Определение модулей упругости растягивания и изгиба

Цель работы: определение модуля Юнга из растягивание провода и из изгиба балки, ознакомление с методами измерения модуля Юнга

Теоретический материал.

Упругие силы. Деформация сплошной среды. Типы упругих деформаций. Связь между силой и деформацией. Закон Гука для деформаций растягивания и сдвига. Модуль Юнга. Коэффициент Пуассона. Энергия упругой деформации. Диаграмма растягивания. Хрупкость и пластичность.

Определение модуля Юнга из растягивание провода.

Рассмотрим один из простейших случаев упругой деформации - растягивание провода, который имеет постоянное сечение S. Верхний конец провода закрепим, а к нижнему подвесим груз с массой m. Пусть l₀- начальная длина провода, -ее абсолютное удлинение под действием груза m.

Соответственно закону Гука, относительное удлинение будет прямо пропорционально нормальному напряжению σ (). В нашем случае (g-ускорение свободного падения). Таким образом, можно записать:

. (1)

Коэффициент пропорциональности α в формуле (1) записанный как . Константа Е характеризует упругие свойства тела и называется модулем Юнга. Легко видеть, что размерность последнего в системе СИ .

Из соотношения (1) видно, что модуль Юнга равняется такому напряжению, которое растянуло бы тело цилиндрической формы вдвое (). Однако, для большинства тел это невозможно, так как они разрываются раньше.

Формула (1) является рабочей при измерении величины Е методом растяжения. Принимая во внимание соотношение , получаем

. (2)

 

Обратимся теперь к методике измерений и обработки результатов эксперимента.

Блок-схема экспериментальной установки представлена на рис. 1. К стальному проводу (KL) прикрепленная платформа (А), на которую последовательно кладут грузы. С помощью индикатора (В) определяется абсолютное удлинение провода под действием нагрузок 0,5кг; 1кг …2,5 кг. Потом измерения проводятся при разгрузке. По указанию преподавателя можно провести несколько циклов измерений. Данные следует занести в таблицу. Для удобства работы индикатор перед проведением эксперимента следует установить на нуль. В данной работе предлагается провести обработку результатов двумя методами.

Задача 1.

Измерения отягощены погрешностями, которые в действительной работе вызваны, главным образом, случайными горизонтальными сдвигами платформы (А) при ее нагрузке и относительно низким качеством обработки ее нижней поверхности. В результате отношения не является величиной постоянной, как это выходит формально из формулы (2). Действительно, все величины, которые входят в (2), за исключением и m, являются константами, следовательно, таким должно быть и отношение . Рассматривая β как случайную величину, можно найти ее среднее значение <β> и среднюю квадратичную ошибку Δβ. Диаметр провода следует измерить микрометром не менее пяти раз в разных местах и вычислить его среднее значение <D>. Подставляя в формулу (2) значение <β> и <D>, можно вычислить модуль Юнга и погрешности измерений, соответственно соотношению:

Задача 2.

Одна из задач экспериментальной физики заключается в проверке связей между определенными физическими величинами, которые предусмотрены теорией. Подобные эксперименты позволяют, в частности, проявить качество теоретической модели, установить границы (условия) ее применение, определить численные величины параметров, которые входят в аналитические выражения. Одним из методов, которые разрешают наиболее точно определить указанные параметры по результатам измерений, есть метод наименьших квадратов. Коротко напомним его содержание относительно нашей работы. Итак, мы знаем, что абсолютное удлинение провода Δl должно быть прямо пропорционально массе груза m, т.е.

 

, (3)

 

где коэффициент пропорциональности К, как это видно из формулы (1), равняется:

. (4)

 

Иначе говоря, экспериментальные точки в переменных (, ) должны укладываться на прямую. Однако, из-за погрешности измерений это будет не так. Точки, действительно, будут ложиться более или менее на прямую, но как ее провести? Быть может, на глаз? Уравнение искомой прямой (3) нам известно, но не известна величина константы К. Обычно в уравнение прямой прибавляют также и свободный член (С), что разрешает лучше уложить точки на прямую. Он связан с какими-нибудь систематическими погрешностями. Будем считать, что мы их учли, поэтому . Таким образом, каждому значению m_i мы можем сопоставить два значения абсолютного удлинения провода . Одно из них получено в результате измерений , другое в результате вычислений- . Обычно последнее мы не знаем, так как коэффициент К заранее не известен. Тем не менее, введем разность , которая показывает отклонение результатов измерений от теоретических значений. Константу (К), соответственно методу наименьших квадратов, находят из условия минимума суммы квадратов отклонений:

. (5)

Минимум суммы S(K) ищется по правилам дифференциального исчисления и условия: . Дифференцируя (5), получаем:

. (6)

Таким образом, по данным измерений можно найти (К), а потом, соответственно соотношению (4), и модуль Юнга.

Нанесите экспериментальные точки на график . Сравните результаты, полученные в первомой и во второй задачах.

 

 

Определение модуля Юнга из изгиба балки (пластины) прямоугольной формы.

 

Если горизонтально расположенную упругую балку (пластину) закрепить с одного конца, а другой конец нагрузить телом весом , то этот конец опустится, т.е. пластина деформируется. Легко понять, что при таком изгибе верхние пласты пластины будут растягиваться, нижние - сжиматься, а некоторый средний (нейтральный) пласт сохраняет длину и только претерпевает искривление.

Перемещение λ, которое получает свободный конец пластины, называется стрелой прогиба. Стрела прогиба будет зависеть от модуля Юнга (Е) и геометрических параметров пластины. Для пластины, которая имеет длину (L), ширину (а) и высоту (b), стрела прогиба выражается формулой:

 

. (7)

 

В случае, если пластина будет обеими концами свободно положенная на твердые сопротивления и нагруженная в середине весом (рис. 2), стрела прогиба будет также определяться формулой (7), но с заменой Р на и на . Действительно, в случае такого изгиба каждая из опор совершает на пластину противодействую, равную . Таким образом, пластина, которая опирается обеими концами на опоры, ведет себя так, будто она была закреплена посредине, а на каждый с ее концов, которые находятся на расстоянии от ее середины, действуют направленные вверх силы . Итак, стрела прогиба будет равняется:

. (8)

 

Формула (8) разрешает определить модуль Юнга соответственно методикам, описанным выше, что и предлагается выполнить студентам.

Установка для определения модуля упругости по величине изгиба состоит из массивной платформы с двумя стойками на концах. На стойках укрепленные стальные призмы так, что ребра их параллельные между собой. На специальной штанге укрепляют индикатор так, чтобы штифт касался середины внутренней плоскости пластины. Сверху на середину пластины нагружают последовательно 0.5 кг, 1 кг, 1.5 кг, 2 кг, 2.5 кг, каждый раз определяя стрелу прогиба с помощью индикатора. Дальше проделывают ту же операцию в обратном порядке, отмечая каждый раз ее прогиб. Результаты заносятся в таблицу.

Определите модуль Юнга используя методики, предложенные выше. Оцените погрешности измерений соответственно соотношению:

 

где .

Контрольные вопросы:

1. По какому признаку тела делятся на упругие и неупругие? Что называется деформацией тела? Какая особенность сил, которые возникают внутри тела при упругих и пластических деформациях? В чем причина упругих и пластических деформаций?

2. Как по величине внешней силы, которая деформирует тело, определить возникающую при этом силу упругости?

3. Перечислите основные типы деформаций.

4. Что называется деформацией растяжения (сжатия), сдвига? Как при этом смещаются отдельные пласты (и частицы) тела? Какими абсолютными и относительными величинами характеризуются эти деформации и какими силами они вызываются?

5. Что такое механическое напряжение, и в каких единицах она измеряется?

6. В чем заключается закон Гука? Как он математически записывается в общей форме? Приведите запись закона Гука для деформации растяжения и сдвига.

7. Что называют модулем Юнга и модулем сдвига? Какими единицами они измеряются и как они связаны с коэффициентами растяжения и сдвига?

8. Изобразите образец графика зависимости упругого напряжения от значения деформации. Укажите область пластических деформаций.

9. Что называют границей пропорциональной зависимости? Границей упругости? Границей прочности?

10. Что называется коэффициентом Пуассона?

11. Которые из величин в данных роботах необходимо измерить точнее и чему?

12. Как деформируются отдельные пласты стержня при его изгибе? Что называется стрелой прогиба?

13. С какой целью рекомендуется делать измерения как при возрастающих, так и при ниспадающих нагрузках?

14. Каким образом можно исключить влияние начального изгиба провода на точность определения Е?

15. Что необходимо начать, чтобы в процессе эксперимента не выйти за пределы области где удлинение провода пропорционально ее натяжения (область пропорциональности)?

 

Рекомендованная литература:

1. Физический практикум под редакцией В.И. Ивероновой, Механика и молекулярная физика, -М., 1967

2. С.П. Стрелков. Механика, -М., Наука. 1965. гл, X, §81-84, 86-89.

3. С.Э. Хайкин. Физические основы механики, -М., 1963, гл XIV. §105-106

4. И.В. Савельев. Курс общей физики, т. I. Механика, колебание и волны, молекулярная физика, -М., 1973, §45.

 

Лабораторная работа №3

Изучение второго закона динамики на машине Атвуда

Цель работы: проверка законов динамики материальной точки, приобретение навыков построения графиков и учет систематических ошибок.

 

Теоретический материал.

Определение материальной точки. Описание перемещения, скорости и ускорение материальной точки в векторной и координатной формах. Прямолинейное движение материальной точки. Физическое содержание I закона Ньютона. Сила как мера интенсивности взаимодействия тел. Второй закон Ньютона. Масса. Импульс. III закон Ньютона.

 

 

Машина Атвуда состоит из легкого блока 1, закрепленного на верхнем конце вертикальной штанги 2, на которой нанесена шкала с сантиметровыми пометками. Блок вращается с достаточно малым трением, иначе необходимо предусматривать компенсацию этого трения. Через блок перекинута нить с двумя одинаковыми грузами массой М. Грузи могут опираться на подставки 4, а также способны перемещаться вдоль штанги. Для фиксации грузов в заданном положении и для их освобождения используется электромагнит 5. Подставки 4 - сплошные, подставка 6 имеет отверстие, через которое свободно проходит груз. Кроме того в комплект входят дополнительные грузи 7 и 8, которые используют для приведения системы в состояние движения.

Если на правый груз поместить дополнительный перегрузок массой m и отключить электромагнит, то система придет в движение. Для определения ускорения грузов запишем уравнение поступательного движения каждого груза (обозначение смотреть на рис. 2):

В векторной форме

. (1)