Необходимое и достаточное условие монотонности.

Монотонная функция – это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y тоже возрастает, то это возрастающая функция.

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y убывает, то это убывающая функция.

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Функция постоянна (немонотонна), если она не убывает и не возрастает.

Теорема (необходимый признак монотонности):

1. Если дифференцируемая функция f(x) в некотором интервале возрастает, то ее производная на этом интервале неотрицательна, т.е .

2. Если дифференцируемая функция f(x) в некотором интервале убывает, то ее производная на этом интервале неположительна, .

3. Если функция не изменяется, то ее производная равна нулю, т.е. .

Теорема (достаточный признак монотонности):

Пусть f(x) непрерывна на интервале (a;b) и имеет производную во всех точках, тогда:

1. Если внутри (a;b) положительна, то f(x) возрастает.

2. Если внутри (a;b) отрицательна, то f(x) убывает.

3. Если , то f(x) постоянна.

Исследование функции на экстремумы.

Экстремум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

1. Найдите область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.

2. Найдите производную .

3. Найдите критические точки, т.е. точки в которых производная функции равна нулю или не существует.

4. В каждом из интервалов на которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и характер изменения функции.

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точной максимума, минимума или не является точкой экстремума.

Записать результат исследования функции промежутки монотонности и экстремума.

Наибольшее и наименьшее значение функции.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке.

1. Найти производную .

2. Найти на данном отрезке критические точки.

3. Вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Выпуклость и вогнутость функции.

Дуга называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более, чем в двух точках.

Линии, образуемые выпуклостью вверх, называются выпуклыми, а образуемые выпуклостью вниз - вогнутыми.

Геометрически ясно, что выпуклая дуга лежит под любой своей касательной, а вогнутая дуга – над касательной.

Точки перегиба функции.

Точкой перегиба называется такая точка линии, которая отделяет выпуклую дугу от вогнутой.

В точке перегиба касательная пересекает линию, в окрестности этой точки линия лежит по обе стороны от касательной.

Интервалу убывания первой производной соответствует участок выпуклости графика функции, а интервалу возрастания – участок вогнутости.

Теорема (о точках перегиба):

Если вторая производная всюду в интервале отрицательна, то дуга линии y = f(x), соответствующая этому интервалу, выпуклая. Если вторая производная всюду в интервале положительна, то дуга линии y = f(x), соответствующая этому интервалу, вогнутая.

Необходимый признак точки перегиба:

Если – абсцисса точки перегиба, то либо , либо не существует.

Достаточный признак точки перегиба:

Точка есть точка перегиба линии y = f(x), если , а ;

При слева от нее лежит участок выпуклости, справа – участок вогнутости, а при слева лежит участок вогнутости, а справа – выпуклости.

Асимптоты.

Определение.

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Виды асимптот:

1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одна из прямых значений или равно или .

Замечание:

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

2. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно .

Замечание:

График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

3. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если