, указанную в задании к каждой работе, а также ознакомиться с основными сведениями, приведенными в данной работе.

Практические работы выполняются обучающимися индивидуально. Отчет по каждой работе составляется каждым обучающимся самостоятельно.

Отчет должен быть составлен по следующей примерной форме:

- дата;

- наименование темы;

- цель работы;

- ответы на вопросы для подготовки к работе;

- содержание работы;

 

Практическая работа № 1

Раскрытие неопределенности вида и

Время проведения – 2 часа.

Цель работы: научиться вычислять пределы функций путем раскрытия неопределенностей вида и

Вопросы для подготовки к работе:

1. Понятие предела последовательности;

2. Понятие предела функции;

3. Бесконечно малые и бесконечно большие, связь между ними;

4. Свойства пределов функции;

5. Предел функции в точке;

6. Алгоритм раскрытия неопределенности вида ;

7. Алгоритм раскрытия неопределенности вида .

Содержание работы:

1. Вычисление пределов в точке;

2. Вычисление пределов с помощью алгоритма раскрытия неопределенности вида в частном многочленов.

3. Вычисление пределов с помощью алгоритма раскрытия неопределенности вида в частном двух многочленов путем разложения на множители.

Литература: [1, с. 193-211]

Порядок выполнения задания:

Для выполнения первого задания, а именно, вычислить предел функции в какой-либо точке, необходимо подставить данную точку в функцию и получить числовое значение.

Пример: Вычислить предел функции

Решение:

Подставляем в функцию и находим значение выражения, т.е.

 

 

Ответ:

При выполнении третьего, шестого, восьмого заданий используется алгоритм раскрытия неопределенности вида :

1) Выявление старшей степени переменной.

2) Деление на выявленную переменную как числителя, так и знаменателя.

3) Вычисление предела, учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина.

Пример: Вычислить предел функции

Решение:

Подставляем бесконечность в функцию - это предел на неопределенность вида .

Чтобы найти предел надо раскрыть неопределенность. Для этого сначала смотрим на числитель и находим в старшей степени - старшая степень в числителе равна двум, затем смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени – старшая степень знаменателя равна двум. Выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя – в данном примере они совпадают и равны двойке. Чтобы раскрыть неопределенность вида необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени, т.е. разделим числитель и знаменатель на . Получим:

Величины являются бесконечно малыми при и их пределы равны нулю.

Ответ:

 

При выполнении второго, четвертого, пятого, седьмого заданий используется алгоритм раскрытия неопределенности вида :

1) Разложение на множители числителя и знаменателя.

2) Сокращение дроби.

3) Вычисление значение предела

Перечислим наиболее распространенные приемы разложения многочленов на множители:

· Вынесение общего множителя за скобку.

В том случае когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена

Пример: Разложить на множители многочлен

Решение:

Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель . Вынесем его за скобку и получим:

· Применение формул сокращенного умножения.

Полезно помнить следующие формулы:

Пример: Разложить на множители многочлен

Решение:

Разложим разность четвертых по формуле приведенной выше:

· Группировка.

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

Пример: Разложить на множители

Решение:

· Разложение на множители квадратного трехчлена.

Квадратный трехчлен раскладывается на два линейных множителя: , где являются корнями уравнения

Таким образом, разложение на множители квадратного трехчлена сводится к решению квадратного уравнения , где дискриминант

Пример: Разложить квадратный трехчлен на множители.

Решение:

Найдем корни квадратного уравнения .

Дискриминант уравнения равен , следовательно

Таким образом,

 

Пример: Вычислить предел

Решение:

Подставляя единицу вместо в числитель и знаменатель получим: , то есть имеем неопределенность вида , для раскрытия которой нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь.

Разложим выражения в числителе и знаменателе на множители.

Для того, чтобы разложить числитель на множители необходимо решить квадратное уравнение .

Находим дискриминант по формуле , получаем:

Далее находим корни по формуле

Используя формулу разложения квадратного трехчлена на множители: , где являются корнями уравнения получаем: . Числитель на множители разложен.

Для того чтобы разложить знаменатель на множители используем формулу сокращенного умножения, а именно: . Получаем: . Знаменатель на множители разложен.

Следовательно, Сократим данную дробь на скобку :

Теперь подставляем в выражение, которое осталось под знаком предела:

Итак,

Ответ:

Вариант 1	Вариант 2
Вычислить: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.	Вычислить: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

 

 

 

Практическая работа № 2

Практическая работа № 3

Практическая работа № 4

Практическая работа № 5

Практическая работа № 6

Практическая работа № 7

Практическая работа № 8

Практическая работа № 9

Практическая работа № 10

Операции над множествами

Время проведения – 2 часа.

Цель работы: формирование умений выполнять действия над множествами;

Вопросы для подготовки к работе:

1. Понятие множества, подмножества;

2. Принадлежность элемента множеству;

3. Равенство множеств;

4. Пустое множество;

5. Конечное множество;

6. Бесконечное множество;

7. Дополнение множества;

8. Включение подмножества в множество;

9. Способы задания множеств;

10. Диаграмма Эйлера-Венна;

11. Операции над множествами.

Содержание работы:

1. Задание множеств;

2. Выполнение операций над множествами.

Порядок выполнения задания:

При решении первого задания необходимо множество задать перечислением всех своих элементов – это один из способов задания множеств, если оно конечно.

Пример: Множество задать перечислением всех своих элементов.

Решение:

Найдем множество действительных решений уравнения

или

Все корни уравнения действительные, то есть удовлетворяют условию , следовательно

Ответ:

Пример: Множество задать перечислением всех своих элементов.

Решение:

Решим неравенство методом интервалов

Найдем корни квадратного трехчлена:

-1,5		0 1		x

Решением неравенства является отрезок , то есть

Итак, согласно условию , отметим, что из данного промежутка действительным числам принадлежит только , следовательно - множество из одного элемента.

Ответ:

Для выполнения второго, третьего заданий используются понятия объединения, пересечения, разности, равенства, дополнения множеств, диаграмма Эйлера-Венна.

Пример:

Даны множества . Найдите множества и . Составьте диаграммы Венна.

Решение:

Определим элементы множества . Для этого найдем сначала пересечение множеств . Элементы и одновременно принадлежат множеству и , следовательно, . Аналогично . Таким образом, объединение .

Для построения диаграммы Венна рассмотрим, как связаны между собой множества и , в примере все три множества пересекаются между собой:

A B

X

 

C

 

Определим элементы множества . Найдем дополнение . Универсальное множество по условию задания состоит из 26 букв . Если отсюда исключить пять элементов множества , то получим множество из двадцати одноИго элемента . Пересечение множеств состоит из элементов , то есть всех элементов множества , которые не принадлежат . Для нахождения разности множеств вычеркнем из множества элементы , принадлежащие . Получим . В итоге .

Строим диаграмму Венна:

A B

Y

D

C

 

Вариант 1

1. Множества задать перечислением всех своих элементов

1)

2)

2. Даны множества . Найдите множества и . Составьте диаграммы Венна.

3. Даны множества . Найдите множества и . Составьте диаграммы Венна.

 

Вариант 2

1. Множества задать перечислением всех своих элементов

1)

2)

2. Даны множества . Найдите множества и . Составьте диаграммы Венна.

3. Даны множества . Найдите множества и . Составьте диаграммы Венна.

 

 

ЛИТЕРАТУРА:

Основные источники:

1. Богомолов Н. В., Самойленко П. И. Математика: Учебное пособие для техникумов, 7-е издание. - М.: Дрофа, 2010. – 400 с.

2. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ссузов / Н.В. Богомолов.-М.: Дрофа, 2010. - 204 с.

Дополнительные источники:

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. — 10-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 399 с.

2. Филимонова Е.В. Математика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений.- Ростов н/Д: Феникс, 2005.- 416с. (Серия «Среднее профессиональное образование»).

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

для выполнения практических работ

по дисциплине «Математика»

 

Для специальностей:

42.02.01 Реклама

 

Пермь 2014

Методические рекомендации для выполнения практических работ по дисциплине «Математика» предназначены для студентов специальности 42.02.01 «Реклама».

 

Рассмотрено на заседании ЦМК преподавателей общеобразовательных дисциплин

Председатель ЦМК Дозморов В.А.

 

 

Утверждено научно-методическим советом ПТПТД

Зам. директора по НМР Рогова М.Н.

 

Составитель:Калинина Наталья Сергеевна, преподаватель математики КГАПОУ Пермского техникума профессиональных технологий и дизайна

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические рекомендации на выполнение практических работ по дисциплине «Математика» предназначены для обучающихся по основной профессиональной образовательной программе 42.02.01 «Реклама».

Практические работы направлены на экспериментальное подтверждение теоретических положений и формирование учебных, профессиональных практических умений, общих и профессиональных компетенций обучающихся и составляют важную часть их профессиональной подготовки.

Практические занятия способствуют интеграции мыслительной и практической деятельности обучающихся, развитию коммуникативных способностей, профессиональной самостоятельности и мобильности.

В процессе практического занятия обучающиеся выполняют практическую работу под руководством преподавателя в соответствии с изучаемым содержанием учебного материала рабочих учебных программ по дисциплине. Данные методические рекомендации ориентированы на то, что в учебном процессе практические занятия являются основными видами учебных занятий, а практические работы выступают в качестве предметно-содержательной составляющей учебного занятия.

Целями проведения практических занятий являются:

обобщение, систематизацию, углубление, закрепление полученных теоретических знаний по конкретным темам дисциплины «Математика»;

формирование умений применять полученные знания на практике, реализацию единства интеллектуальной и практической деятельности;

выработку при решении поставленных задач таких профессионально значимых качеств, как самостоятельность, ответственность, точность, творческая инициатива.

Каждая практическая работа состоит их двух частей: задания для подготовки к работе и задания для ее выполнения. Поэтому перед занятием студент должен повторить пройденный материал, используя конспекты лекций, и рекомендуемую литературу, указанную в задании к каждой работе, а также ознакомиться с основными сведениями, приведенными в данной работе.

Практические работы выполняются обучающимися индивидуально. Отчет по каждой работе составляется каждым обучающимся самостоятельно.

Отчет должен быть составлен по следующей примерной форме:

- дата;

- наименование темы;

- цель работы;

- ответы на вопросы для подготовки к работе;

- содержание работы;

 

Практическая работа № 1

Раскрытие неопределенности вида и

Время проведения – 2 часа.

Цель работы: научиться вычислять пределы функций путем раскрытия неопределенностей вида и

Вопросы для подготовки к работе:

1. Понятие предела последовательности;

2. Понятие предела функции;

3. Бесконечно малые и бесконечно большие, связь между ними;

4. Свойства пределов функции;

5. Предел функции в точке;

6. Алгоритм раскрытия неопределенности вида ;

7. Алгоритм раскрытия неопределенности вида .

Содержание работы:

1. Вычисление пределов в точке;

2. Вычисление пределов с помощью алгоритма раскрытия неопределенности вида в частном многочленов.

3. Вычисление пределов с помощью алгоритма раскрытия неопределенности вида в частном двух многочленов путем разложения на множители.

Литература: [1, с. 193-211]

Порядок выполнения задания:

Для выполнения первого задания, а именно, вычислить предел функции в какой-либо точке, необходимо подставить данную точку в функцию и получить числовое значение.

Пример: Вычислить предел функции

Решение:

Подставляем в функцию и находим значение выражения, т.е.

 

 

Ответ:

При выполнении третьего, шестого, восьмого заданий используется алгоритм раскрытия неопределенности вида :

1) Выявление старшей степени переменной.

2) Деление на выявленную переменную как числителя, так и знаменателя.

3) Вычисление предела, учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина.

Пример: Вычислить предел функции

Решение:

Подставляем бесконечность в функцию - это предел на неопределенность вида .

Чтобы найти предел надо раскрыть неопределенность. Для этого сначала смотрим на числитель и находим в старшей степени - старшая степень в числителе равна двум, затем смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени – старшая степень знаменателя равна двум. Выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя – в данном примере они совпадают и равны двойке. Чтобы раскрыть неопределенность вида необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени, т.е. разделим числитель и знаменатель на . Получим:

Величины являются бесконечно малыми при и их пределы равны нулю.

Ответ:

 

При выполнении второго, четвертого, пятого, седьмого заданий используется алгоритм раскрытия неопределенности вида :

1) Разложение на множители числителя и знаменателя.

2) Сокращение дроби.

3) Вычисление значение предела

Перечислим наиболее распространенные приемы разложения многочленов на множители:

· Вынесение общего множителя за скобку.

В том случае когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена

Пример: Разложить на множители многочлен

Решение:

Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель . Вынесем его за скобку и получим:

· Применение формул сокращенного умножения.

Полезно помнить следующие формулы:

Пример: Разложить на множители многочлен

Решение:

Разложим разность четвертых по формуле приведенной выше:

· Группировка.

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

Пример: Разложить на множители

Решение:

· Разложение на множители квадратного трехчлена.

Квадратный трехчлен раскладывается на два линейных множителя: , где являются корнями уравнения

Таким образом, разложение на множители квадратного трехчлена сводится к решению квадратного уравнения , где дискриминант

Пример: Разложить квадратный трехчлен на множители.

Решение:

Найдем корни квадратного уравнения .

Дискриминант уравнения равен , следовательно

Таким образом,

 

Пример: Вычислить предел

Решение:

Подставляя единицу вместо в числитель и знаменатель получим: , то есть имеем неопределенность вида , для раскрытия которой нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь.

Разложим выражения в числителе и знаменателе на множители.

Для того, чтобы разложить числитель на множители необходимо решить квадратное уравнение .

Находим дискриминант по формуле , получаем:

Далее находим корни по формуле

Используя формулу разложения квадратного трехчлена на множители: , где являются корнями уравнения получаем: . Числитель на множители разложен.

Для того чтобы разложить знаменатель на множители используем формулу сокращенного умножения, а именно: . Получаем: . Знаменатель на множители разложен.

Следовательно, Сократим данную дробь на скобку :

Теперь подставляем в выражение, которое осталось под знаком предела:

Итак,

Ответ: