Нормальное и тангенциальное ускорение

Кинематика

Основные понятия

Материальная точка: тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения.

Система материальных точек и число степеней свободы м.т. (системы м.т.) – число независимых параметров, необходимых для фиксации ее положения в пространстве. Выбор этих параметров может быть проведен по-разному, однако их число от конкретного выбора не зависит, являясь важнейшей инвариантной характеристикой системы. Чем больше у механической системы степеней свободы, тем сложнее оказывается математический анализ закона ее движения.Материальную точку классической механики можно рассматривать как простейшие механические объекты, обладающие наименьшим числом степеней свободы. Это число совпадает с размерностью реального физического пространства, т.е. равно трем.

Абсолютно твердое тело: тело, у которого размеры и форма не меняются.

Тело отсчета: тело, относительно которого определяют положение других тел.

Система отсчета: система координат, связанная с телом отсчета и способ измерения времени (часы).

Радиус-вектор r - это вектор, проведенный из начала координат в какую-либо точку пространства. Зависимость радиуса-вектора от времени определяет кинематический закон движения тела . Это векторное уравнение эквивалентно заданию трёх скалярных уравнений , , , которые также называются кинематическими законами движения.

Компоненты радиус-вектора

В трёхмерном пространстве на плоскости

 

 

единичные векторы или орты, направленные по осям x, y, z соответственно;

- x, y, z - компоненты радиуса - вектора. Очевидно, они же являются координатами материальной точки.

Модуль радиус-вектора - по теореме Пифагора.

Траектория - это линия, описываемая материальной точкой при ее движении.

Путь - длина отрезка траектории.

Перемещение - вектор, проведенный из начального положения материальной точки в ее конечное положение.

Скорость - это производная радиуса - вектора по времени.

Скорость всегда направлена по касательной к траектории

Компоненты скорости

Вектор скорости материальной точки M, движущейся по плоскости x, y:

v_x, v_y - компоненты скорости, т.е. проекции вектора на координатные оси.

компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени:

; ; . Зная проекции, мы всегда построим вектор скорости.

Средняя скорость. По теореме о среднем имеем:

Средний модуль скорости за время D t = t ₂- t ₁

Средний вектор скорости за время D t = t ₂- t ₁

Модуль скорости - производная пути по времени.

.

По теореме Пифагора: .

Вычисление пройденного пути: путь - это определенный интеграл от модуля скорости по времени:

v₁ в течение отрезка Δt_i приблизительно постоянны, если Δt достаточно мало.
В пределе:

,

Ускорение - это производная скорости по времени.

или:

Ускорение - вторая производная радиуса-вектора по времени. Производную по времени от какой-либо величины называют скоростью изменения этой величины.

Ускорение - это скорость изменения скорости.

Выбор системы отсчета.

Нахождение закона движения существенно осложняется, когда речь идет о взаимном расположении движущихся тел – то, с чем мы имеем дело в механике. Если мы хотим не только проследить за взаимным расположением движущихся предметов, но и установить причину их движения, а также определить закон движения, то мы должны выбирать систему отсчета вполне определенным образом. Из всех возможных систем отсчета в механике привилегированную роль играют так называемые инерциальные системы отсчета.

Инерциальную систему отсчета можно определить как систему отсчета, в которой справедливо первое Начало механики (первый закон Ньютона): всякое тело сохраняет состояние покоя или состояние равномерного прямолинейного движения пока какие-либо силы не выведут его из этого состояния. Само первое Начало можно рассматривать как утверждение того факта, что инерциальные системы существуют в природе.

 

Преимущество инерциальной системы отсчета впервые в истории науки обнаружилось при разрешении спора между сторонниками геоцентрической и гелиоцентрической систем мироздания. Переход от господствовавшей в средние века геоцентрической системы к гелиоцентрической означал переход от неинерциальной системы отсчета к инерциальной и дал возможность не только описывать взаимное расположение небесных тел, но и выяснить причину и законы их движения на основе открытого Ньютоном закона всемирного тяготения.

Понятие инерциальной системы -- это идеализированное понятие. Любая реально выбранная система отсчета всегда имеет какую-то "примесь" неинерциальности. Весь вопрос в том, насколько слабы эффекты, вызываемые неинерциальностью системы отсчета, и можно ли ими пренебречь при решении конкретной задачи. Так, например, система отсчета, связанная с Землей, совершенно непригодна для задач небесной механики, но полностью удовлетворяет нуждам внешней баллистики (расчет полета снарядов). Однако, при расчете движения спутников эффект неинерциальности системы земного отсчета становится уже заметным и может быть учтен как малая поправка.

Если установлено существование некоторой инерциальной системы отсчета, то любая другая система отсчета, движущаяся по отношению к первой прямолинейно с постоянной скоростью, также будет инерциальной. Действительно, совершенно очевидно, что для любой такой системы отсчета будет справедливо первое Начало механики, а это означает, по определению, ее инерциальность.

При переходе от одной инерциальной системы к другой, движущейся относительно ее, скорость материального тела изменяется на величину относительной скорости координатных систем, а ускорение остается неизменным. Вследствие этого, второй закон Ньютона, являющийся основным законом механики, имеет один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета.

Здесь мы подошли к формулировке одного из основных принципов механики.

 

Динамика материальной точки

Второй закон Ньютона

Скорость изменения импульса равна действующей на материальную точку результирующей силе:.

, где

при m ≠ m(t)

т.к

то

 

Третий закон Ньютона

Силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю и противоположны по направлению.

Пример - взаимодействие двух электрических зарядов:

Из третьего закона Ньютона следует, что для каждой силы можно указать тело, являющееся причиной этой силы. Если же указать такое тело - причину возникшей силы - не удается, то тогда причина "силы" - неинерциальность системы отсчета. Напомним, что законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета.

Уравнения движения.

Второй закон механики (з. Ньютона) позволяет записать уравнение движения тела (м.т.): это уравнение вида , из которого путем двойного интегрирования находится закон движения при задании шести начальных условий. Это уравнение эквивалентно трем скалярным неоднородным дифференциальным уравнениям второго порядка (в общем случае трёхмерного движения).

Для системы N тел необходимо интегрировать 3 N уравнений с 6 N начальными условиями. Сложность этих уравнений определяется видом сил. В общем случае силы могут зависеть от координат всех тел, их скоростей и времени (всего 6 N +1 переменных). Аналитически эта задача разрешима только для системы двух тел, взаимодействующих гравитационно – задача Кеплера. Уже для трех тел (Солнце, Земля, Луна) эта задача в квадратурах не разрешима.

Пример интегрирования уравнений движения в одномерном случае: прыжок парашютиста. Человек массы m прыгает с высоты h ₀, а через t секунд раскрывает парашют – пример тела, двигающегося в вязкой среде с коэффициентом аэродинамического сопротивления r. Кроме постоянной силы тяжести на него действует аэродинамическая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости .

Уравнение движения запишем в виде . Перепишем в виде, удобном для интегрирования и проинтегрируем, В результате найдём зависимость времени от скорости Обратная зависимость скорости от времени , где – характерное время. Зависимость y -вой координаты от времени .

Начальная высота h ₀ = 1000 м, начальная скорость V ₀ = 0.

Законы сохранения

Внутренние и внешние силы

Внутренние силы - силы, с которыми взаимодействуют тела системы между собой. Внешние силы действуют со стороны тел, не входящих в систему.

 

Замкнутая система
Замкнутая система - это система, на которую внешние силы не действуют.

Импульс системы материальных точек - это векторная сумма импульсов всех материальных точек, входящих в систему

Закон сохранения импульса

Импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

На рисунке изображена замкнутая система, состоящая из трех тел.

По II закону Ньютона, примененному к каждому телу рассматриваемой замкнутой системы, имеем:

Сложим эти уравнения. Справа, по III закону Ньютона, получим ноль. Слева - производную по времени от полного импульса системы

Производная - ноль, значит, сама величина - константа.

если нет внешних сил (система замкнута).

	рх = const, если Fx = 0, рy = const, если Fy = 0, рz = const, если Fz = 0.

Если система не замкнута, но внешние силы не действуют на неё вдоль каких-либо осей, то соответствующие компоненты импульса сохраняются, например:

	рх = const, если Fx= 0, рy≠ const, если Fy ≠ 0, рz ≠ const, если Fz ≠ 0.

Работа

Работа постоянной силы

Элементарная работа

 

Работа переменной силы

Единица измерения работы

[A]=[F].[s]= H.м = джоуль, Дж

Мощность P - это скорость совершения работы,

Здесь v - скорость материальной точки, к которой приложена сила .

Единица мощности

Кинетическая энергия (теорема о кинетической энергии)

Применим II закон Ньютона для материальной точки m, движущейся под действием результирующей силы :

Помножим скалярно: слева на - справа на

.

преобразуя левую часть,

получим

.

Кинетическая энергия

Таким образом элементарная работа, совершаемая над телом, равна элементарному приращению его кинетической энергии. При интегрировании вдоль траектории частицы, от точки 1 до точки 2, мы получим:

Работа результирующей силы идет на приращение кинетической энергии материальной точки (работа совершается за счет убыли кинетической энергии).

Консервативные и неконсервативные силы
Консервативные - такие силы, РАБОТА которых не зависит от траектории, а определяются только начальным и конечным положением материальной точки. Силы, не обладающие только что названным свойством, называют неконсервативными. Для того чтобы узнать, консервативна сила либо нет, надо вычислить ее работу.

Угловая скорость

, или . Псевдовектор направлен так же, как и псевдовектор . Угловое ускорение

Теорема Штейнера

,

где I₀ - момент инерции относительно оси OО,
I - момент инерции относительно оси O'О'.

Моменты инерции I₀ для некоторых тел

Обруч:	,	где R - радиус обруча.
Диск:	,	где R - радиус диска.
Шар:	,	где R - радиус шара.
Стержень:	,	где l - длина стержня.
		m - масса тела.

СТО

Преобразования Галилея - это уравнения, связывающие координаты и время некоторого СОБЫТИЯ в двух инерциальных системах отсчета. СОБЫТИЕ определяется местом, где оно произошло (координаты x, y, z), и моментом времени t, когда произошло событие. Событие полностью определено, если заданы четыре числа: x,y,z,t - координаты события.

Пусть материальная точка m в системе отсчета К в момент времени t имела координаты x, y, z, т.е. в системе К заданы координаты события - t, х, y, z.

Найдем координаты t', x', y', z' этого события в системе отсчета К', которая движется относительно системы К равномерно и прямолинейно вдоль оси х со скоростью .

Выберем начало отсчета времени так, чтобы в момент времени t = 0 начала координат совпадали. Оси х и х' направлены вдоль одной прямой, а оси у и у', z и z' - параллельны.

Тогда из рисунка ОЧЕВИДНО: x = x'+Vt.

Кроме того, ясно, что для наших систем координат y = y', z = z'.

В механике Ньютона предполагается, что t = t',

т.е. время течет одинаково во всех системах отсчета.
Полученные четыре формулы и есть преобразования Галилея:

x = x' + Vt,
y = y', z = z', t = t'.

Принцип относительности Галилея:

Постулаты С.Т.О.

Механика больших скоростей, специальная теория относительности (С.Т.О.),
базируется на двух исходных утверждениях, постулатах:

I. Принцип относительности (Эйнштейна), согласно которому

никакими физическими опытами нельзя установить, покоится ли данная система отсчета, либо движется равномерно и прямолинейно.

Другая формулировка:

Все законы природы одинаково формулируются для всех инерциальных систем отсчета.

II. Принцип постоянства скорости света:

cкорость света в вакууме во всех инерциальных системах отсчета одинакова и не зависит ни от движения источника, ни от движения приемника света.

Преобразования Лоренца - это уравнения, связывающие координаты и время некоторого события в двух инерциальных системах отсчета. В отличие от преобразований Галилея преобразования Лоренца не должны противоречить постулатам С.Т.О.: необнаружимости абсолютного движения и постоянству скорости света. При скорости движения системы отсчета V<< c преобразования Лоренца должны переходить в преобразования Галилея.

Вывод преобразований Лоренца (не обязательно)

Рассмотрим две системы отсчета. Одна система К - неподвижна, другая К' движется вдоль оси х со скоростью V. При t =0 начала координат совпадали. Пусть наблюдатель в К системе проделал опыты по изучению движения тела и получил законы движения по каждой координате: x = x (t); y = y (t); z = z (t). Тогда наблюдателю в К' системе не надо проводить опыты, законы движения в своей системе координат он может получить по формулам преобразования Лоренца.

 

Такие преобразования сохраняют вид уравнения фронта световой волны, сфера преобразуется в сферу, в соответствии с постулатами С.Т.О.
Обозначим, для удобства записи,

тогда преобразования Лоренца запишутся так:

а) прямые		б) обратные
;		;
;		;
;		;
		.

 

Релятивистская механика должна быть построена таким образом, чтобы уравнения движения не менялись при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, т.е. были инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Следствия из преобразований Лоренца

Релятивистская динамика

Релятивистский импульс

В классической механике , при v << c.

В релятивистской механике, где v → c,

.

Выражение для релятивистского импульса отличается от классического множителем γ.

Энергия покоя

При скорости материальной точки v=0

Масса покоя

Скорость света

Интервал

Энергетический инвариант

Из этого следует, что

- inv, инвариант,

т.е. не зависит от выбора системы отсчета.

 

Кинематика

Основные понятия

Материальная точка: тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения.

Система материальных точек и число степеней свободы м.т. (системы м.т.) – число независимых параметров, необходимых для фиксации ее положения в пространстве. Выбор этих параметров может быть проведен по-разному, однако их число от конкретного выбора не зависит, являясь важнейшей инвариантной характеристикой системы. Чем больше у механической системы степеней свободы, тем сложнее оказывается математический анализ закона ее движения.Материальную точку классической механики можно рассматривать как простейшие механические объекты, обладающие наименьшим числом степеней свободы. Это число совпадает с размерностью реального физического пространства, т.е. равно трем.

Абсолютно твердое тело: тело, у которого размеры и форма не меняются.

Тело отсчета: тело, относительно которого определяют положение других тел.

Система отсчета: система координат, связанная с телом отсчета и способ измерения времени (часы).

Радиус-вектор r - это вектор, проведенный из начала координат в какую-либо точку пространства. Зависимость радиуса-вектора от времени определяет кинематический закон движения тела . Это векторное уравнение эквивалентно заданию трёх скалярных уравнений , , , которые также называются кинематическими законами движения.

Компоненты радиус-вектора

В трёхмерном пространстве на плоскости

 

 

единичные векторы или орты, направленные по осям x, y, z соответственно;

- x, y, z - компоненты радиуса - вектора. Очевидно, они же являются координатами материальной точки.

Модуль радиус-вектора - по теореме Пифагора.

Траектория - это линия, описываемая материальной точкой при ее движении.

Путь - длина отрезка траектории.

Перемещение - вектор, проведенный из начального положения материальной точки в ее конечное положение.

Скорость - это производная радиуса - вектора по времени.

Скорость всегда направлена по касательной к траектории

Компоненты скорости

Вектор скорости материальной точки M, движущейся по плоскости x, y:

v_x, v_y - компоненты скорости, т.е. проекции вектора на координатные оси.

компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени:

; ; . Зная проекции, мы всегда построим вектор скорости.

Средняя скорость. По теореме о среднем имеем:

Средний модуль скорости за время D t = t ₂- t ₁

Средний вектор скорости за время D t = t ₂- t ₁

Модуль скорости - производная пути по времени.

.

По теореме Пифагора: .

Вычисление пройденного пути: путь - это определенный интеграл от модуля скорости по времени:

v₁ в течение отрезка Δt_i приблизительно постоянны, если Δt достаточно мало.
В пределе:

,

Ускорение - это производная скорости по времени.

или:

Ускорение - вторая производная радиуса-вектора по времени. Производную по времени от какой-либо величины называют скоростью изменения этой величины.

Ускорение - это скорость изменения скорости.

Нормальное и тангенциальное ускорение

Направим единичный вектор вдоль вектора скорости:

Тогда

(по правилу нахождения производной от произведения).

Первый член, нормальное ускорение,

показывает быстроту изменения направления скорости.

Второй, тангенциальное ускорение,

направлен вдоль скорости и показывает быстроту изменения ее модуля.

Направление и величину нормального ускорения найдем для частного случая равномерного движения материальной точки по окружности:

Направлен , при , по вектору :

.

.

Нормальное ускорение направлено по нормали к скорости, его модуль:

.

Для движения по произвольной кривой R - радиус кривизны траектории - не будет величиной постоянной.

.

.

Основная задача кинематики: по заданной зависимости ускорения от времени определить закон движения тела (м.т.).

Для одномерного движения:

1) Из определения ускорения находится скорость как функция времени: . (V ₀ – константа интегрирования).

2) Из определения ускорения находится координата как функция времени: . (x ₀ – константа интегрирования).

Таким образом, для нахождения закона движения тела по каждой координате необходимо задать шесть констант – три начальных координаты: x ₀, y ₀, z ₀ и три начальных проекций скорости Vx ₀, Vy ₀, Vz ₀ – всего 6 констант интегрирования, определяющих начальное положение тела (м.т.) – начальные условия.

Для наиболее простого случая , получаем закон равнопеременного движения: – квадратичная зависимость радиуса вектора от времени и линейная зависимость скорости от времени .

Вопрос о зависимости ускорения от времени решается в разделе динамики материальной точки.

Выбор системы отсчета.

Нахождение закона движения существенно осложняется, когда речь идет о взаимном расположении движущихся тел – то, с чем мы имеем дело в механике. Если мы хотим не только проследить за взаимным расположением движущихся предметов, но и установить причину их движения, а также определить закон движения, то мы должны выбирать систему отсчета вполне определенным образом. Из всех возможных систем отсчета в механике привилегированную роль играют так называемые инерциальные системы отсчета.

Инерциальную систему отсчета можно определить как систему отсчета, в которой справедливо первое Начало механики (первый закон Ньютона): всякое тело сохраняет состояние покоя или состояние равномерного прямолинейного движения пока какие-либо силы не выведут его из этого состояния. Само первое Начало можно рассматривать как утверждение того факта, что инерциальные системы существуют в природе.

 

Преимущество инерциальной системы отсчета впервые в истории науки обнаружилось при разрешении спора между сторонниками геоцентрической и гелиоцентрической систем мироздания. Переход от господствовавшей в средние века геоцентрической системы к гелиоцентрической означал переход от неинерциальной системы отсчета к инерциальной и дал возможность не только описывать взаимное расположение небесных тел, но и выяснить причину и законы их движения на основе открытого Ньютоном закона всемирного тяготения.

Понятие инерциальной системы -- это идеализированное понятие. Любая реально выбранная система отсчета всегда имеет какую-то "примесь" неинерциальности. Весь вопрос в том, насколько слабы эффекты, вызываемые неинерциальностью системы отсчета, и можно ли ими пренебречь при решении конкретной задачи. Так, например, система отсчета, связанная с Землей, совершенно непригодна для задач небесной механики, но полностью удовлетворяет нуждам внешней баллистики (расчет полета снарядов). Однако, при расчете движения спутников эффект неинерциальности системы земного отсчета становится уже заметным и может быть учтен как малая поправка.

Если установлено существование некоторой инерциальной системы отсчета, то любая другая система отсчета, движущаяся по отношению к первой прямолинейно с постоянной скоростью, также будет инерциальной. Действительно, совершенно очевидно, что для любой такой системы отсчета будет справедливо первое Начало механики, а это означает, по определению, ее инерциальность.

При переходе от одной инерциальной системы к другой, движущейся относительно ее, скорость материального тела изменяется на величину относительной скорости координатных систем, а ускорение остается неизменным. Вследствие этого, второй закон Ньютона, являющийся основным законом механики, имеет один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета.

Здесь мы подошли к формулировке одного из основных принципов механики.