Основні поняття і співвідношення

ТЕМА 9

КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Основні поняття і співвідношення

Механічні коливання

Рівняння гармонічних коливань

, (9.1)

- зміщення частинки, що коливається, від положення рівноваги; - амплітуда коливань; - колова (циклічна) частота; - частота; - період коливань; - початкова фаза.

Швидкість і прискорення точки, що здійснює гармонічні коливання:

, (9.2)

, (9.3)

- амплітуда коливань; - колова (циклічна) частота; - початкова фаза.

Сила, що діє на матеріальну точку масою , яка здійснює коливання:

, (9.4)

- зміщення точки з положення рівноваги.

Кінетична енергія точки, що здійснює прямолінійні гармонічні коливання

(9.5)

Потенціальна енергія точки, яка здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили :

(9.6)

Механічна енергія:

. (9.7)

Диференціальне рівняння гармонічних коливань матеріальної точки масою :

або , (9.8)

- зміщення точки з положення рівноваги. - коефіцієнт пружності; - циклічна частота.

Розв’язок цього рівняння

. (9.9)

Період коливань математичного маятника

, (9.10)

- довжина маятника; - прискорення вільного падіння.

Період коливань пружинного маятника:

, (9.11)

- маса тягарця пружинного маятника; - жорсткість пружини.

Період коливань фізичного маятника:

, (9.12)

- момент інерції маятника відносно осі коливань; - відстань між точкою підвісу і центром мас маятника; - зведена довжина фізичного маятника; - прискорення вільного падіння.

Амплітуда результуючого коливання, що одержується при додаванні двох гармонічних коливань однакового напрямку і однакової частоти:

. (9.13)

Початкова фаза результуючого коливання:

, (9.14)

і - амплітуди двох коливань, що додаються; і - початкові фази коливань.

Період биття:

, (9.15)

- різниця частот коливань, що додаються .

Рівняння траєкторії руху точки, що бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях однакової частоти (рівняння еліпса):

(9.16)

і - амплітуди коливань, що додаються; - різниця фаз обох коливань.

Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань і його розв’язок:

, (9.17)

- зміщення тіла, що коливається від положення рівноваги; - коефіцієнт згасання; - власна частота коливної системи; - частота згасаючих коливань; - амплітуда згасаючих коливань.

Декремент згасання

(9.18)

і - амплітуди двох послідовних коливань, що відрізняються на період.

Логарифмічний декремент згасання

(9.19)

і - амплітуди двох послідовних коливань, що відрізняються на період. - коефіцієнт згасання; - період згасаючих коливань; - час релаксації; - число коливань, що здійснюються за час зменшення амплітуди в разів.

Добротність коливної системи:

(9.20)

- логарифмічний декремент згасання; - циклічна частота вільних незгасаючих коливань тієї ж коливної системи; - коефіцієнт згасання.

Диференціальне рівняння вимушених механічних коливань і його розв’язок для усталених коливань

, (9.21)

- зміщення тіла, що здійснює коливання, з положення рівноваги; - амплітуда вимушуючої сили; - маса тіла

, (9.22)

- власна частота тієї ж коливної системи; - частота зовнішньої вимушуючої сили;. - коефіцієнт згасання.

Резонансна частота і амплітуда

, (9.23)

- власна частота тієї ж коливної системи;. - коефіцієнт згасання, - амплітуда зовнішньої вимушуючої сили; - маса тіла.

Пружні хвилі

Зв'язок між довжиною хвилі , періодом коливань і частотою

, (9.24)

- швидкість поширення коливань в середовищі (фазова швидкість)

Хвильове число

(9.25)

- довжина хвилі; - фазова швидкість; - період коливань.

Рівняння плоскої хвилі, що поширюється вздовж додатного напрямку осі :

(9.26)

- зміщення точок середовища з координатою в момент часу ; - амплітуда хвилі; - циклічна частота; - хвильове число; - початкова фаза коливань.

Рівняння сферичної хвилі

(9.27)

- зміщення точок середовища на відстані від центра хвилі в момент часу ; - стала величина; - циклічна частота; - хвильове число; - початкова фаза коливань.

Хвильове рівняння

(9.28)

- оператор Лапласа; - фазова швидкість.

Хвильове рівняння для плоскої хвилі, що поширюється вздовж осі

(9.29)

Фазова і групова швидкості і зв'язок між ними:

; ; (9.30)

- циклічна частота; - хвильове число; - довжина хвилі.

Зв'язок між різницею фаз і різницею ходу хвиль :

(9.31)

Умови максимуму і мінімуму амплітуди при інтерференції хвиль

, (9.32)

; - довжина хвилі.

Рівняння стоячої хвилі

. (9.33)

Координати пучностей і вузлів стоячої хвилі

, (9.34)

Ефект Допплера в акустиці

(9.35)

- частота звуку, що сприймається рухомим приймачем; - частота звуку, що посилається джерелом; - швидкість руху приймача; - швидкість руху джерела; - швидкість поширення звуку. Верхній знак беруть, якщо при русі джерела чи приймача відбувається їх зближення, нижній знак – у випадку їх віддалення.

Швидкість поздовжніх хвиль в тонких стержнях:

(9.36)

- модуль пружності, - густина матеріалу стержня.

Швидкість звуку в газах:

(9.37)

і - тиск і густина газу, не збуреного хвилею; - відношення теплоємності газу при сталому тиску до теплоємності при сталому об’ємі.

Амплітуда звукового тиску і амплітуда швидкості частинок у звуковій хвилі пов’язані співвідношенням:

(9.38)

Інтенсивність звуку , тобто енергія, що переноситься звуковою хвилею за одиницю часу через одиничну площадку, перпендикулярну напрямку поширення хвилі, виражається через амплітуду звукового тиску:

(9.39)

- густина газу.

Рівень інтенсивності звуку (в децибелах) визначається формулою

(9.40)

- інтенсивність даного звуку; Вт/м² – інтенсивність звуку на порозі чутності при стандартній частоті Гц.

Рівень гучності звуку (в фонах) обчислюється за формулою

- інтенсивність звуку частоти Гц, що має однакову гучність з досліджуваним звуком.

 

І РІВЕНЬ

9.1.1. Написати рівняння гармонічного коливання з амплітудою см, якщо за час хв. здійснюється 150 коливань і початкова фаза коливань . Накреслити графік.

9.1.2. Написати рівняння гармонічного коливання з амплітудою мм, періодом с і початковою фазою . Знайти зміщення точки, що здійснює коливання від положення рівноваги при і с. Накреслити графік.

9.1.3. За який час від початку руху точка, що здійснює коливальний рух за рівнянням проходить шлях від положення рівноваги до максимального зміщення?

9.1.4. Амплітуда гармонічного коливання см, період с. Знайти максимальну швидкість точки, що коливається, і її максимальне прискорення .

9.1.5. Рівняння коливань матеріальної точки масою г має вигляд см. Знайти максимальну силу , що діє на точку, і повну енергію точки, що коливається.

9.1.6. Знайти відношення кінетичної енергії точки, що здійснює гармонічні коливання, до її потенціальної енергії для моментів часу . Початкова фаза коливань .

9.1.7. До пружини підвішений вантаж масою кг. Знаючи, що пружина під дією сили Н розтягується на см, знайти період вертикальних коливань вантажу.

9.1.8. До пружини підвішений вантаж. Максимальна кінетична енергія коливань вантажу Дж. Амплітуда коливань см. Знайти жорсткість пружини.

9.1.9. Як зміниться період вертикальних коливань вантажу, що висить на двох пружинах, якщо від послідовного з’єднання пружин перейти до паралельного їх з’єднання?

9.1.10. Написати рівняння руху, що одержується в результаті додавання двох однаково напрямлених гармонічних коливань з однаковим періодом с і однаковою амплітудою м. Початкова фаза одного з цих коливань рівна нулю.

9.1.11. Знайти амплітуду і початкову фазу гармонічного коливання, отриманого від додавання однаково напрямлених коливань, заданих рівняннями і .

9.1.12. Знайти амплітуду і початкову фазу гармонічного коливання, отриманого від додавання однаково напрямлених коливань, заданих рівняннями і . Написати рівняння результуючого коливання. Дати векторну діаграму додавання коливань.

9.1.13. написати рівняння результуючого коливання, що отримується в результаті додавання двох взаємно перпендикулярних коливань з однаковою частотою Гц і однаковою початковою фазою . Амплітуди коливань рівні м і м.

9.1.14. Точка приймає участь в двох коливаннях однакового періоду з однаковими початковими фазами. Амплітуди коливань рівні і м. Знайти амплітуду результуючого коливання, якщо коливання здійснюються

а) в одному напрямку;

б) в двох взаємно перпендикулярних напрямках.

9.1.15. Точка бере участь в двох взаємно перпендикулярних коливаннях і . Знайти траєкторію результуючого руху точки.

9.1.16. Період згасаючих коливань с; логарифмічний декремент згасання ; початкова фаза . При зміщення точки см. Написати рівняння руху цього коливання. Побудувати графік цього коливання в межах двох періодів.

9.1.17. Логарифмічний декремент згасання математичного маятника . У скільки разів зменшиться амплітуда коливань за одне повне коливання маятника?

9.1.18. Тіло масою г здійснює згасаючі коливання з максимальною амплітудою см, початковою фазою і коефіцієнтом згасання с^-1. На це тіло почала діяти зовнішня періодична сила , під дією якої встановилися вимушені коливання. Рівняння вимушених коливань має вигляд . Знайти (з числовими коефіцієнтами) рівняння власних коливань і рівняння зовнішньої періодичної сили.

9.1.19. По ґрунтовій дорозі пройшов трактор, залишивши сліди у вигляді ряду заглибин, що знаходяться на відстані см один від одної. По цій дорозі прокотили дитячу коляску, що має дві однакові ресори, кожна з яких прогинається на см під дією вантажу масою кг. З якою швидкістю котили коляску, якщо від поштовхів на заглибинах вона, потрапивши в резонанс, почала сильно розгойдуватися? Маса коляски кг.

9.1.20. Знайти довжину хвилі коливання, період якого с. Швидкість поширення коливань м/с.

9.1.21. Звукові коливання, що мають частоту Гц і амплітуду мм, поширюються в повітрі. Довжина хвилі см. Знайти швидкість поширення коливань і максимальну швидкість частинок повітря.

9.1.22. Рівняння незгасаючих коливань має вигляд см. Знайти зміщення від положення рівноваги точки, що знаходиться на відстані см від джерела коливань, для моменту часу с після початку коливань. Швидкість поширення коливань м/с.

9.1.23. Знайти положення вузлів і пучностей і накреслити графік стоячої хвилі, якщо:

а) відбивання відбувається від менш густого середовища;

б) відбивання відбувається від більш густого середовища. Довжина біжучої хвилі см.

9.1.24. Знайти швидкість поширення звуку в сталі.

9.1.25. За допомогою ехолота вимірювалась глибина моря. Якою була ця глибина, якщо проміжок часу між виникненням звуку і його прийомом рівний с. Стисливість води Па, густина морської води кг/м³.

 

ІІ РІВЕНЬ

9.2.1. Сталева смужка затиснута з одного кінця і розташована горизонтально. На другому кінці смужки закріплюють вантаж, маса якого значно більша за масу смужки. При наявності вантажу смужка прогинається і її не затиснутий кінець опускається на 4 см.

1) З якою частотою буде коливатися вантаж, якщо його штовхнути у вертикальному напрямі?

2) З яким прискоренням буде рухатись вантаж, що коливається, в момент, коли смужка повністю розпрямиться?

9.2.2. На верхню вітку горизонтально розташованого камертона насипаний дрібний пісок, рис. 9.8. З допомогою смичка камертон приводять у коливний рух. Частота коливань камертона Гц.

Рис. 9.8

а) яка амплітуда коливань в тих місцях вітки камертона, де піщинки не підскакують?

б) Яка амплітуда коливань в тих місцях, де піщинки підскакують на висоту мм (по відношенню до положення у випадку камертона в стані спокою), вважаючи удар піщинки об камертон непружним?

Рис. 9.9

9.2.3. При рівновазі системи, показаній на рис. 9.9, пружина П розтягнута на см порівняно з не деформованим станом. Блок являє собою суцільний однорідний диск. Маси вантажів і блока відповідно дорівнюють г, г, г. Іншими масами і тертям можна знехтувати. Визначити період коливань системи, які почнуться, якщо вантаж відвести вертикально вниз і відпустити.

9.2.4. Верхній кінець сталевої дротини діаметром 0,5 мм і довжиною 80 см закріплений. До нижнього кінця дротини прикріплено кулю масою 2 кг і діаметром 10 см. Якщо кулю повернути навколо вертикальної осі на невеликий кут і відпустити, він буде здійснювати крутильні коливання. Визначте період коливань кулі.

а) Визначте період коливань однорідної кулі радіуса 6 см навколо горизонтальної осі, що проходить через точку, що знаходиться на відстані 0,3 радіуса кулі від її центра;

б) Яким буде період коливань, якщо розташувати вісь під кутом 80⁰ до горизонту.

9.2.5. Тонка прямокутна пластинка може коливатися навколо горизонтальної осі, що лежить в її площині і перпендикулярна до однієї з її сторін, довжина якої дорівнює .

а) Який період коливань, якщо вісь співпадає з верхньою стороною пластинки?

б) При якій відстані від осі до середини пластинки період коливань буде найменшим? Який цей період?

Рис. 9.10

9.2.6. Визначте період коливань ртуті масою г, що знаходиться в − подібній трубці, рис. 9.10. Площа перерізу каналу трубки см².

9.2.7. Початкова амплітуда коливань маятника рівна 3 см. Через 10 с вона стала рівною 1 см. Через скільки часу амплітуда коливань буде рівна 0,3 см?

9.2.8. Який логарифмічний декремент згасання маятника довжиною 0,8 м, якщо його початкова амплітуда рівна 5⁰, а через 5 хв. вона стає рівною 0,5⁰?

9.2.9. Пружне тіло коливається в середовищі, причому логарифмічний декремент згасанні рівний 0,7.

1) Чи можливі згасаючі коливання цього тіла в середовищі, коефіцієнт опору якого в 10 разів більший, ніж у даного середовища?

2) Дайте відповідь на це саме питання, якщо декремент згасання в даному середовищі дорівнює 0,6; 0,1.

3) Якщо коливання в більш в’язкому середовищі можливі, то які їх декременти згасання?

9.2.10. Амплітуди швидкостей вимушених коливань при частотах вимушуючої сили Гц і Гц однакові. Приймаючи, що амплітуда вимушуючої сили в обох випадках одна і та сама, знайдіть частоту, що відповідає резонансу швидкостей.

9.2.11. Амплітуди зміщень вимушених коливань при частотах вимушуючої сили Гц і Гц однакові. Приймаючи, що амплітуда вимушуючої сили в обох випадках одна і та сама, знайдіть частоту, що відповідає резонансу зміщень.

9.2.12. Амплітуда зміщення вимушених коливань при дуже малій частоті дорівнює мм, а при резонансі рівна мм. Припускаючи, що декремент згасання менший за одиницю, визначте його.

9.2.13. Швидкість поздовжніх пружних хвиль в сталевому стержні дорівнює 5100 м/с. Визначте модуль пружності сталі.

9.2.14. Яка швидкість поздовжніх пружних хвиль в ртуті?

9.2.15. Визначте частоти коливань для стоячих звукових хвиль в трубі довжиною 80 см:

1) відкритій;

2) закритій.

Температура повітря в трубі 16⁰С.

9.2.16. На нитці утворилися стоячі хвилі, причому відстань між точками, в яких коливання відбуваються з амплітудою 3 мм, дорівнює 3 і 7 см. Знайдіть довжину хвилі і амплітуду в середині пучності.

9.2.17. Частота основного тону гудка електровоза 650 Гц. Якої частоти сприйме гудок нерухомий спостерігач, до якого електровоз наближається зв швидкість 54 км/год? Температура повітря 16⁰С.

9.2.18. Спостерігачу, що слухає гудок автомобіля, здається, що при наближенні автомобіля частота основного тону гудка більша в рази, ніж при віддаленні. Визначте швидкість автомобіля, прийнявши швидкість звуку в повітрі рівною 340 м/с. Вважати повітря нерухомим.

9.2.19. Дайте відповідь на те саме запитання, якщо автомобіль, що гудить, нерухомий, а спостерігач знаходиться в автомобілі, який спочатку наближається, а потім віддаляється від автомобіля, що гудить.

 

ІІІ РІВЕНЬ

9.3.1. Точка здійснює гармонічні коливання по закону , де - сталі. Знайти амплітуду цих коливань.

9.3.2. Частинка здійснює гармонічні коливання вздовж осі навколо положення рівноваги . Частота коливань с^-1. В деякий момент координата частинки см і її швидкість см/с. Знайти координату і швидкість частинки через с після цього моменту.

9.3.3. Методом векторних діаграм знайти амплітуду коливань, які виникають при додаванні наступних коливань:

а) ;

б)

9.3.4. Точка рухається в площині за законом , де - сталі. Знайти:

а) рівняння траєкторії точки і напрям її руху по цій траєкторії;

Рис. 9.11

б) прискорення точки в залежності від її радіуса-вектора відносно початку координат.

9.3.5. Знайти рівняння траєкторії точки, якщо вона рухається по закону:

а) ;

б) .

Зобразити приблизні графіки цих траєкторій.

9.3.6. Частинка масою знаходиться в одновимірному силовому полі, де її потенціальна енергія залежить від координати як , - сталі. Знайти період малих коливань частинки навколо положення рівноваги.

9.3.7. Два математичних маятники, довжина кожного см і маса г, з’єднані пружинкою жорсткістю Н/м, рис. 9.11. При рівновазі маятники займають вертикальне положення. Знайти період малих коливань цих маятників, якщо їх коливання відбуваються у вертикальній площині в протилежні боки (у протифазі).

9.3.8. Однорідний стержень довжиною здійснює малі коливання навколо горизонтальної осі, що перпендикулярна до стержня і проходить через його верхній кінець. Знайти період коливань. Тертя відсутнє.

Рис. 9.12

9.3.9. Математичний маятник довжиною см і тонкий однорідний стержень довжиною см здійснюють синхронно малі коливання навколо горизонтальної осі. Знайти відстань від центра стержня до цієї осі.

9.3.10. Тонке кільце радіуса здійснює малі коливання навколо точки , рис. 9.12. Знайти їх період, якщо коливання відбуваються:

а) в площині рисунка;

б) в напрямку, перпендикулярному до площини рисунка.

Рис. 9.13

9.3.11. В системі на рисунку - нитка, до нижнього кінця якої підвішена кулька , до якої в свою чергу підвішена на нитці довжиною кульку , рис. 9.13. Верхній кінець нитки здійснює малі гармонічні коливання так, що нитка залишається увесь час вертикальною. Знайти частоту цих коливань, якщо маси кульок і дорівнюють, відповідно і .

9.3.12. Згасаючі коливання точки відбуваються за законом . Знайти:

а) амплітуду зменшення і швидкість точки в момент ;

б) моменти, коли точка досягає крайніх положень.

9.3.13. Тіло здійснює крутильні коливання за законом . Знайти:

а) кутову швидкість і кутове прискорення тіла в момент часу ;

б) моменти, коли кутова швидкість максимальна.

9.3.14. Математичний маятник здійснює коливання в середовищі, для якого логарифмічний декремент згасання . Яким буде значення , якщо опір середовища збільшити в рази? У скільки разів слід збільшити опір середовища, щоб коливання стали неможливі?

9.3.15. До пружини підвісили вантаж, і вона розтягнулася на см. З яким періодом буде коливатися вантаж у вертикальному напрямі? Логарифмічний декремент згасання .

9.3.16. Кулька масою може здійснювати незгасаючі гармонічні коливання навколо точки з власною частотою . В момент , коли кулька знаходилася в положенні рівноваги, до нього приклали вимушуючи силу , що співпадає за напрямом з віссю . Знайти закон вимушених коливань кульки .

9.3.17. При частотах вимушуючої гармонічної сили і амплітуда швидкості частинки дорівнює половині максимального значення. Знайти:

а) частоту, що відповідає резонансу швидкості;

б) коефіцієнт згасання і частоту згасаючих коливань.